Relativistische Rakete - Energieeffizienz

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Da der liebe Berliner Senat meiner Generation als erster eine fünfte Prüfungskomponente für das Abitur vermacht hat, darf ich im Rahmen einer vorwissenschaftlichen Facharbeit ein klein wenig referrieren.
Teil meines Themas wird die notwendige Berechnung zum Flug bei relativistischen Geschwindigkeiten sein. Dazu berechne ich auch das erfordertliche Massenverhältnis der Rakete vor dem Start und nach Brennschluss, das benötigt wird, um eine gewisse Zeit zu beschleunigen.
Essentiell dafür ist die Ausströmungssgeschwindigkeit v des Treibstoffes der Masse dM.
Dann gilt folglich

0,5 v² dM = e dM c²

Wobei e der Effizienzgrad des Treibstoffes darstellt, also wie viel des verbrauchten Treibstoffes tatsächlich in kinetische Energie umgewandelt wird. Als Beispiele möchte ich u.a. den Kernreaktor und den Wasserstoffreaktor behandeln. Die einzige meiner Quellen, die diese Berechnung durchführt, widerspricht sich dabei bei den Werten für e. Da ich auch leider sonst nirgendwo konkrete Werte finden konnte, wollte ich fragen, ob ev. jemand bestimmte Zahlen oder Formeln etc. kennt.

Vielen Dank für alle Antworten!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn ich in der rechten Spalte des folgenden Links lese, was unter "Antrieb" steht,

http://www.heise.de/tr/artikel/66464/0/3

dann habe ich den Eindruck, dass der erreichte Wert des Effizienzgrades durchaus davon abhängen kann, wie man den Antrieb einer bestimmten Sorte konkret baut.

Zum Beispiel scheint es mir kein Standarddesign für nuklear angetriebene Raketen zu geben, wenn es stimmt, dass die einzigen bereits gebauten Versuchsmodelle schon einige Jahrzehnte alt sind, und aktuell neue Forschung betrieben wird. (Vielleicht haben die widersprüchlichen Angaben, auf die du gestoßen bist, mit den Unterschieden zwischen alten und neuen Bauformen zu tun?)

Bei der Quellensuche mit google könnte es hier Sinn machen, auch nach englischsprachigen Seiten zu suchen, zum Beispiel scheint mir auf der folgenden Seite unten

http://www.findarticles.com/p/articles/mi_m1430/is_n5_v15/ai_13345461

auch quantitative Information zum Vergleich des spezifischen Impulses (dieses Maß basiert laut der Definition im Artikel auf Einheiten, die im amerikanischen Raum üblich sind) von nuklear und auf herkömmliche Weise chemisch angetriebenen Raketen enthalten zu sein.

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Naja so differenziert waren die Ausführungen nicht.
Es ging halt nur um die maximale Energieausbeute bei den verschiedenen Reaktortypen, ohne sich jetzt konkret als Ingenieur den Kopf zu zerbrechen, wie man diese erreichen kann.
Der Widerspruch bestand darin, dass prozentuale Angaben gemacht wurden (Die ich nicht mehr genau im Kopf habe, das Buch ist auch wieder in der Bibliothek.), bei Nachrechnung aber grundverschiedene Ergebnisse ermittelt werden konnten.

Ich suche also nach einer Art Stoffkonstante, meinetwegen "Bei Kernspaltung des Uran wird x% der Masse in (kinetische?) Energie umgewandelt".
Schließlich wird ja nur beim Materie-Antimaterie-Reaktor 100% umgewandelt, sodass hier e=1 wäre und das Rechnen sich einfach gestaltet.

Genauer: Für ein bestimmtes Masseverhältnis vor dem Start (M0)/nach Brennschluss (m1), einer Austrittsgeschwindigkeit v, bei einer konstanten Beschleunigung a=g (lediglich zum Komfort der Astronauten) und einer Flugdauer tau als Eigenzeit der Rakete gilt:

(M1/M0)^(v/c) = e^(-g*tau/c)

Wobei für v das obige v einzusetzen wäre.

EDIT: Was bei Heise unter Nuklearantrieb steht, ist freilich zu beachten. Daher muss wohl e für einen bestimmten Reaktortyp, nicht nur für den Stoff ermittelt werden, was das Unterfangen ungemein schwerer machen dürfte...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Vielen Dank, solche Angaben brauche ich.
Naja die Berechnung des Treibstoffverbrauchs soll jetzt keine unnötig großen Maße annehmen, also reaktorbedingte Verluste müssen da nicht mit eingerechnet werden.
Die Facharbeit an sich ist eher ein genauerer Blick auf die spezielle Relativitätstheorie, auch unter dem Gesichtspunkt interstellarer Flüge, wo dann eine (noch unumgesetzte) Anwendung gegeben ist.

EDIT: Eigentlich blöd, dass ich nicht vorher schon auf die Idee gekommen bin, aber ich rechne gerade die Quotienten Massendefekt/Gesamtmasse der Edukte einiger Reaktionsgleichungen aus und habe dann - ohne Berücksichtigung der Energieverluste durch Abkühlung etc. - ja mein gesuchtes e. Zumindest für die Deuterium-Tritium-Fusion komme ich dadurch recht nah an den durch das Buch gegebenen Wert, bei mir nämlich 3,74 * 10^-3. Das Spiel werde ich mal für D+Helium drei und ein paar andere Reaktoren treiben.

