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Joe_21
Gast
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 Joe_21 Verfasst am: 21. Jan 2021 19:42 Titel: Improvisierte Waage |
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Meine Frage:
Man soll die Masse einer Stahlnadel bestimmen. Dazu hat man nur zwei PVC-Becher, etwas Wasser und ein Lineal zur Verfügung.
Meine Ideen:
Meine Idee ist, den einen Becher im anderen schwimmen zu lassen. Legt man die Nadel in den schwimmenden Becher, steigt der Wasserspiegel an. Daraus könnte man die Masse bestimmen. Aber das ist kompliziert für mich... |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 21. Jan 2021 20:16 Titel: Re: Improvisierte Waage |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Meine Idee ist, den einen Becher im anderen schwimmen zu lassen. Legt man die Nadel in den schwimmenden Becher, steigt der Wasserspiegel an. Daraus könnte man die Masse bestimmen. Aber das ist kompliziert für mich... |
Dann müsste man sowohl den Anstieg des Wasserspiegels im unteren Becher, als auch das Absinken des oberen Bechers messen.
Ich würde den unteren Becher bis zum Rand mit Wasser füllen und dann den oberen darin schwimmen lassen (eventuell etwas Wasser in den oberen Becher gießen, bis er stabil schwimmt und nicht umkippt). Dann muss man nur noch die Höhe des oberen Becherrandes ohne und mit Nadel messen. Zusätzlich braucht man noch den Durchmesser des Bechers in Höhe der Wasserlinie. Den kann man zwischen dem oberen und unteren Durchmesser interpolieren. |
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 22. Jan 2021 12:43 Titel: |
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Oh, danke!!
Ich überlege nun so: Beim Einlegen der Nadel taucht der schwimmende Becher tiefer ein und verdrängt an der Unterseite ein gewisses Zylindervolumen. Dieses Volumen führt zu einem Wasserspiegelanstieg am oberen Rand - diesmal in Form eines Hohlzylinders. Wenn ich annehme, dass die Becher fast parallele Seitenflächen haben, dann komme ich auf folgende Gleichung:
Masse der Nadel = Wasserspiegelanstieg * Dichte von Wasser * Pi * (Radiusquadrat des Außenbechers - Radiusquadrat des Innenbechers) |
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 22. Jan 2021 13:03 Titel: |
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Oder Balkenwaage aus Lineal und den beiden Bechern. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 22. Jan 2021 13:18 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Dieses Volumen führt zu einem Wasserspiegelanstieg am oberen Rand - diesmal in Form eines Hohlzylinders. |
Wenn Du es so machst, wie ich es oben beschrieben habe, dann wird der Wasserspiegel im Idealfall nicht steigen, sondern das Wasser läuft über. Wenn die Nadel zu leicht ist, dann kommt es wegen der Oberflächenspannung aber möglicherweise trotzdem zu einem Anstieg des Wasserspiegels über den Rand des unteren Bechers hinaus. Deshalb solltest Du in jedem Fall die Differenz zwischen der Höhe des Wasserspiegels und des oberen Randes des schwimmenden Beschers messen (nicht nur die Höhe des Wasserspiegels allein).
| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Masse der Nadel = Wasserspiegelanstieg * Dichte von Wasser * Pi * (Radiusquadrat des Außenbechers - Radiusquadrat des Innenbechers) |
Ich glaube nicht, dass das so geht. Ich würde so rechnen:
Masse der Nadel = zusätzliche Eintauchtiefe * Dichte von Wasser * Querschnittsfläche des inneren Bechers auf Höhe der Wasserlinie |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jan 2021 14:09 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | |
Ich würde so rechnen:
Masse der Nadel = zusätzliche Eintauchtiefe * Dichte von Wasser * Querschnittsfläche des inneren Bechers auf Höhe der Wasserlinie[/quote]
Genau so. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jan 2021 16:29 Titel: |
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Geht einfacher mit einem Becher ohne die Planscherei:
1. Becher nicht ganz mit Wasser füllen
2. Lineal senkrecht bis zum Boden eintauchen und Wasserspiegel L messen
3. Nadel eintauchen und Wasserspiegel N messen
 )
PS
Sollte der Becher nicht zylindrisch, sondern ein Kegelstumpf sein , kann der Durchmesser d_w des Bechers am Wasserspiegel durch interpolieren ermittelt werden. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 22. Jan 2021 18:19 Titel: |
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| Zitat: | Geht einfacher mit einem Becher ohne die Planscherei:
1. Becher nicht ganz mit Wasser füllen
2. Lineal senkrecht bis zum Boden eintauchen und Wasserspiegel L messen
3. Nadel eintauchen und Wasserspiegel N messen |
Praktisch dürfte es genauer sein, wenn man auf die Becher und das Wasser verzichtet und das Nadelvolumen per Durchmesser und Länge abschätzt und dann mittels Dichte auf die Masse schließt.
