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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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 Patrickvd Verfasst am: 24. Apr 2008 17:53 Titel: Stochastikaufgabe- 10 Tauben auf einer Stange... |
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Vorerst will ich erstmal sagen, dass es sich hier um eine Matheaufgabe handelt, allerdings eine echt interessante..
Also.. erstmal die Aufgabe:
10 Vögel sitzen auf einer Stange. Es gibt 10 Jäger mit jeweils einem Schuss. Die Jäger sind perfekte Schützen und wählen ihr Ziel unabhängig voneinander zufällig aus, alle schießen gleichzeitig. (Also ingesamt 10 Schüsse auf 1-10 Tauben!)
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Taube "Bertha" überlebt?
b) Wie hoch ist der Erwartungswert der lebenden Tauben?
c) Wie sind die beiden anderen Aufgaben zu behandeln, wenn es statt 10 Jägern 20 Jäger gäbe, die auf 10 Tauben schießen?
Saß heute ne Weile mit meinem Mathelehrer dran, aber so wirklich kamen wir nicht drauf.. was sagt ihr dazu?
Liebe Grüße, Patrick |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Apr 2008 18:27 Titel: |
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Ich würde in a) die Gegenereignisse verknüpfen:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Jäger 1 nicht auf Taube Bertha schießt? (90%).
Und das für 10 Jäger, also ^{10}) .
Meinst du mit Erwartungswert der lebenden Tauben den Erwartungswert für die Zahl der Tauben, die überleben? Wenn ja, kannst du ihn aus diesem Ergebnis aus a) ausrechnen? |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 24. Apr 2008 18:39 Titel: |
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Eigentlich rechne ich ja ungern einfach nur vor, aber die Aufgabe ist wirklich nett. Also los:
Da jeder Jäger mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf die Tauben schiesst ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jaeger auf eine bestimmte Taube schiesst
1/10. Die Wahrscheinlichkeit das er nicht auf diese Taube schiesst entsprechend 9/10.
Die Wahrsacheinlichkeit, das mehrere Ergeignisse eintreffen deren Wahrscheinlichkeiten unbahängig voneinander sind ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit das Taube Berta nicht getroffen wird, also die Ueberlwenbenswahrscheinlichkeit einer bestimmten Taube,
^{10} \simeq 0.34 ) .
Soweit ist es ganz Einfach. Nun gehts ans eingemachte. Um den Erwartungswert auszurechnen muss man die Wahrscheinlichkeit  kennen, dass k Tauben überleben. (k lauft natuerlich von Null bis Zehn). Dann erhält man den Erwartungswert aus:
Überlegen wir uns erst mal wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, das k bestimmte Tauben überleben. Zum Beispiel fuer k=3: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das die erste, die 3. und die 7. Taube überlebt.
Das ist dann
^{10-k} )
Also die Wahrscheinlichkeit das k bestimmte Tauben ueberleben multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit das die restlichen Tauben nicht ueberleben.
Nun ist es aber für das gesuchte egal welche Tauben überleben. Ob die erste die dritte und die siebente oder die erste die fuenfte und die zehnte oder beliebige andere Kombinationen. Deshalb muss man noch mit der Anzahl der moeglichen Konfigurationen multiplizieren. Aus der Kombinatorik wissen wir das wenn man k Dinge auf N Slots verteilen will, die Zahl der Möglichekeiten
 )
ist (Binomalkoeefizient)
Also
 p_l^k(1-p_l)^{10-k} )
Und wenn man sich ein bischen mit Stochastik auskennt sollte man erkennen das dies eine Biniomalverteilung ist.
Wenn man nun den Erwartungswert ausrechnet erhält man
edit: hmm, leider falsch. Der Ansatz waere richtig, wenn man bei jeder Tabe unabhaengig entscheiden würde ob sie stirbt aber das ist hier nicht der Fall.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt.
