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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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 GvC Verfasst am: 06. Feb 2020 10:52 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Meine Frage ist: Wie kann ich das Trägheitsmoment von der Stange berechnen (das Integral), |
mit
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Zuerst habe ich den Energieerhaltungssatz angewendet. |
Da es sich um einen unelastischen Stoß handelt (Geschoss bleibt stecken, d.h. Stange und Geschoss bewegen sich nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit) ließe sich der Energieerhaltungssatz nur anwenden, wenn die beim Stoß durch Verformung und Wärme "verlorene" Energie bekannt wäre. Das ist hier nicht der Fall. Die Anwendung des Drehimpulserhaltungssatzes ist deshalb ausreichend: Summe von Drehimpuls des Geschosses und Drehimpuls der Stange vor dem Stoß ist gleich Summe von Drehimpuls des Geschosses und Drehimpuls der Stange nach dem Stoß.
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blödi123
Anmeldungsdatum: 17.01.2020
Beiträge: 56
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| blödi123 Verfasst am: 06. Feb 2020 11:04 Titel: |
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@GvC
du lässt also bei der Berechnung des Trägheitsmomentes die Masse der Kugel außer Acht?
Ansonsten kommt ja Steiner zum Zug - der Schwerpunkt liegt ja nicht mehr im MMP der Stange, sondern bei x_s=0,5*(m_1/(m+m_1))*l
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 06. Feb 2020 11:34 Titel: |
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| blödi123 hat Folgendes geschrieben: | @GvC
du lässt also bei der Berechnung des Trägheitsmomentes die Masse der Kugel außer Acht? |
Nein, die ist doch im Drehimpuls Lg des Geschosses enthalten.
| blödi123 hat Folgendes geschrieben: | | Ansonsten kommt ja Steiner zum Zug |
Nein. Sowohl vor als auch nach dem Stoß werden die Drehimpulse von Geschoss und Stange getrennt betrachtet.
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blödi123
Anmeldungsdatum: 17.01.2020
Beiträge: 56
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| blödi123 Verfasst am: 06. Feb 2020 12:01 Titel: |
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@GvC ich glaube, du hast mich missverstanden: ich meinte nicht die Masse der Kugel, sondern das Trägheitsmoment des Systems Stange/Kugel...
bitte klär mich mal auf
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 06. Feb 2020 12:38 Titel: |
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| blödi123 hat Folgendes geschrieben: | | ich meinte nicht die Masse der Kugel, ... |
Na ja, immerhin war das Deine Frage:
| blödi123 hat Folgendes geschrieben: | @GvC
du lässt also bei der Berechnung des Trägheitsmomentes die Masse der Kugel außer Acht? |
| blödi123 hat Folgendes geschrieben: | | ... sondern das Trägheitsmoment des Systems Stange/Kugel... |
Das ist in meiner bereits gemachten Aussage enthalten:
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Sowohl vor als auch nach dem Stoß werden die Drehimpulse von Geschoss und Stange getrennt betrachtet. |
Da sich nach dem Stoß beide mit derselben Winkelgeschwindigkeit bewegen, heißt das auch:
Das Trägheitsmoment des Gesamtsystems nach dem Stoß ist die Summe der Trägheitsmomente von Geschoss und Stange.
\cdot\omega^\prime=J_{ges}\cdot\omega^\prime)
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 07. Feb 2020 00:23 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
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Hallo GvC,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Könntest du mir vielleicht erklären, wie du die Integrationsgrenzen bestimmt hast? Ich vermute, dass sie so sind, weil der Schwerpunkt genau in der Mitte der Stange liegt oder? Wie in einem kartesischen Koordinatensystem
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
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Wie kommst du darauf?
Und stimmt was ich für den Radius gesagt habe? ( )
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Da es sich um einen unelastischen Stoß handelt (Geschoss bleibt stecken, d.h. Stange und Geschoss bewegen sich nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit) ließe sich der Energieerhaltungssatz nur anwenden, wenn die beim Stoß durch Verformung und Wärme "verlorene" Energie bekannt wäre. Das ist hier nicht der Fall. Die Anwendung des Drehimpulserhaltungssatzes ist deshalb ausreichend: Summe von Drehimpuls des Geschosses und Drehimpuls der Stange vor dem Stoß ist gleich Summe von Drehimpuls des Geschosses und Drehimpuls der Stange nach dem Stoß. |
Oh stimmt! das habe ich wieder nicht beachtet 
Vielen Dank für die Anmerkung, dann werde ich den Drehimpulserhaltungssatz benutzen! .