Auch wenn die Nadel nicht ganz als zylindrischer Körper betrachtet werden kann, sollte das bessere Ergebnisse liefern, als wenn man versucht den Wasserstand im Bereich von unter 1/100mm Genauigkeit mit einem Lineal zu messen. (Beispiel: Delta_h=0,014mm für Nadeldurchmesser DN=1mm; Nadellänge LN=50mm und Becherdurchmesser DB=60mm)
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 22. Jan 2021 20:36 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | 1. Becher nicht ganz mit Wasser füllen
2. Lineal senkrecht bis zum Boden eintauchen und Wasserspiegel L messen
3. Nadel eintauchen und Wasserspiegel N messen |
Prinzipiell geht das. Aber das Volumen der Nadel ist nochmal deutlich kleiner als das des von ihr verdrängten Wassers, wenn sie im schwimmenden Becher liegt und das Ganze ist ohnehin schon so ungenau, dass kaum vernüftige Ergebnisse zu erwarten sind.
PS: Ich hatte schon überlegt, ob man die Messgenauigkeit erhöhen kann, indem man die Becher so weit ineinander schiebt, dass nur noch ein ganz schmaler Zwischenraum übrig bleibt, in dem das Wasser bei gleichem verdrängten Volumen viel höher steigt. Aber dann bekommt man es mit Kapillarkräften zu tun. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 22. Jan 2021 21:56 Titel: |
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| Zitat: | | PS: Ich hatte schon überlegt, ob man die Messgenauigkeit erhöhen kann, indem man die Becher so weit ineinander schiebt, dass nur noch ein ganz schmaler Zwischenraum übrig bleibt, in dem das Wasser bei gleichem verdrängten Volumen viel höher steigt. Aber dann bekommt man es mit Kapillarkräften zu tun. |
Den Gedanken hatte ich auch.
Wenn das Spaltmaß konstant bleibt, sollten die Kapillareffekte keinen Einfluss auf die Messung haben.
Bei meinem obigen Beispiel ergibt sich eine Nadelmasse von ca. 0,3g.
Das entspricht einem zusätzlichem zu verdrängendem Volumen von ca. 0,3 cm³ Wasser.
Der schwimmende Becher taucht also nun zwar auch nur 0,108mm tiefer ein (gemessen zur Wasseroberfläche), was mittels Lineal auch nur schwer messbar wäre. Da aber das verdrängte Wasser im Spalt zwischen dem äußerem und dem schwimmenden Becher (und damit die Wasseroberfläche) aufsteigt, kann man, je nach Spaltbreite, eine signifikante Änderung der Höhe der Wasseroberfläche messen.
Bei 0,5mm Spalt (Becherdurchmesser DB ca. 60mm) ergibt das ca. 3,25 mm Höhendifferenz.
Der schwimmende Becher wird also nach Einwerfen der Nadel
um ca. 3,22mm-0,108mm=3,11mm aufsteigen!!!!??? Bin gerade etwas verwirrt.
edit: Ich hatte mich beim Durchtippen etwas vertan und habe nun die Zahlenwerte korrigiert. Die Schlussfolgerung bleibt hier aber noch falsch und wird erst später im Thread berichtigt.
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Zuletzt bearbeitet von Frankx am 31. Jan 2021 20:00, insgesamt einmal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 22. Jan 2021 23:07 Titel: |
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| Zitat: | Der schwimmende Becher wird also nach Einwerfen der Nadel
um ca. 3,183mm-0,083mm=3,1mm aufsteigen!!!!??? |
Da hätte ich gleich eine Idee für ein PM.
Aber leider, wäre ja zu schön gewesen um wahr zu sein.
Die Realität sieht anders aus.