Zuletzt bearbeitet von sax am 25. Apr 2008 00:19, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 24. Apr 2008 18:52 Titel: |
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Das kann so nicht ganz funktionieren:
So wäre die Wahrscheinlichkeit das alle Tauben überleben bei dir:
 0,9^{10}(0,1)^{0} > 0)
Aber selbst wenn nur einer schießt, er trifft immer eine Taube. Also muss mindestens eine Taube immer sterben, damit muss diese Wahrscheinlichkeit eigentlich Null sein. |
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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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| Patrickvd Verfasst am: 24. Apr 2008 19:23 Titel: |
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pressure hat gerade das thema angesprochen, an dem wir auch hingen.. Es kann wie sax beschrieben hat keine binomialverteilung sein.. Denn dann hätte jede einzelne Taube die Überlebenswahrscheinlichkeit von 34% aus aufgabenteil a) (der soweit ich weiß tatsächlich stimmt) es kann keine binomialverteilung sein, weil man dann für den fall, dass alle 10 tauben leben 0,34^10 hätte (also einen reellen wert) den darf es, wie pressure erkannt hat, nicht geben..
vielleicht kann man auch klein anfangen und sich überlegen, wie groß die wahrscheinlichkeit des todes einer 2. taube sei in abhängig vom ergebnis der 1. (tot oder lebendig).. denn die 2. wahrscheinlichkeit muss von der ersten abhängig sein..
finds cool, dass ihr mir helft, dankeschön :-)
edit: ich lege hier einfach mal meinen ansatz zu lösung der aufgabe b) dar.. aber auch der ist leider fehlerhaft (trotzdem kam ich zu einem anderen ergebnis als sax)
rein logisch betrachtet (so denke ich, muss nicht unbedingt stimmen^^) ist die wahrscheinlichkeit, dass 9 verschiedene tauben getroffen werden genau so groß, dass 9 tauben überleben... 10 über 1 und 10 über 9 kommt aufs gleiche raus... das gleiche bei 10 über 8 und 10 über 2 etc..... das heißt dan wiederum, dass der erwartungswert der zahl der lebenden tauben auf genau glatt 5 hinauslaufen würde, weil man immer zwei ergebnisse zusammenpacken kann, den durchschnitt bildet und auf 5 kommt.. insgesamt kommt man mit dieser methode auf insgesamt 1024 fälle (10über0 + 10über1 + 10über2 +..... + 10über10) den ersten und letzten fall (10 tote und 10 lebendige tauben) gibt es jeweils nur 1x.. da liegt dann auch der fehler, denn 10 tote tauben sind erlaubt, 10 lebendige nicht..
Zuletzt bearbeitet von Patrickvd am 24. Apr 2008 19:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 24. Apr 2008 19:29 Titel: |
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Ich hab mir jetzt die ganze Zeit Gedanken gemacht... und auch versucht über die toten Tauben zu gehen. Aber das wird auch kompliziert:
Sagen wir zur Einfachheit die Schützen schießen nacheinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf alle Tauben, egal ob eine schon Tod ist oder nicht.
Der erste trifft sicher eine. Beim zweiten ist mit der Wahrscheinlichkeit von 9/10 die zweite tot. Zu 1/10 bleibt es ein. Beim dritten Schützen ist, wenn erst eine tot ist, zu 9/10 die zweite tot, sind zwei tot, dann zu 8/10 usw. ... alles sehr verstrickt.
Es muss einen anderen Weg geben. |
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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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| Patrickvd Verfasst am: 24. Apr 2008 19:38 Titel: |
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der weg ist wohl der richtige.. man muss die rechnung nur vernünftig zusammenfassen, das geht bestimmt, weil ja alles irgendwie zusammenhängt.. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 24. Apr 2008 19:51 Titel: |
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Ich hab jetzt noch mal anders probiert. Der Ergebnisraum ist die Anzahl der Verteilungen von 10 Kugeln auf 10 Enten. Damit ist dann die Wahrscheinlichkeit das k Enten überleben die Anzahl der Verteilung von 10 Kugeln auf genau (10-k) Enten mal die Möglichkeiten k Enten aus 10 auszuwählen.
