Freies ungedämpftes Federpendel

Nina1234 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Meine Frage:
Hallo, ich brauche hier dringend Hilfe:

Die freie ungedämpfte Federschwingung wird beschrieben durch

;

: anfängliche Auslenkung;

Zu zeigen: Zeigen sie dies durch den allgemein gültigen Ansatz

zum Lösen der DGL

Dabei sollen wir die imaginären Zahlen nutzen und die Tatsachen,dass

ist.

Als Hinweis ist noch gegeben, dass für die komplexe Zahle

, sodass es 2 Lösungen

. Die allgemeine Lösung ist die Summe der beiden speziellen Lösungen, mit den Randbedingungen x(0)=x_0 und x'(0)=0.

Ich wäre sehr dankbar über einen Lösungsweg und Erklärungen

Meine Ideen:

In die obere Gleichung einsetzen:

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5850

Wenn man den Ansatz

einsetzt in

folgt

also

mit den beiden Lösungen

Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination:

Die Konstanten C1, C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Nun einfach für

die Konstanten bestimmen und zeigen, dass sich damit gerade die Lösung mit der cos-Funktion ergibt.

Nina1234 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Bis zu dem letzten Schritt bin auch fast gekommen.

Wenn man nun

einsetzt:

.
Wie macht man dann weiter?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5850

Nun noch die allgemeine Lösung x(t) ableiten und gleich 0 setzen, das ergibt eine 2. Gleichung für die Konstanten (C1=C2).