Zeitentwicklung

VielenDank133 · Gast

Meine Frage:
Hier der Hintergrund
Als konkretes Beispiel betrachten wir ein System, dessen Hamiltonoperator nur zwei Eigenfunktionen besitzen soll. Der Hamiltonoperator H und eine Observable A haben folgende Gestalt in Matrixdarstellung:

.

Das System befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand:

.

Wobei |1> & |2> die orthonorm. Basis/Eigenkets sind.
C konnte ich schon als (1/5)^0.5 bestimmen, da Normierung verlangt wird.

Hier die Aufgaben, bei denen ich keine Ahnung habe, inwiefern ich eine Zeitabhängigkeit reinbringen soll/kann:

Bestimmen Sie die zeitliche Entwicklung von | grübelnd

t)> fur beliebige Zeiten t.

Berechnen Sie den Energie-Erwartungswert <H>(t) im Zustand | grübelnd

t)> und verifizieren Sie
insbesondere, dass dieser zeitunabhäangig ist.

Berechnen Sie den zeitabhängigen Erwartungswert <A>(t) fur das System im Zustand | grübelnd

t)>.

Meine Ideen:
Seperationsansatz, bei dem ich die zeitliche Entwicklung einfach als e^-it...
reinbringen kann? Zeitoperator? Bin echt ratlos..

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Zeitentwicklungsoperator

Davon nun die Taylorreihe in -iHt; die Potenzen von H sind trivial, da H diagonal ... dann die Taylorreihe scharf anschauen ...

VielenDank1332 · Gast

Danke, das hat mir weitergeholfen.
Da DIe Matrix ja bereits diagonalisiert ist, ist

. Das <H>(t) zeitunabhängig ist verstehe ich, da sich die Propagatoren wegen kompl. konj. rauskürzen. Aber warum sollte das, wie in der Aufgabe impliziert, nicht für <A> der Fall sein?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Es gilt

Dabei vertauscht H mit dem Zeitentwicklungsoperator exp[-iHt].

Aber in

vertauschen A und exp[-iHt] nicht.

Eth11 · Anmeldungsdatum: 25.12.2018 Beiträge: 8

Danke.
Aber wenn ichs dann ausrechne, also

, verschwindet die Zeitabh. wieder?:

https://www.dropbox.com/s/uu30qng91vnyz3d/20191216_154907.jpg

Wo ist der Fehler?