Mein Problem ist nun aber wie ich die Anzahl der Verteilung von 10 Kugeln auf (10-k) Enten berechne. Bei einer Ente gäbe es eine Möglichkeit. Bei zwei Enten gäbe es 9 Möglichkeiten usw. ...
Stell deine Frage mal im Matheboard ! |
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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 07:31 Titel: |
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Ich habe mittlerweile eine relative pausible Lösung, muss nur noch mal überprüfen ob sie wirklich stimmt. Ich werde sie heute Nachmittag posten. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 11:01 Titel: |
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Da bin ich mal gespannt, ich habe es gestern Abend nicht mehr hinbekommen. Aber ich habe es mal simuliert, habe jetzt aber keine grossen Tests gemacht und kann Bugs nicht ganz auschliessen, aber da das progi recht kurz ist habe ich es mal unten gepostet. ich komm
auf einen Erwartungswert von
stimmt das mit deiner Rechnung überein ?
(Wobei der Fehler nur die geschätzte Standartabweichung der Verteilung
des geschätzten Mittelwerts bei der entsprechenden Stichprobe ist, keine Wichtung mit Student-faktor oder so. )
edit: Der numerische Wert stimmt im Rahmen der Genauigkeit mit
dem aus der Binomialverteilung überein. Aber das die Binomialverteilung nicht richtig sein kann ist ja mittlerweilr klar, ich werde heute Abend mal schauen wie die numerisch bestimmte Verteilung ist, verschiedene Verteilungen koennen ja durchaus den gleichen Mittelwert haben. Oder habe ich doch einen Fehler im progi ?
| Code: |
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
vector<bool> tauben;
void restoreTauben()
{
vector<bool>::iterator titer=tauben.begin();
while(titer!=tauben.end()) {
*titer=true;
titer++;
}
}
int main()
{
int lebende;
double erwartungswert=0;
double eq;
double standartabweichung;
int versuch;
tauben.resize(10);
for(versuch=0;versuch<1000000;versuch++) {
restoreTauben();
lebende=10;
for(int schuetze=0;schuetze<10;schuetze++) {
int t=int(drand48()*10);
if(tauben[t]) {
lebende--;
tauben[t]=false;
}
}
erwartungswert+=lebende;
eq+=lebende*lebende;
}
erwartungswert/=versuch;
standartabweichung=sqrt((eq/versuch-erwartungswert*erwartungswert)/(versuch-1));
cout.precision(5);
cout << "Erwartungswert: " << erwartungswert << endl;
cout << "Standartabweichung: " << standartabweichung << endl;
}
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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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| Patrickvd Verfasst am: 25. Apr 2008 13:08 Titel: |
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uff, da wirds mir ein bisschen zu hoch^^
was übrigens interessant ist (auch wenn ich nicht weiß, ob es hilft..)
im aufgaben teil a) haben wir (9/10)^10
allgemein gehalten bei n jägern und n tauben lautet das ( (n-1) / n) ^n
den bruch auseinandergezogen: (1 - 1/n)^n
das erinnert stark an die e-funktion und Zinseszinsrechnungen. Nur mit dem MINUS in der klammer statt einem PLUS haben wir nicht "e", sondern 1/e...
das heißt, die funktion bei gleicher anzahl von tauben und jägern läuft dem grenzwert 1/e entgegen... vielleicht nicht relevant für die b), aber ich finds interessant ;-) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 13:17 Titel: |
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Nachdem ich gerade mein Englisch Grundkurs Abitur geschrieben habe, hier nun mein Rechnenweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass k Enten überleben ist die Anzahl der Möglichkeiten k-Enten (bzw. 10-k Enten - kommt ja aufs Gleiche raus) auszuwählen mal die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf genau (10-k) Enten zu verteilen durch die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf 10 Enten zu verteilen.