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Feb 2020 03:44 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | GvC hat Folgendes geschrieben: |
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Hallo GvC,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Könntest du mir vielleicht erklären, wie du die Integrationsgrenzen bestimmt hast? Ich vermute, dass sie so sind, weil der Schwerpunkt genau in der Mitte der Stange liegt oder? |
Vor allen Dingen deshalb, weil durch diesen Punkt die Drehachse geht. Du willst ja das Trägheitsmoment bzgl. der in der Aufgabenstellung vorgegebenen Drehachse bestimmen. Und die geht durch den Schwerpunkt. Wenn Du die Drehachse an ein Ende der Stange legen würdest, müsstest Du die Integrationsgrenzen von 0 bis l wählen. Damit bekämest Du auch ein anderes Trägheitsmoment (nämlich das Vierfache), was Du übungshalber ja mal überprüfen kannst, indem Du das Trägheitsmoment bzgl. des Schwerpunktes bestimmst und dann den Steiner-Anteil addierst.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | GvC hat Folgendes geschrieben: |
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Wie kommst du darauf? |
Da in der Aufgabenstellung und in der Skizze keine anderslautende Information enthalten ist, gehe ich von einer homogenen Masseverteilung aus, d.h. die längenbezogene Masse m/l ist an jeder Stelle der Stange dieselbe. Wenn Du m/l beispielsweise mit der Länge multiplizierst, erhältst Du die Masse m der Stange, wenn Du mit l/2 multtiplizierst, erhältst Du die Masse der halben Stange, wenn Du mit der infinitesimal kleinen Länge dr multiplizierst, erhältst Du die infinitesimal kleine Masse dm des infinitesimal kleinen Stückchens mit der Länge dr. Da es sich um eine dünne Stange handelt, kannst Du dieses Stückchen praktisch als Punktmasse (Masse dm) betrachten. Durch die Integration addierst Du die infinitesimal kleinen Trägheitsmomente aller Punktmassen der gesamten Stange. (Das Integralzeichen ist ja nichts anderes als das Summenzeichen für infinitesimal kleine Summanden.)
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Und stimmt was ich für den Radius gesagt habe? () |
Nein. r ist die Integrationsvariable, also das, was in Deiner Skizze x genannt wird. Sie läuft von -l/2 bis +l/2. Eigentlich sollte das aus dem oben zitierten Integral schon hervorgehen.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 07. Feb 2020 11:07 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Wenn Du die Drehachse an ein Ende der Stange legen würdest, müsstest Du die Integrationsgrenzen von 0 bis l wählen. Damit bekämest Du auch ein anderes Trägheitsmoment (nämlich das Vierfache), was Du übungshalber ja mal überprüfen kannst, indem Du das Trägheitsmoment bzgl. des Schwerpunktes bestimmst und dann den Steiner-Anteil addierst. |
Oh ok, das kann ich verstehen.Dann ist es wie das Trägheitsmoment eines Stabes!
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Da in der Aufgabenstellung und in der Skizze keine anderslautende Information enthalten ist, gehe ich von einer homogenen Masseverteilung aus, d.h. die längenbezogene Masse m/l ist an jeder Stelle der Stange dieselbe. Wenn Du m/l beispielsweise mit der Länge multiplizierst, erhältst Du die Masse m der Stange, wenn Du mit l/2 multtiplizierst, erhältst Du die Masse der halben Stange, wenn Du mit der infinitesimal kleinen Länge dr multiplizierst, erhältst Du die infinitesimal kleine Masse dm des infinitesimal kleinen Stückchens mit der Länge dr. |
Wenn ich dich richtig verstanden habe, meinst du das hier oder?
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Nein. r ist die Integrationsvariable, also das, was in Deiner Skizze x genannt wird. Sie läuft von -l/2 bis +l/2. Eigentlich sollte das aus dem oben zitierten Integral schon hervorgehen. |
Ich meinte hier eigentlich der Radius für das Geschoss
So sieht bisher meine Lösung aus:
Da sich am Anfang die Stange nicht dreht (nur das Geschoss hat einen Drehimpuls) und da sich die Stange und das Geschoss am Ende zusammen drehen:
\cdot\omega^\prime )
Daraus folgt:
(Das Geschoss habe ich als Massenpunkt betrachtet aber ich bin mir nicht so sicher, ob ich den Steinerscher-Satz für das Geschoss anwenden muss oder nicht, weil das Geschoss in ihr (Stange) stecken bleibt. Deswegen denke ich nicht, dass es nötig wäre)
\cdot\omega^\prime )
Also:
Ist es richtig so? 
