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Vollkugel mit abnehmender Ladungsdichte
 
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SandraS



Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16

Beitrag SandraS Verfasst am: 14. Jun 2020 23:30    Titel: Vollkugel mit abnehmender Ladungsdichte Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo Ihr Lieben,

man soll das elektrische Feld einer Vollkugel mit Radius R und abnehmender Ladungsdichte mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes .

Meine Ideen:
Ich denke, ich könnte eine homogen geladenen Vollkugel berechnen. Man müsste die Fälle außerhalb und innerhalb der Kugel betrachten. Ich weiß, dass ist und dass es hier von R abhängen muss.
Man könnte nun ein infinitesimales Volumenelement der Kugel definieren, in dem die Ladungsdichte konstant sei. Das hätte gleiche Kantenlängen, z. B. r´, und man könnte dann durch diesen Würfel integrieren. Man bekäme dann die Ladung in dem infinitesimal kleinen Würfel.
Ich weiß nicht, ob die Ladungsdichte von innen nach außen abnimmt oder umgekehrt. Was würde denn physikalisch Sinn machen? Warum?
Wie sähe das Integral aus mit dem konstruierten Würfel?
Bleibt man in kartesischen Koordinaten beim Würfel?
Das, was heraus käme für Q würde ich dann in das Gaußsche Gesetz einfügen und dann berechnen.

Danke für Eure Hilfen
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 15. Jun 2020 09:23    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Werte am besten direkt das Gaußsche Gesetz



für eine Kugel mit Radius r aus. Aufgrund der Kugelsymmetrie zeigt das elektrische Feld radial nach außen (für ) und ist auf der gesamten Oberfläche der Kugel konstant. Damit kannst du das Oberflächenintegral auf der linken Seite schon mal sehr einfach lösen. Das q auf der rechten Seite bezeichnet die Ladung innerhalb der Kugel. Hier musst du also das Volumenintegral



für die Kugel mit Radius r lösen. Da die Ladungsdichte nur vom Betrag von abhängt, ist die Integration in Kugelkoordinaten ebenfalls sehr einfach.

Hilft dir das weiter?

Viele Grüße,
Nils
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 15. Jun 2020 11:42    Titel: Re: Vollkugel mit abnehmender Ladungsdichte Antworten mit Zitat

SandraS hat Folgendes geschrieben:
... mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes .
....
...
dann in das Gaußsche Gesetz einfügen
...


Du solltest Dich zuallererst entscheiden, in welchem Einheitensystem Du die Berechnung durchführen willst, im Gaußschen cgs-System (erste Formel) oder im SI-System (zweite Formel).

Ich persönlich bevorzuge das heute international gebräuchliche SI-Einheitensystem, das 1970 gesetzlich eingeführt wurde und dessen Verwendung seitdem gesetzlich vorgeschrieben ist. Für Ingenieure bedeutet die Entwicklung und Einführung des SI-Einheitensystems die größte wissenschaftliche Entwickung des 20. Jahrhunderts. Grundlagen-Physiker sind da häufig anderer Meinung.
SandraS



Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16

Beitrag SandraS Verfasst am: 15. Jun 2020 23:05    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Ihr beiden,

danke für Eure Antworten.

Ich habe einfach keinen Durchblick.
Ehrlich gesagt, komme ich gerade schon mit den Radien durcheinander.
Ich hatte schon gerechnet. Das stimmt nicht ganz mit einer Musterlösung aus dem Netz überein. Die Berechnung in Kugelkoordinaten führt mich auch zu einem anderen Ergebnis für Q und dann E.

Außerhalb der Kugel müsste die Rechnung doch der einer homogen geladenen Vollkugel bzw. der einer Hohlkugel entsprechen, oder?

Innerhalb der Kugel ist das Feld abhängig vom Radius und der dortigen Ladungsdichte, ja?

Ich erhalte - nach erneuter Rechnung - und .

Bei Euch auch?
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 15. Jun 2020 23:56    Titel: Antworten mit Zitat

SandraS hat Folgendes geschrieben:

Außerhalb der Kugel müsste die Rechnung doch der einer homogen geladenen Vollkugel bzw. der einer Hohlkugel entsprechen, oder?


Ja, solange die Ladung kugelsymmetrisch verteilt ist, ist das Feld außerhalb der Kugel gegeben durch:



wobei Q die Gesamtladung der Kugel und der radiale Einheitvektor ist. Das ergibt sich ja gerade aus dem Gaußschen Gesetz.

SandraS hat Folgendes geschrieben:

Innerhalb der Kugel ist das Feld abhängig vom Radius und der dortigen Ladungsdichte, ja?

Ich erhalte - nach erneuter Rechnung - und .


Ja, ich komme auf die gleiche Lösung (in SI-Einheiten). Gibt man noch die Richtung des E-Feldes an, so erhält man:



Der Betrag des elektrischen Feldes ist also im Inneren der Kugel konstant (Außer im Mittelpunkt der Kugel, da haut obige Rechnung nicht hin. Man kann sich aber überlegen, dass das Feld an dieser Stelle aus Symmetriegründen Null sein muss).

Wie lautet denn die Musterlösung? Vielleicht wurde da einfach nur in Gaußeinheiten gerechnet.

Viele Grüße,
Nils
SandraS



Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16

Beitrag SandraS Verfasst am: 16. Jun 2020 00:17    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Nils,

danke, dass Du Dich nochmal zurück meldest. Ich dachte schon das ist Quatsch, was ich da gemacht habe.

Eine Musterlösung habe ich nicht. Im Netz habe ich folgendes gefunden:




Was ist anders?

(Im Anhang mein Fund.)



blatt4_loesung.pdf
 Beschreibung:

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 Dateiname:  blatt4_loesung.pdf
 Dateigröße:  236.07 KB
 Heruntergeladen:  222 mal

Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Jun 2020 00:26    Titel: Antworten mit Zitat

SandraS hat Folgendes geschrieben:

Was ist anders?


Die Ladungsverteilung! Diese wächst in der Aufgabe im Anhang linear an, bei deiner Aufgabe oben soll sie aber gemäß 1/r abfallen.

Nils
SandraS



Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16

Beitrag SandraS Verfasst am: 16. Jun 2020 00:31    Titel: Antworten mit Zitat

Achja, total verdrängt. Das heißt in meiner Aufgabe nimmt die Ladungsverteilung von innen nach außen ab?

Machen beide Szenarien physikalisch Sinn? Wann tritt denn welcher Fall auf in der Realität?
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Jun 2020 00:42    Titel: Antworten mit Zitat

SandraS hat Folgendes geschrieben:
Achja, total verdrängt. Das heißt in meiner Aufgabe nimmt die Ladungsverteilung von innen nach außen ab?


Genau.

SandraS hat Folgendes geschrieben:

Machen beide Szenarien physikalisch Sinn? Wann tritt denn welcher Fall auf in der Realität?


Ja gut, was heißt schon Realität? Das sind einfach Übungsaufgaben, in denen man eine Ladungsverteilung annimmt, um damit den Umgang mit dem Gaußschen Gesetz zu üben. Mir ist in der Realität weder der eine noch andere Fall je über den Weg gelaufen.
SandraS



Anmeldungsdatum: 08.12.2019
Beiträge: 16

Beitrag SandraS Verfasst am: 16. Jun 2020 01:04    Titel: Antworten mit Zitat

Achso, ok.

Ich danke Dir vielmals, Nils.
Du hast mir echt geholfen. Thumbs up!


Gute Nacht Schläfer
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Jun 2020 01:10    Titel: Antworten mit Zitat

Keine Ursache.

Gute Nacht!
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