Die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf 10 Enten zu verteilen ist:
Die Anzahl der Möglichkeiten 10-k Enten aus den 10 Auszuwäheln ist:
Die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf genau 10-k Enten zu verteilen ist nun
+10-k-1 \choose 10-k-1} = {9 \choose 9 - k})
Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass k Enten noch leben wie folgt:
}=\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} \text{ mit } k \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} )
Und es gilt sogar bzw. zum Glück:
} =\sum_{k=0}^9~\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} = 1)
Ich hab es einfach ausgerechnet ... wie man das mathematisch zeigt ist mir schleierhaft.
Für den Erwartungswert gilt dann:
 = \sum_{k=0}^9~ P_{(X = k)} \cdot k =\sum_{k=0}^9~\frac{{10 \choose k} \cdot {9 \choose 9 - k}}{{19 \choose 10}} \cdot k \approx 4,7368) |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 14:19 Titel: |
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| Zitat: | | Die Wahrscheinlichkeit, dass k Enten überleben ist die Anzahl der Möglichkeiten k-Enten (bzw. 10-k Enten - kommt ja aufs Gleiche raus) auszuwählen mal die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf genau (10-k) Enten zu verteilen durch die Anzahl der Möglichkeiten 10 Kugeln auf 10 Enten zu verteilen. |
Klingt plausibel, ich fürchte aber auch das ist nicht richtig, denn bei der Anzahl der möglichkeiten 10 Kugeln auf 10-k Enten Enten zu veteilen besteht auch die Möglichkeit das auf einigen der 10-k Enten keine Kugel landet und damit mehr als k Enten Überleben. Es müsste die Zahl der Moeglichkeiten sein, 10 Kugeln auf 10-k Enten aufzuteilen mit der Bedingung, das mindestens 1 Kugel bei jeder der 10-k Enten landet.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 14:26 Titel: |
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| sax hat Folgendes geschrieben: | | Es müsste die Zahl der Moeglichkeiten sein, 10 Kugeln auf 10-k Enten aufzuteilen mit der Bedingung, das mindestens 1 Kugel bei jeder der 10-k Enten landet. |
Genau das habe ich bedacht und das ist in dem Wörtchen "genau" enthalten. Deswegen haben ich auch von den 10 zu verteilenden Kugeln (10-k) abgezogen, da diese ja wegfallen, wenn jede von den 10-k Ente mindestens eine Kugel bekommt.
Irgendwie ist die ganze Aufgabe sehr makaber  |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 14:39 Titel: |
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gut, das habe ich nicht bedacht. Im Moment finde ich keine Fehler in deinen Ueberlegungen, aber auch nicht in meinem Programm....irgendwelche Ideen ?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 25. Apr 2008 14:43 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: |
Irgendwie ist die ganze Aufgabe sehr makaber |
Einverstanden  Manche Gedächtnisforscher werden vielleicht sagen, das Abknallen von Tauben oder Enten sei meistens einprägsamer als eine Aufgabe, die zum Beispiel einfach nur nüchtern sagt:
| Code: |
In einer Urne befinden sich zehn nummerierte Kugeln. Zehnmal wird eine Kugel gezogen, die Nummer notiert und die Kugel wieder zurückgelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Kugel mit der Nummer 3 nicht gezogen? Wie lautet der Erwartungswert für die Anzahl der nicht gezogenen Kugeln? Wie verändern sich diese Werte für 20 Kugeln und 20 Mal Ziehen mit Zurücklegen?
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Mit der Berechnung des Erwartungswertes als ^{10}) bin ich einverstanden, denn die Wahrscheinlichkeit, zu überleben, ist in dieser Aufgabe für alle Tauben gleich groß, und die Randbedingung, dass dieser Erwartungswert kleiner oder gleich 9 sein muss, wird von diesem Ergebnis erfüllt. (Dieses Ergebnis wird von Sax's numerischer, eine Million mal wiederholter Durchführung des Experimentes bestätigt.)
