Skalierung Ort und Zeit für Schrödinger-Gleichung

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Meine Frage:
Ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Man soll eine geeignete Skalierung des Ortes und der Zeit finden, so dass die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung die Form

annimmt mit den dimensionslosen Variablen

und

. Die ebenfalls einheitenlose Wellenfunktion soll die Randbedingung

und die Normierung

erfüllen. In welcher Einheit werden dann Energien und Potentiale gemessen?

Meine Ideen:
Ich habe hier Probleme, weil ich ja die Wellenfunktion nicht explizit kenne und diese Skalierung allgemein machen muss.
Ich habe mir überlegt, dass sich die Einheiten der Vorfaktoren

und

kürzen sollten, um auf die gewünschte Form der SG zu kommen:

Jetzt sind aber

und

nicht einheitslos.
Mir fehlt die allgemeine Methodik, wie ich hier vorgehen sollte.
Bitte nur Tipps und keine ganze Lösung geben. Vielen Dank!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Setze mal - und ich verwende xi und tau statt x-tilde und t-tilde wg. Schreibarbeit

xi und tau sind dimensionslos; daraus folgt dann eine Bedingung für die dimensionsbehafteten Größen X und T.

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Danke für die Antwort! Daraus folgt, dass die Größe X die Einheit m und die Größe T die Einheit s haben muss, damit die tilde Größen dimensionslos sind. Aber wie komm ich damit weiter? Ich habe ja keine expliziten Funktionen in die ich jetzt einsetzen kann und dann sehe, was die Substitution bewirkt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Schreib halt mal die Schrödingergleichung in den neuen Größen xi und tau auf, d.h. substituiere in den Ableitungen! Wie sieht die Gleichung dann aus? Magst du sie hier einstellen?

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Ich habe meinen Lösungs-Versuch, wobei ich leider immer noch auf das gleiche falsche Ergebnis komme, unten angehängt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Wenn die Größen X bzw. T die Einheiten von Länge bzw. Zeit haben sollen, dann kann offenbar nicht jeder Vorfaktor für sich alleine dimensionslos werden; das ist auch nicht gefordert.

Stattdessen:

Aus dem ersten Term rechts folgt eine Bedingung für X und T. Der zweite Term soll auf V führen.

Jetzt bist du wieder dran ;-)

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Vielen Dank, TomS, für deine Hilfe!
Ich komme leider immer noch nicht auf etwas Sinnvolles, sondern wieder auf mein altes Ergebnis. Mein mittlerweile verzweifelter Versuch ist unten angehängt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Du steckst schon wieder zu viel rein.

Laut Aufgabenstellung ist gefordert, dass

Also

Damit folgt

Das ist bzgl. der Dimensionen auch korrekt, denn U hat die Dimension einer Energie, h/T auch. Damit ist V dimensionslos. Und das muss auch so sein, da die Differentialoperatoren in tau und xi ebenfalls dimensionslos sind.

Aufgrund der Randbedingungen gehe ich davon aus, dass es sich um ein “Teilchen im Kasten” handelt; wenn dieser die Breite L hat, folgt daraus eine weitere Bedingung.

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Danke für deine Hilfe und deine Geduld, TomS!
Ich habe noch nicht ganz den Unterschied von deinem Ansatz zu meinem gesehen außer, dass du die Differentialoperatoren hingeschrieben hast, sie aber für den nächsten Schritt gleich wieder "gekürzt" hast. Dann hast du ja den gleichen Zwischenschritt wie ich. Hier ist mir ein bisschen unklar, wieso man das nicht direkt nach einer Variablen auflösen kann.

Mit V = ... U substituierst du einfach, weil du die Vorfaktoren sonst nicht wegbekommst, oder?
Ich habe jetzt versucht mit deinem Ansatz weiter zu kommen, es sieht auch ganz gut aus (die Einheiten passen). Jedoch habe ich die Normierung der Wellenfunktion nicht verwendet und wüsste jetzt auch nicht, wie ich diese verwenden könnte, da ich die Wellenfunktion ja nicht explizit kenne.
Ich hoffe, dass ich es jetzt endlich richtig gemacht habe.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067