Vielen Dank!

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Mit dem Thema habe ich mich auch schon mal gespielt. Ich würde dir noch ein paar Tipps mit auf den Weg geben:

- Ein Reaktorantrieb heutzutage funktioniert, wie dermarkus gesagt hat. Was du haben willst ist einer, bei dem das Spaltbare Material selber ausgestoßen wird. Eine Rakete mit U235 vollzutanken ist allerdings immer die zweitbeste Idee, wegen unerwünschter Nebenwirkungen. Teufel

- Nimm Antimaterie auch dazu (deine Formel passt dann nicht mehr).

- Nimm dann mal eine sehr niedrige Nutzlast an (z.B. 50 t, wie bei der Saturn V) und rechne die Triebwerksleistung aus, um einen vernünftigen Schub zu erzeugen. Vergleich das mal mit einem Atomkraftwerk - oder mit allen Atomkraftwerken dieser Welt.

- Welcher Bruchteil der Leistung dürfte ans Raumschiff abgegeben werden, ohne dass es verdampft?

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, in der zweiten Zeile im letzten Schritt solltest du beim Umrechnen von

in

den Faktor

im Zähler dazubekommen und nicht im Nenner.

Also

.

Mit dem Ergebnis für

bin ich einverstanden.

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Hm also ich habe für die relativistische Geschwindigkeit u

gefunden.

Obgleich deine Variante mir wesentlich lieber wäre... Inhaltlich gesehen ist dein P forminvariant. F muss es in jedem Falle sein, aber v... Ich meine, Geschwindigkeiten werden auch transformiert... grübelnd

EDIT: Leider habe ich auch schon, als ich die mir zur Verfügung gestandenen Bücher durchgelesen habe, keine Viererleistung oder ähnliches entdecken können. Das würde die Geschichte natürlich um einiges leichter machen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das ist vielleicht eine Frage des Bezugssystems.

Meine Variante meint die Leistung P, die Kraft F und die Geschwindigkeit v im Labor- (Erd-) System.

Ich habe noch nicht ganz verstanden, was deine "relativistische Geschwindigkeit" genau ist.

* In welchen Bezugssystemen meinst du deine Größen?

* Sind deine Geschwindigkeiten eventuell nicht Geschwindigkeiten, sondern Geschwindigkeitsänderungen, die relativistisch addiert werden?

* In welcher Bewegungsrichtung (longitudinal oder transversal) meinst du deine Größen (ich vermute, du meinst hier immer longitudinale Kräfte,, Geschwindigkeiten und Geschwindigkeitsänderungen, also alles in Bewegungsrichtung der Raketen-Bezugssystems) ?

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Du kannst bis zur Kernfusion Schub und Leistung nichtrelativistisch rechnen. Für Antimaterie gilt F=P/c. Wenn du irgendwas dazwischen rechnen willst (z.B. Protonenzerfall nach GUT oder was ähnlich hypothetisches und falsches) musst du E²=m0²c^4+p²c² auflösen mit E/c^2 als Treibstoffmasse vor der Umwandlung und m0 nach der Umwandlung.
Mit dem Schub kriegst du die Beschleunigung im Ruhesystem der Rakete.
Erst jetzt rechnest du relativistisch weiter, Baez macht es vor. Google "relativistic rocket".

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Eigentlich wollte ich nur wissen, ob die relativistische Leistung da oben korrekt ist... :o

Die Beschleunigung habe ich ja schon im Vorneherein mit

festgelegt. Und über den Impulserhaltungssatz habe ich dann auch alle Berechnungen zum Treibstoffausstoß und Masseverhältnis zwischen Nutzlast und Brennmaterial durchgeführt.

Naja ich google erst mal nach deinem Stichwort, aber trotzdem danke. smile

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Mh ok. Aber sicher? Ich meine, meine Rakete läuft erst einmal mit einem beliebigen Treibstoff, Antimaterie wäre dann nur ein Spezialfall, also P = Fc, was ja dann wirklich forminvariant wäre.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Ich bin mir nicht ganz sicher, dass ich dem ganzen noch folge. Ich meine folgendes:
Du berechnest Schub und Leistung ausschließlich im Ruhesystem der Rakete. Leistung ist die Energie, die du pro Sekunde rausläßt (E-m0c², mit E/c² der Treibstoffmasse vor der Verbrennung und m0 nach der Verbrennung). Schub ist der Impuls, den die Treibstoffmasse mitbringt. Die sind für beliebige Ausstoßgeschwindigkeiten verknüpft über die Energie-Impulsgleichung, die ich dir gegeben haben. Für niedrige Ausstoßgeschwindigkeiten (bis Kernfusion) kannst du einfach klassisch rechnen (E=p²/2m).
Erst wenn du den Schub kennst, berechnest du die Geschwindigkeit der Rakete bei konstanter Eigenbeschleunigung relativistisch. Wenn du dich dann noch für die Leistung im ursprünglichen Ruhesystem interessierst, wofür ich keinen Grund sehe, kriegst du sie mit Zeitdilatation raus.

Earl Mobile · Anmeldungsdatum: 15.08.2006 Beiträge: 17 Wohnort: Berlin

Achso ja klar. Danke. Blöd, da nicht gleich drauf zu kommen... Hammer