// edit : einen Formulierungsfehler korrigiert
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 25. Apr 2008 14:57, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 14:44 Titel: |
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In deinen Programm erkenne ich auch keine Fehler 
Kann es vielleicht an der Randomfunktion liegen, dass irgendwelche Zahlen von 0-9 eine größere Wahrscheinlichkeit haben... glaube ich aber irgendwie nicht bzw. sieht eigentlich ganz gut aus im Quellcode.
Dann das .resize(10) bekommt das Datenfeld da die Positionen 0-9 oder 1-10 ? |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 14:52 Titel: |
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Das Datenfeld bekommt die indizes 0..9, aber die Zufallszahl liegt auch zwischen 0..1 und durch multiplizieren mit 10 und weglassen der nachkommastellen bekommt man eine Gleichverteilte Zahl zwischen
0..9 .
@dermakus: aber die WK das eine Taube ueberlebt unter der Bedingung das andere Tauben ueberleben ist verschieden von 0.9^10. Deshalb funzt ja die Biniomalverteilung nicht
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 15:28 Titel: |
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Ja, ist es, die Frage bleibt ob diese Verteilung das Problem korrekt beschreibt. Solange wir einen widerspruch zwischen (Computer)experiment
und Rechnung haben muss irgendwo ein Fehler sein. Entweder in der Rechnung oder in der Simulation(vlt auch in beiden). Wie gesagt finde ich die Rechnung logisch. Ich werde jetzt mal die Verteilung numerisch bestimmen.
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 15:50 Titel: |
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Also deine Verteilung kann auch nicht stimmen:
Nach deiner Verteilung ist die WK das 9 Tauben ueberleben ungefaehr
0.0001.
Neun Tauben ueberleben heisst aber, dass alle Zehn schuetzen auf die selbe Taube schiessen, die WK dafuer ist aber (0.1)^10.
Es gibt 10 moeglichekiten also ist die wk 1/10^9. Viel kleiner als bei dir.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 15:53 Titel: |
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Darauf bin ich auch gerade gestoßen.  |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 16:06 Titel: |
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Ich glaube der Fehler liegt darin, dass die Menge der Ereignisse zu klein ist. Ich erkläre das mal an einem Beispiel:
Sagen wir wir hätten 2 Tauben T1 T2 und 2 Schützen S1 S2. Es gibt folgende Möglichkeiten:
a)
S1 T1
S2 T1
b)
S1 T1
S2 T2
c)
S1 T2
S2 T1
d)
S1 T2
S2 T2
also vier Möglichkeiten. Nach der Formel der Gesamtmöglicheiten
wären es aber nur 3. Das bedeutet wir müssen hier von unterscheidbaren Kugeln ausgehen. In der Formel wird b) und c) nur als eine Möglichkeit gewertet. In der Gleichung für die Verteilung von 10 Kugeln auf genau k Tauben gilt das gleiche.
edit: Schreibfehler korrigiert.
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Zuletzt bearbeitet von sax am 25. Apr 2008 16:47, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 16:15 Titel: |
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Hier mal meine numerisch bestimmte Verteilung:
Zahl |absolute Haufigkeit | relative Haefigkeit | Binomial
-------------------------------------------------------------------
0 | 349 |0.000349 | 0.0137
1 | 16466 | 0.016466 | 0.073
2 | 136204 | 0.136204 | 0.177
3 | 355862 | 0.355862 | 0.252
4 | 344620 | 0.34462 | 0.2369
5 | 128725 | 0.128725 | 0.152
6 | 17051 | 0.017051 | 0.067
7 | 719 | 0.000719 | 0.02
8 | 4 | 4e-06 | 0.004
9 |0 | 0 | 0.0005
edit: Die Null bei der Neun ist nicht verwunderlich, da ich nur eine Million mal gezogen habe und die WK fuer Neun 1 zu einer Milliarde ist
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Zuletzt bearbeitet von sax am 25. Apr 2008 16:26, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 25. Apr 2008 16:15 Titel: |
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| sax hat Folgendes geschrieben: |
@dermarkus: aber die WK das eine Taube ueberlebt unter der Bedingung das andere Tauben ueberleben ist verschieden von 0.9^10. Deshalb funzt ja die Biniomalverteilung nicht |
Ich sehe noch nicht so recht, warum die Wahrscheinlichkeiten für die Tauben bedingte Wahrscheinlichkeiten sein sollen, solange sichergestellt ist, dass die Randbedingung erfüllt ist, dass mindestens eine Taube dran glaubt.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten sind voneinander unabhängig und die Binomialverteilung beschreibt das Experiment korrekt für alle Fälle, in denen die Anzahl der überlebenden Tauben den Randbedingungen der Aufgabe genügt, also zwischen 0 und 9 liegt.