Der schwimmende Becher sackt im obigen Beispiel um 0,108mm ab und der Wasserspiegel steigt um 3,22mm.
(edit: Wieder falsche Schlussfolgerung. Siehe weiter unten im Thread)
Der steigende Wasserspiegel sorgt eben nicht dafür, dass der schwimmende Becher mit aufsteigt.
Bei einen entsprechend großem Gefäß kommt dieser Effekt nur nicht zum tragen, so dass man dort quasi die Eintauchtiefe immer zur Wasseroberfläche messen kann.
Im obigen Beispiel führt das aber zum Fehlschluss.
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Zuletzt bearbeitet von Frankx am 31. Jan 2021 20:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 22. Jan 2021 23:12 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | Der schwimmende Becher wird also nach Einwerfen der Nadel
um ca. 3,183mm-0,083mm=3,1mm aufsteigen!!!!??? Bin gerade etwas verwirrt.
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Das hat mich jetzt auch gerade etwas verwirrt. Aber natürlich kann das nicht sein. Das Wasservolumen würde ja zunehmen, wenn der Boden des Bechers und der Wasserspiegel zwischen den Bechern ansteigen würde. Auch energiemässig wäre eine Anhebung des oberen Bechers nicht möglich.
Es müssen die beiden folgenden Gleichungen erfüllt sein:
=h_B\pi r^2+2\pi rdh_W'=const.)
(r=Radius des oberen Bechers, d=Abstand zwischen den Bechern, d<<r, hW=Wasserstand vor Hineinlegen der Nadel, hW'=Wasserstand nach Hineinlegen der Nadel, hB=Höhe des Bodens des oberen Bechers nach Hineinlegen der Nadel; der obere Becher sei masselos)
Das ergibt
})
Mit den obigen Grössen als Beispiel, Durchmesser=60mm, d=0.5mm, mN=3g resultiert:
Der Wasserspiegel steigt um 1.027mm, der obere Becher sinkt um 0.034mm. Wie üblich, Rechenfehler vorbehalten;) |
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 23. Jan 2021 11:05 Titel: |
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Zur obigen Formel von Mathefix: Es muss aber die Dichte der Nadel sein, nicht die von Wasser. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Jan 2021 11:51 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Zur obigen Formel von Mathefix: Es muss aber die Dichte der Nadel sein, nicht die von Wasser. |
Nein, die Dichte des Wassers ist korrekt. Die Dichte der Nadel ist schon in ihrer Masse berücksichtigt.
Schau Dir mal das Archimedische Prinzip genau an. |
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 23. Jan 2021 12:03 Titel: |
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Moment, damit ich diese Variante richtig verstehe: Man nimmt nur einen Becher und füllt ihn mit Wasser. Der Wasserstand wird gemessen. Dann werfe ich die Nadel hinein und messe erneut den (erhöhten) Wasserstand. Damit habe ich das Volumen der Nadel bestimmt. Das entspricht der Überlaufmethode. Da ist nichts mit Archimedes! Für die Masse der Nadel brauche ich aber deren Dichte. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Jan 2021 12:41 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Moment, damit ich diese Variante richtig verstehe: Man nimmt nur einen Becher und füllt ihn mit Wasser. Der Wasserstand wird gemessen. Dann werfe ich die Nadel hinein und messe erneut den (erhöhten) Wasserstand. Damit habe ich das Volumen der Nadel bestimmt. Das entspricht der Überlaufmethode. Da ist nichts mit Archimedes! Für die Masse der Nadel brauche ich aber deren Dichte. |
Archimedes: Ein Körper verliert soviel an Gewicht, wie die von ihm verdrängte Wassermenge wiegt.
Also V_w * rho_w *g |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2021 13:08 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Archimedes: Ein Körper verliert soviel an Gewicht, wie die von ihm verdrängte Wassermenge wiegt.
Also V_w * rho_w *g |
Ja schon. Aber die Gleichung m=... in Deinem obigen Beitrag ist die Masse des verdrängten Wassers, und diese ist nur gleich der Masse der Nadel, wenn diese im Wasser schwimmt. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Jan 2021 13:20 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Archimedes: Ein Körper verliert soviel an Gewicht, wie die von ihm verdrängte Wassermenge wiegt.