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Feb 2020 12:59 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Oh ok, das kann ich verstehen.Dann ist es wie das Trägheitsmoment eines Stabes! |
Das ist nicht wie das Trägheitsmoment eines Stabes, sondern das ist das Trägheitsmoment eines Stabes. Wenn Du von -l/2 bis +l/2 integrierst, ist es das Trägheitsmoment bzgl. der Drehachse durch den Schwerpunkt; und wenn Du von 0 bis l integrierst, ist es das Trägheitsmoment bzgl. einer Drehachse am Stabende. Natürlich hättest Du das Trägheitsmoment aus Deiner Formelsammlung abschreiben können. Aber Du hattest explizit danach gefragt, wie man es berechnet. Das habe ich Dir beantwortet.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich dich richtig verstanden habe, meinst du das hier oder? |
Ja.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Ich meinte hier eigentlich der Radius für das Geschoss |
Das sah in Deiner ursprünglichen Fragestellung aber anders aus, nämlich so:
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | Dann gedacht, dass das gesamte Trägheitsmoment  ist wobei  (das Geschoss) als Massenpunkt betrachtet wird (vermute ich) und  (Die Stange)
Ich weiß aber nicht, was dm in diesem Fall wäre. r sollte aber  sein |
Hier erwähnst Du den Radius r ausschließlich im Zusammenhang mit dem Trägheitsmoment der Stange. Wenn Du etwas anderes gemeint hast, hättest Du das sagen (schreiben) müssen.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Das Geschoss habe ich als Massenpunkt betrachtet aber ich bin mir nicht so sicher, ob ich den Steinerscher-Satz für das Geschoss anwenden muss oder nicht, weil das Geschoss in ihr (Stange) stecken bleibt. Deswegen denke ich nicht, dass es nötig wäre) |
Ich habe schon mehrfach ausgeführt, dass sich das Gesamtträgheitsmoment nach dem Stoß zusammensetzt aus den Einzelträgheitsmomenten des Geschosses und der Stange. Das Trägheitsmoment der Stange hat keinen Steiner-Anteil, weil die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. Was das Geschoss angeht, so kannst Du Dir Folgendes klarmachen:
Wenn es sich bei dem Geschoss um eine Kugel mit endlichem Radius rk>0 handeln würde, müsstest Du in der Tat zum Trägheitsmoment der Kugel  noch dem Steiner-Anteil mk*r² (mit r=l/2) addieren. Da es sich nach Deiner eigenen Erkenntnis und Vorgabe aber um eine Punktmasse mit rk=0 handelt, ist das "Eigenträgheitsmoment" der Kugel null, und es bleibt nur der Steiner-Anteil übrig, nämlich das bekannte Trägheitsmoment einer Punktmasse auf einer Kreisbahn mit Radius r.
Im Grunde hast Du das alles in Deiner Gleichung ja schon richtig berücksichtigt:
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | |
Diese Gleichung hat nur einen gravierenden Schönheitsfehler: Sie unterscheidet nicht zwischen Masse des Geschosses (laut Aufgabenstellung m1) und Masse der Stange (laut Aufgabenstellung m). Außerdem solltest Du anstelle der Integrationsvariablen r die halbe Stablänge benutzen, so dass die Gleichung für die Drehimpulserhaltung lauten müsste:
^2 + \int_{-\frac{l}{2}}^{+\frac{l}{2}}r^2\, dm\right)\cdot\omega^\prime )
^2 +\frac{1}{12}m\cdot l^2\right)\cdot\omega^\prime)
Das kannst Du nun (nach Kürzen von l/2) leicht nach  auflösen und dann die gegebenen Größen mit Zahlenwert und Einheit einsetzen.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 07. Feb 2020 15:00 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Das ist nicht wie das Trägheitsmoment eines Stabes, sondern das ist das Trägheitsmoment eines Stabes. Wenn Du von -l/2 bis +l/2 integrierst, ist es das Trägheitsmoment bzgl. der Drehachse durch den Schwerpunkt; und wenn Du von 0 bis l integrierst, ist es das Trägheitsmoment bzgl. einer Drehachse am Stabende. Natürlich hättest Du das Trägheitsmoment aus Deiner Formelsammlung abschreiben können. Aber Du hattest explizit danach gefragt, wie man es berechnet. Das habe ich Dir beantwortet. |
Alles klar.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Das sah in Deiner ursprünglichen Fragestellung aber anders aus, nämlich so:
Hier erwähnst Du den Radius r ausschließlich im Zusammenhang mit dem Trägheitsmoment der Stange. Wenn Du etwas anderes gemeint hast, hättest Du das sagen (schreiben) müssen. |
Ok, du hast recht, ich hätte es getrennt schreiben sollen.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Wenn es sich bei dem Geschoss um eine Kugel mit endlichem Radius rk>0 handeln würde, müsstest Du in der Tat zum Trägheitsmoment der Kugel noch dem Steiner-Anteil mk*r² (mit r=l/2) addieren. Da es sich nach Deiner eigenen Erkenntnis und Vorgabe aber um eine Punktmasse mit rk=0 handelt, ist das "Eigenträgheitsmoment" der Kugel null, und es bleibt nur der Steiner-Anteil übrig, nämlich das bekannte Trägheitsmoment einer Punktmasse auf einer Kreisbahn mit Radius r. |
Achso, ok, danke!
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Diese Gleichung hat nur einen gravierenden Schönheitsfehler: Sie unterscheidet nicht zwischen Masse des Geschosses (laut Aufgabenstellung m1) und Masse der Stange (laut Aufgabenstellung m). Außerdem solltest Du anstelle der Integrationsvariablen r die halbe Stablänge benutzen, so dass die Gleichung für die Drehimpulserhaltung lauten müsste:
Das kannst Du nun (nach Kürzen von l/2) leicht nach auflösen und dann die gegebenen Größen mit Zahlenwert und Einheit einsetzen. |
Oh ups, ich dachte, dass ich doch "m_{1}" geschrieben habe. Ich wollte den Radius später einsetzen, deswegen sah es so aus aber vielen Dank.
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