// edit: Was ich hier in diesem Beitrag über bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Binomialverteilung gesagt habe, stimmt wohl nicht so recht. Der Grund, warum der Erwartungswert richtig als  berechnet werden kann, ist ein anderer. (Zu der Wahrscheinlichkeitsverteilung, die das ganze korrekt beschreibt, siehe unten und im zugehörigen Matheboardthread.)
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 07. Mai 2008 16:59, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 16:30 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten sind voneinander unabhängig und die Binomialverteilung beschreibt das Experiment korrekt für alle Fälle, in denen die Anzahl der überlebenden Tauben den Randbedingungen der Aufgabe genügt, also zwischen 0 und 9 liegt. |
Aber die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt dann nicht 1. Damit ist diese Wahrscheinlichkeitsverteilung schlicht weg falsch.
@sax:
Hast du beim vorletzen Mal T mit S vertauscht ? |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 16:33 Titel: |
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Ich habe im letztem post noch mal die Binomialverteilung mit rein genommen, der Fehler bei der Ableitung ist, dass man annimt die Wahrscheinlichkeit, dass k bestimmte Tauben ueberleben ist
^{10-k} )
Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit das Taube Bertas stirbt, unter der Bedingung das 5 weitere Tauben sterben viel kleiner als die Wahrscheinlichkeit das Berta stirbt. Hmm, das laesst sich schwer in Worte fassen. Die Wahrscheinlichkeit das Taube A und Taube C sterben.
Ist nur dann das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn diese Unabhaengig voneinander sind. Das sind sie hier aber nicht.
edit @pressure. Ne, ich habe T1 und T2 verwechselt, zur biniomalverteilung:
Die Summe gibt nur eins wenn k von Null bis zehn laeuft.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 16:38 Titel: |
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Das würde ich als Taube 1 wird von Schütze 1 erschoßen und Taube 2 wird auch von Schütze 1 erschoßen werten. Aber Schütze 1 schießt doch nur 1 Mal. Es muss eher heißen:
S1 T1
S2 T1 |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 16:46 Titel: |
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Sorry, du hast volkommen recht.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 17:14 Titel: |
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Neuer Versuch:
Für k = 9 - 9 Tauben überleben:
^9 = \left (\frac{1}{10}\right)^9 \cdot \left[ 1^9\right])
Für k = 8 - 8 Tauben überleben:
^9 \cdot \left[ 1^0 \cdot 9 \cdot 2^8 + 1 \cdot 9 \cdot 2^7 + 1^2 \cdot 9 \cdot 2^6 + 1^3 \cdot 9 \cdot 2^5 + 1^4 \cdot 9 \cdot 2^4 + 1^5 \cdot 9 \cdot 2^3 + 1^6 \cdot 9 \cdot 2^2 + 1^7 \cdot 9 \cdot 2^1 + 1^8 \cdot 9 \cdot 2^0\right] = )
^9 \cdot 9 \cdot \sum_{k=0}^{8}~(1^k \cdot 2^{8-k}) )
Für k = 7 - 7 Tauben überleben:
^9 \cdot \left[ 1^0 \cdot 9 \cdot 2^0 \cdot 8 \cdot 3^7 + 1^0 \cdot 9 \cdot 2^1\cdot 8 \cdot 3^6 + ... +1^7 \cdot 9 \cdot 2^0\cdot 8 \cdot 3^0\right] = )
^9 9\cdot 8 \cdot \sum_{k=0}^{7}~\left[1^k \sum_{n=0}^{7-k}~(2^n \cdot 3^{7-k-n})\right] )
usw.