Also V_w * rho_w *g |
Ja schon. Aber die Gleichung m=... in Deinem obigen Beitrag ist die Masse des verdrängten Wassers, und diese ist nur gleich der Masse der Nadel, wenn diese im Wasser schwimmt. |
Ach, wenn die Nadel eingetaucht ist, hat sie keinen Auftrieb mehr?
Ich gebe auf. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 23. Jan 2021 13:25 Titel: |
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Wenn die Nadel ganz eingetaucht ist, dann gilt  nicht. Es wirkt ja auch noch die Normalkraft des Becherbodens auf die Nadel. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 23. Jan 2021 13:27 Titel: |
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| Zitat: | | Ach, wenn die Nadel eingetaucht ist, hat sie keinen Auftrieb mehr? |
Was würde es bei deiner Rechnung für einen Unterschied ergeben, wenn die geometrisch gleiche Nadel einmal aus Blei und einmal aus Alu wäre? Sie verdrängen beide die gleiche Menge Wasser.
Der Gewichtsunterschied ergibt sich nur, wenn man die Dichte von Alu bzw. Blei kennt. Die Dichte von Wasser wird nicht benötigt.
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 24. Jan 2021 13:56 Titel: |
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Ich bin (ähnlich wie Myon) von den Volumenansatz und dem Archimedischen Gesetz ausgegangen. Dabei habe ich aber keine Näherungen benutzt. Nach einer längeren Rechnung komme ich für die Masse der Nadel auf folgende Beziehung:
Masse = Wasserspiegelanstieg * Radiusquadrat des Außenbechers * Wasserdichte * Pi
Statt der Nadel habe ich eine kleine Kartoffel genommen und die Gleichung durch ein Experiment überprüft. Die Werte stimmen gut. Interessant ist, dass der Radius des Innenbechers hier nicht mehr auftaucht. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 24. Jan 2021 14:20 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: |
Masse = Wasserspiegelanstieg * Radiusquadrat des Außenbechers * Wasserdichte * Pi
(...) Interessant ist, dass der Radius des Innenbechers hier nicht mehr auftaucht. |
Ja, stimmt. Der Radius des oberen Bechers ist tatsächlich nicht relevant. Das fiel mir oben gar nicht auf. Das heisst auch, dass für eine genaue Messung nicht wichtig ist, zwei Becher mit möglichst ähnlichem Durchmesser zu benützen, sondern alleine, dass der Durchmesser des unteren Bechers möglichst klein ist. |
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 24. Jan 2021 20:13 Titel: |
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Schwimmt der Innenbecher in einem großen Gefäß (Kochtopf), ist der Anstieg des Wasserspiegels beim Einlegen der Masse sehr gering. In einem engeren Gefäß größer. Die unterschiedlichen Radien müssen also irgendwie in dem Anstieg des Wasserspiegels "versteckt" sein. Explizit geht aber nur der Außenradius in die Gleichung ein. Falls sie denn stimmt))
Ich hätte nicht gedacht, dass die Aufgabe so verzwickt ist und einen schnell verwirren kann. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2021 10:06 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | Schwimmt der Innenbecher in einem großen Gefäß (Kochtopf), ist der Anstieg des Wasserspiegels beim Einlegen der Masse sehr gering. In einem engeren Gefäß größer. Die unterschiedlichen Radien müssen also irgendwie in dem Anstieg des Wasserspiegels "versteckt" sein. Explizit geht aber nur der Außenradius in die Gleichung ein. Falls sie denn stimmt))
Ich hätte nicht gedacht, dass die Aufgabe so verzwickt ist und einen schnell verwirren kann. |
Das Verhältnis d/D in dem Kochtopf ist sehr gering, deshalb der niedrige Anstieg des Wasserspiegels.
D = Durchmesser unterer Becher
d = Durchmesser oberer Becher
Die Höhendifferenz kann gemessen werden
a) Wasserspiegel im Ringspalt
 \cdot \pi \cdot \varrho_w} )
Je kleiner D und je grösser q, desto grösser ist die Höhendifferenz.
