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Wasserstoffatom und Kugelflächenfunktionen
 
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fragensteller3



Anmeldungsdatum: 04.06.2020
Beiträge: 1

Beitrag fragensteller3 Verfasst am: 04. Jun 2020 12:11    Titel: Wasserstoffatom und Kugelflächenfunktionen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

wir sind in der letzten Woche durchgegangen, wie man die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom löst und dabei sind mir ein paar Fragen aufgekommen.
Beim Lösen der Gleichung stößt man ja auch auf eine DGL, die mithilfe der Kugelflächenfunktionen gelöst wird, wobei der Eigenwert zu wäre. Diese Kugelflächenfunktionen sind (mit Ausnahme von den Fällen mit ) komplex. Also kann man auch mit der Hilfe von Linearkombinationen Lösungen bilden, die reell sind.





Meine Ideen:
An dieser Stelle stellen sich mir die folgenden Fragen:
(1) Wenn (und auch sein komplex konjugiertes?) den Eigenwert haben, gilt das dann auch für die Linearkombination
(die eben aus und dem zugehörigen komplex konjugierten zusammengesetzt wird)?
(falls (1) mit ja beantwortet wird:
Ergibt sich dann zu einem Eigenwert sowohl mit der komplexen, als auch der rellen Lösung die gleiche Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich?)
(2) Ich habe jetzt sowohl die Darstellung der komplexen Lösungen, als auch die der reellen Lösungen gesehen und weiß nicht, was jetzt für das Elektron des Wasserstoffatoms gelten soll. Wenn ich z.B. das Quadrat des Drehimpulses messe, mit dem Wert hätte ich dem Elektron die Kugelflächenfunktion
zugeordnet. Was genau geben also die reellen Lösungen an?


Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Falls nicht ganz klar ist, was mein Problem ist, schreibe ich die Frage gerne nochmal um.
LG
fragensteller
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Jun 2020 13:10    Titel: Antworten mit Zitat

Definition und Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen:





(mit geeignetem c)




Zu 1a)

Ja.

Begründung: der entsprechende Operator wirkt - wie alle Operatoren in der QM - linear auf eine Linearkombination:




Zu 1b)

Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte:




... wäre für dich zu berechnen ;-)


Zu 2)

Solange keine irgendwie geartete Auszeichnung einer Richtung vorliegt, sind die Lösung bzgl. verschiedener m gleichberechtigt und entartet. D.h. wenn nur l = 3 bekannt ist, dann ist m unbekannt und somit kann eine beliebige Linearkombination über alle m (s.o.) vorliegen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Jun 2020 15:37, insgesamt einmal bearbeitet
fragensteller3.0
Gast





Beitrag fragensteller3.0 Verfasst am: 04. Jun 2020 13:29    Titel: Antworten mit Zitat

Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Den Teil zu den Eigenwerten habe ich auf jeden Fall verstanden Big Laugh

Was die Wahrscheinlichkeitsdichte betrifft, wollte ich eigentlich auf etwas anderes hinaus.
Wenn man die Funktion in ihrer komplexen Form lässt, erhält man ja zum großen Teil donutförmige Gebilde.
Wenn man die Funktionen jedoch so darstellt, dass sie nicht mehr komplex sind, erhält eher blasenförmige Gebilde.
Und da liegt dann mein Problem, dass es für mich so aussieht, als würde es bei einem Messzustand zwei (völlig) unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für das Elektron geben.

Ich weiß nicht, ob man hier Links reinstellen kann, aber wenn ja kann ich dir gerne einen Link schicken.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Jun 2020 15:25    Titel: Antworten mit Zitat

fragensteller3.0 hat Folgendes geschrieben:
Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Was die Wahrscheinlichkeitsdichte betrifft, wollte ich eigentlich auf etwas anderes hinaus.
Wenn man die Funktion in ihrer komplexen Form lässt, erhält man ja zum großen Teil donutförmige Gebilde.
Wenn man die Funktionen jedoch so darstellt, dass sie nicht mehr komplex sind, erhält eher blasenförmige Gebilde.

Warum rechnest du das nicht einfach aus ;-)

fragensteller3.0 hat Folgendes geschrieben:
Und da liegt dann mein Problem, dass es für mich so aussieht, als würde es bei einem Messzustand zwei (völlig) unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für das Elektron geben.

Wenn zwei verschiedene Zustände vorliegen, dann natürlich auch zwei unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten.

Was meinst du mit „Messzustand“? Lass‘ doch die Messung mal weg.

Es liege ein Zustand vor; über diesen sei ohne eine Messung bekannt, dass l = 3, jedoch m unbekannt; damit wird für diesen Zustand für festes l eine Superposition über alle zulässigen m =-3, ..., +2, +3 vorliegen.

Setzen wir im Wasserstoffatom zudem der Einfachheit halber noch n = fest, dann gilt



Wenn du die Koeffizienten a_m variierest, durchläufst du alle für festes l zulässigen Zustände. Und damit erhältst du für diese unterschiedlichen Zustände auch unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeiten.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Jun 2020 17:19, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Jun 2020 15:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ich sehe gerade, dass du eine andere Konvention verwendest; meine entsprechen deinen , d.h. sind komplex.
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