Kann das stimmen... oder habe ich mich irgendwo verechnet oder verrannt ? Bzw. erkennt jmd. ein System und kann es allgemein formulieren. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 25. Apr 2008 17:46 Titel: |
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Scheinbar stimmt das auch nicht mit den numerischen Werten.
Ich habe jetzt folgendes Ueberlegt:
Ich muss 10 Unterscheidbare Kugeln auf 10 Tauben vetrteilen. Das sind
insgesamt  Moeglichkeiten.
N ach dem gleichen Ansatz wie vorhin waehle ich k Tauben aus die Ueberleben sollen. Dann ist die WK.
 \frac{N_{10-k}}{10^{10}} )
Mir fehlt jetzt noch das
 ,
das die Anzahl von Moeglichkeiten sein soll 10 unterscheidbare Kugeln auf n-k Urnen zu veteilen, wobei mindestens eine Kugel in jeder Urne sein muss.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 25. Apr 2008 22:09 Titel: |
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Im Matheboard gab es mittlerweile die richtige Formel:
^j \binom{10-k}{j} \left(1 - \frac{k+j}{10} \right)^{10})
Der Clou ist aber, dass man einfach den Erwartungswert, dass eine Taube überlebt, einfach 10x addieren kann, da dies auch geht wenn die Ereignisse abhängig voneinander sind.
Also:
 = 10 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{10}) |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 26. Apr 2008 16:25 Titel: |
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Na, dann  , das war ein sehr spannender Thread. Jetzt koennen wir ja endlich wieder ruhig schlafen  .
Die Verteilung stimmt auch mit dem numerischen Ergebniss ueberein.
Die Idee das ganze als Summe von Zufallsvariablen darzustellen ist natuerlich genial...werde ich mir merken, vieleicht braucht man es mal wieder.
Dann ein schoenes WE.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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Patrickvd
Anmeldungsdatum: 05.03.2008
Beiträge: 17
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| Patrickvd Verfasst am: 26. Apr 2008 18:44 Titel: |
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vielen dank für die mühe, die sich hier vorallem sax, pressure und markus gemacht haben :-) hätte nie gedacht, dass sich hier so viele kompetente und interessierte leute rumtummeln ;-)
schönes wochenende noch! |
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Fragezeichen
Gast
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| Fragezeichen Verfasst am: 24. Jan 2011 15:57 Titel: |
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hätte jemand ne kurze lösung also a, b ,c ? wir kommen nicht drauf dankeschön |
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eva1
Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532
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| eva1 Verfasst am: 24. Jan 2011 17:49 Titel: |
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Benutz doch mal die Suchfunktion im Matheboard. Da dürfte was zu finden sein. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Jan 2011 18:35 Titel: |
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| Fragezeichen hat Folgendes geschrieben: | | hätte jemand ne kurze lösung also a, b ,c ? wir kommen nicht drauf dankeschön |
Für alle, die sich gerne in den Lösungsweg hineindenken wollen, um das selber zu schaffen und zu verstehen, ist glaube ich in diesem Thread bereits so gut wie alles genannt worden, was dafür nötig ist.
Statt dessen eine fertige Kurz-Musterlösung aufzuschreiben, die man dann nur noch abzuschreiben braucht, ohne die Aufgabe selber verstanden zu haben, wäre hingegen ja eher nicht Sinn und Zweck der Hilfe zur Selbsthilfe hier. |
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