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Wasserstoffatom im zeitabhaengigen Magnetfeld
 
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eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 23. Okt 2012 18:49    Titel: Wasserstoffatom im zeitabhaengigen Magnetfeld Antworten mit Zitat

Hi Leute,

ich hab ein Problem.

Gegeben sei ein Wasserstoffatom im Zustand:



d.h. glaub n=1 , l=1 , ml = 0 , ms=1/2

Nun wird ein Magnetfeld eingeschaltet, was folgenden Hamiltonian hat:



Nun sollen die moeglichen Endzustaende bestimmt werden.

Jetzt hab ich nicht so wirklich viel Ahnung was ich tun soll. Mein erster Gedanke war die Schroedingergleichung zu loesen, aber diesen habe ich schnell wieder verforgen, da ich ja noch den alten Hamiltonian habe. Muss man das mit ueberlegen loesen oder mit rechnen.

Habt ihr eine Idee?

Viele Gruesse,
eva Hilfe
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 10462

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Okt 2012 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, du sollst die zeitabhängige Störungstheorie anwenden

http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory_(quantum_mechanics)#Time-dependent_perturbation_theory

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«Hier konnte niemand sonst Einlaß erhalten, denn dieser Eingang war nur für dich bestimmt. Ich gehe jetzt und schließe ihn.»
eva1



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Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 23. Okt 2012 19:00    Titel: Antworten mit Zitat

Mhm, das wuerde mir etwas komisch vorkommen, da wir in diesem Kurs keine zeitabhaengige Stoerungstheorie gemacht haben.

Sonst noch welche Ideen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 10462

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Okt 2012 19:16    Titel: Antworten mit Zitat

Na, du kannst den kompletten Hamiltonian als H=H°+H' schreiben und versuchen zu lösen, aber das wäre komisch und ggf. schwierig.

Aber wenn das steht "Nun sollen die moeglichen Endzustaende bestimmt werden" dann sehe ich nur die zwei Möglichkeiten.

Andere Methoden?

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eva1



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Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 23. Okt 2012 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

Die Aufgabenstellung ist auf Englisch, vll. hab ich auch etwas falsch verstanden, ich kanns ja mal hier hereinstellen.

"A hydrogen atom in state |1,1,0,1/2> is subjected to a time-dependent magnetic field . Neglecting terms quadratic in the magnetic field, the interaction between the electron and the external magnetic field, B , is described by the Hamiltonian:



Determine the possible final states.

Vielleicht ist die Aufgabe nur verstehentlich auf den Uebungszettel. Koennte ja sein.

Danke schon mal fuer deine Hilfe. smile
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 23. Okt 2012 22:47    Titel: Antworten mit Zitat

Wir schreiben mal den Hamiltonian auf:



Dann schreiben die x-Komponente von Bahndrehimpuls und Spin mittels der Leiteroperatoren um



Nun betrachten wir den Zeitentwicklungsoperator



Jetzt würde ich mal den o.g. Hamiltonoperator H auf den genannten Zustand anwenden. Der Zustand ist dabei ein Eigenzustand zum ungestörten Hamiltonoperator. Die Störung H' wirkt nur über die Leiteroperatoren, d.h. du musst dir überlegen, wie diese Terme auf die Zustände wirken




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Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 23. Okt 2012 22:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hab ich mir auch schon ueberlegt, aber ich dachte der Zeitentwicklungsoperator gilt nur fuer zeitunabhaengige Hamiltonians, oder?

Daher dachte ich, dass man die Schroedinger-EQ loesen muss.
TomS
Moderator


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Beiträge: 10462

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Okt 2012 23:42    Titel: Antworten mit Zitat

Puh, ja, das ist ein Punkt den ich übersehen habe.

Man kann das lösen, und zwar über die (zunächst nur formale) Dyson-Reihe



Dabei treten Integrale der Form



auf. Die Struktur des (iterierten) Drehimpulsterms und damit die Wirkung auf den ungestörten Eigenzustand bleibt dabei unverändert. D.h. die Schlussfolgerung bzgl. der erreichbaren Endzustände bleibt gültig.

Aber das bedeutet mit Kanonen auf Spatzen schießen!

Außerdem sind die Gleichungen und insbs. die Integrale nicht wohldefiniert, wenn man eine oder beiden Zeiten gegen unendlich gehen lässt. Das ändert wieder nichts an der algebraischen Struktur, aber unschön ist es trotzem.

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Okt 2012 00:02    Titel: Antworten mit Zitat

eva1 hat Folgendes geschrieben:
"A hydrogen atom in state |1,1,0,1/2> is subjected to a time-dependent magnetic field ... Neglecting terms quadratic in the magnetic field, the interaction between the electron and the external magnetic field, B , is described by ... Determine the possible final states.


Zunächst nochmal eine generelle Feststellung: der Hamiltonoperator H' wirkt nicht auf n und l, d.h. zunächst mal können nur folgende Terme entstehen



Dann könnte man auch auf die Idee kommen, dass
eva1 hat Folgendes geschrieben:
"Neglecting terms quadratic in the magnetic field ...
auch bedeuten könnte, man solle generell nur Terme bis zur ersten Ordnung in H' betrachten (käme mir aber komisch vor). Wenn dem so wäre, dann wäre man mit dem Hinschreiben der Schrödingergleichung praktisch schon fertig; alle o.g. Terme in B² fallen weg und man muss jeweils nur den ersten Term auswerten (das ist aber zunächst keine vernünftige Näherung sondern ein sehr eingeschränkte Interpretation der Aufgabenstellung, da für kleine B aber dafür genügend große t diese Näherung nicht mehr gelten muss.

Hast du mal einen allgemeinen = exakten Ansatz versucht? Könnte es sein, dass man das Problem exakt lösen kann?

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jh8979
Moderator


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Beiträge: 7340

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Okt 2012 01:14    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

... zunächst mal können nur folgende Terme entstehen



Ich glaub mehr war gar nicht gefragt in der Aufgabe. Es ging nur um die moeglichen Endzustaende, keine Uebergangswahrscheinlichkeiten oder so ...
eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 24. Okt 2012 11:45    Titel: Antworten mit Zitat

Also sind die moeglichen Endzustaende:

L+ :


L- :


S-:



S+ geht nicht, da ja schon m_s=1/2 .

Aber warum ist das so? Nur weil ich den Hamilton auf den Anfangszustand anwende bekomme ich doch nicht die Endzustaende?
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