"Schlanke" Becher mit geringer Differenz der Durchmesser ergeben eine grössere Diifferenz der Wasserspiegel im Ringspalt.
b) Oberkanten Becher
Die Höhendifferenz im Ringspalt ist um den Faktor
grösser als die Höhendifferenz der Oberkanten der Becher und ist damit besser meßbar. Insbesondere, wenn der untere Becher transparent ist. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 12:46 Titel: |
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Wie oben schon festgestellt wurde, scheint der Durchmesser des oberen Bechers keinen Einfluss auf den Anstieg des Wasserspiegels zu haben. Aus der Konstanz des Wasservolumens (oder, äquivalent, der Konstanz der potentiellen Energie) und der Eintauchtiefe des oberen Bechers,
=const.)
ergibt sich
)
Die Masse des oberen Bechers wurde als null angenommen, eine Masse ändert nichts an der letzten Gleichung.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 26. Jan 2021 15:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2021 13:54 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Wie oben schon festgestellt wurde, scheint der Durchmesser des oberen Bechers keinen Einfluss auf den Anstieg des Wasserspiegels zu haben. Aus der Konstanz des Wasservolumens (oder, äquivalent, der Konstanz der potentiellen Energie) und der Eintauchtiefe des oberen Bechers,
ergibt sich
)
Die Masse des oberen Bechers wurde als null angenommen, eine Masse ändert nichts an der letzten Gleichung. |
Du sagst, dass der Radius des oberen Bechers keinen Einfluss hat. In Deiner Formel taucht er aber auf
Betrachte ich die Höhenänderung der Oberkante des oberen Bechers, hat der Durchmesser des unteren Bechers keinen Einfluss.
Oberkanten Becher
Meine Rechnung:
Die Masse des oberen Bechers spielt keine Rolle, da sie als Konstante in der Differenzrechnung der Steighöhen des Wassers entfällt.
Annahmen: m_w ist so gewählt, das Schwimmlage stabil ist. Wassertiefe des unteren Behälters so gewählt, das oberer Behälter schwimmt. Becherhöhe des unteren Behälters so gewählt, dass kein Wasser überläuft.
Ich betrachte nur den Wasseranstieg im Ringspalt.
1. Höhenanstieg Delta h_1 des Wasserspiegels im Spaltring, wenn oberer Becher nur mit Wassermasse m_W gefüllt.
\cdot \pi \cdot \varrho_w } )
2. Höhenanstieg Delta h_2 des Wasserspiegels im Spaltring, wenn oberer Becher mit Wassermasse m_W und Masse der Nadel m_n gefüllt.
\cdot \pi \cdot \varrho_w } = \frac {4\cdot m_w }{(D^{2} -d^{2} )\cdot \pi \cdot \varrho_w } + \frac {4\cdot m_n}{(D^{2} -d^{2} )\cdot \pi \cdot \varrho_w } = \Delta h_1 + \frac {4\cdot m_n}{(D^{2} -d^{2} )\cdot \pi \cdot \varrho_w })
3. Differenz Delta S der Höhenanstiege h_2 -h_1
\cdot \pi \cdot \varrho_w }- \Delta h_1 )
\cdot \pi \cdot \varrho_w })
Mir erscheint es sinnfällig, dass ein erhöhtes Verdrängungsvolumen durch die Nadelmasse eine Erhöhung des Wasserspiegels im Ringspalt erzeugt und diese Erhöhung umso grösser sein muss, je enger der Ringspalt ist. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 15:34 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: |
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Du sagst, dass der Radius des oberen Bechers keinen Einfluss hat. In Deiner Formel taucht er aber auf |
Sorry, das war falsch! In der Gleichung müsste  stehen. Hatte die Bezeichnungen von aussen/innen geändert auf oben/unten, und das offenbar nicht überall richtig. Hab‘s oben korrigiert. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jan 2021 15:46 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Wie oben schon festgestellt wurde, scheint der Durchmesser des oberen Bechers keinen Einfluss auf den Anstieg des Wasserspiegels zu haben. |
Das ist auch nicht anders zu erwarten. Eine zusätzliche Masse  verdrängt das zusätzliche Volumen
im unteren Becher. Der Wasserspiegel erhöht sich dabei genauso, als würde man dieses Volumen Wasser hineingießen:
Weil der Querschnitt  des unteren Bechers auf Höhe der Wasserlinie größer sein muss als der des oberen, ist es deshalb gar nicht so günstig, nur den Anstieg des Wasserspiegels zu messen. Die Messung kann genauer werden, wenn man stattdessen die zusätzliche Tiefe unter der Wasserlinie misst, um die der obere Becher mit der zusätzlichen Masse einsinkt. Die hängt auf die gleiche Weise vom Querschnitt des oberen Bechers ab. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 16:19 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Der Wasserspiegel erhöht sich dabei genauso, als würde man dieses Volumen Wasser hineingießen... |
Ah, genau! Hatte länger nach einer anschaulichen Erklärung gesucht, aber nicht gefunden. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2021 20:17 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Wie oben schon festgestellt wurde, scheint der Durchmesser des oberen Bechers keinen Einfluss auf den Anstieg des Wasserspiegels zu haben. |
Das ist auch nicht anders zu erwarten. Eine zusätzliche Masse verdrängt das zusätzliche Volumen
im unteren Becher. Der Wasserspiegel erhöht sich dabei genauso, als würde man dieses Volumen Wasser hineingießen:
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Da der obere Becher schwimmt, ist die relevante Fläche nicht A_u, sondern A' = A_u-A_o. |
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Joe_21
Gast
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| Joe_21 Verfasst am: 26. Jan 2021 20:38 Titel: |
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Ich komme für die Masse der Nadel auf die gleiche Formel wie Myon. Ich habe die Volumenbetrachtung einmal (wie er) für einen masselosen Becher (der anfangs nicht im Wasser schwimmt) durchgeführt und dann auch für einen bereits schwimmenden. Das Ergebnis ist das gleiche.
Allerdings meine ich schon, dass es günstiger ist, Becher zu wählen, bei denen der Spalt eng ist. Je enger, desto höher steigt das Wasser. Das verbessert die Messgenauigkeit.
Vielen Dank für den Ansatz mit dem Volumen - das war der Schlüssel! (obwohl mein Ansatz etwas umfangreicher ist). |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2021 21:00 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: |
Allerdings meine ich schon, dass es günstiger ist, Becher zu wählen, bei denen der Spalt eng ist. Je enger, desto höher steigt das Wasser. Das verbessert die Messgenauigkeit.
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Genau das habe ich hergeleitet. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2021 23:10 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Da der obere Becher schwimmt, ist die relevante Fläche nicht A_u, sondern A' = A_u-A_o. |
Schau Dir nochmals den Beitrag von DrStupid an. A_u sollte schon korrekt sein.
Die beiden Vorgänge führen zu einer gleich starken Erhöhung des Wasserspiegels im unteren Becher:
-Die Nadel wird in den oberen Becher gelegt und es wird dabei das Volumen V im Wasser des unteren Bechers verdrängt
-Es wird Wasser mit Volumen V in den unteren Becher gegossen (ohne dass der obere Becher da ist) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 26. Jan 2021 23:47 Titel: |
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| Joe_21 hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings meine ich schon, dass es günstiger ist, Becher zu wählen, bei denen der Spalt eng ist. Je enger, desto höher steigt das Wasser. Das verbessert die Messgenauigkeit. |
Das gilt nur bei vorgegebenen Querschnitt des oberen Bechers. Dann kann man den Spalt nur verringern, indem man den Querschnitt des unteren Bechers verkleinert, was zu einer stärkeren Erhöhung des Wasserspiegels führt.
Ist dagegen der Querschnitt des unteren Bechers vorgegeben, dann ist die Erhöhung des Wasserspiegels unabhängig von der Spaltbreite. In diesem, Fall ist es günstiger, den Spalt möglichst groß zu wählen. Das geht dann nämlich nur, indem man den Querschnitt des oberen Bechers verringert, was zu einem größeren Tiefgang führt. Ich würde anstelle des oberen Bechers einen Trinkhalm nehmen, der am unteren Ende verschlossen wurde. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Jan 2021 11:52 Titel: |
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Mein Fazit:
Es gibt 2 Möglichkeiten die Masse der Nadel zu bestimmen.
1) Über den Anstieg des Wasserspiegels im Ringspalt
 ^{2}) \cdot \pi \cdot \varrho_w} )
Der Anstieg ist umso höher, je kleiner der Spalt ist. Das ist der Fall, je mehr sich  1 nähert.
Bei gegebenem D ist d möglichst gross zu wählem
Bei gegebenem d ist D möglichst gering zu wählen
2) Über die Eintauchtiefe des oberen Bechers
Sie ist unabhängig von D. Um die Eintauchtiefe zu erhöhen, ist d möglichst gering (Trinkhalm) zu wählen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 27. Jan 2021 12:34 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | 1) Über den Anstieg des Wasserspiegels im Ringspalt
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Hallo Mathefix
Überleg doch mal Folgendes: Bei sehr dünnem Spalt würde bei Gültigkeit dieser Gleichung der Wasserspiegel sehr stark ansteigen. Bei genügend dünnem Spalt sogar über den oberen Rand des oberen Bechers hinaus. Der obere Becher kann ja auf jeden Fall nach Hineingeben des Nagels nicht ansteigen, das ginge energiemässig nicht.
Auf der anderen Seite hängt die Eintauchtiefe des oberen Bechers nur vom Querschnitt des oberen Bechers ab, und wenn der Becher mit Nadel in einem See schwimmt, so muss er das auch in einem zweiten Becher tun, und wenn der Spalt noch so schmal ist. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Jan 2021 14:01 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | 1) Über den Anstieg des Wasserspiegels im Ringspalt
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Hallo Mathefix
Überleg doch mal Folgendes: Bei sehr dünnem Spalt würde bei Gültigkeit dieser Gleichung der Wasserspiegel sehr stark ansteigen. Bei genügend dünnem Spalt sogar über den oberen Rand des oberen Bechers hinaus. Der obere Becher kann ja auf jeden Fall nach Hineingeben des Nagels nicht ansteigen, das ginge energiemässig nicht.
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Einverstanden. Ich bin davon ausgegangen, dass die Maße der Becher und die Füllhöhen so gewählt sind, dass das Wasser nicht überläuft.
| Zitat: | | Auf der anderen Seite hängt die Eintauchtiefe des oberen Bechers nur vom Querschnitt des oberen Bechers ab, und wenn der Becher mit Nadel in einem See schwimmt, so muss er das auch in einem zweiten Becher tun, und wenn der Spalt noch so schmal ist. |
Der schwimmende obere Becher mit Nadel verdrängt im unteren Becher das Volumen
 \Delta V_o = \frac{m_N}{\varrho_w } = const.)
Einverstanden?
Da der obere Becher schwimmend im unteren verbleibt, verteilt sich dieses Volumen auf der Restfläche des unteren Bechers
und der Wasserspiegel steigt um Delta h_u
 V_u = (A_u - A_o) \cdot \Delta h_u)
Einverstanden?
Es gilt
 \frac{m_N}{\varrho_w } = (A_u - A_o)\cdot \Delta h_u )
Einverstanden?
\cdot\varrho_w } )
Bis auf den Summanden -A_o identisch mit der Glchg. von DrStupid
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 27. Jan 2021 20:39, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 27. Jan 2021 14:31 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Da der obere Becher schwimmend im unteren verbleibt, verteilt sich dieses Volumen auf der Fläche des unteren Bechers |
Bis hier hin ist das richtig, aber dann wird es falsch:
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |  |
Die Fläche des unteren Bechers ist und nicht  . |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 27. Jan 2021 14:39 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Der schwimmende obere Becher mit Nadel verdrängt im unteren Becher das Volumen
Einverstanden? |
Ja!
| Zitat: | Da der obere Becher schwimmt, verteilt sich dieses Volumen auf der Fläche des unteren Bechers
und der Wasserspiegel steigt um h_u
 V_u = (A_u - A_o) \cdot h_u)
Einverstanden? |
Nein. Denn dabei gehst Du davon aus, dass -wie in einem See (grosse Fläche)- das Niveau des oberen Bechers beim Hineinlegen der Nadel um
absinkt. Das ist aber nicht der Fall. Wie eine Nachrechnung zeigt, sinkt er nur um den Betrag
)
Die Aussage, dass sich das „verdrängte Wasser“ nur auf den Spalt verteilen und dort zu einem entsprechenden Spiegelanstieg führen würde, ist deshalb nicht richtig. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Jan 2021 15:13 Titel: |
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@Myon
Um welchen Betrag steigt der Wasserspiegel des Sees gemessen am Ufer?
Danke!
PS
Zumindest wird deutlich, dass die Höhendifferenz vom Verhältnis der Flächen abhängt. Deine Formel kann man umschreiben
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 27. Jan 2021 17:08, insgesamt einmal bearbeitet |
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