Coulombsche Kraft und Swing-by-Manöver

maggy017 · Anmeldungsdatum: 04.10.2019 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich knobele bereits seit ein paar Tagen an zwei Aufgaben, die unser Physiklehrer nach den Ferien benoten möchte. Leider habe ich so gut wie keine Ahnung von der Thematik und das Internet ist bei den komplexen Fragestellungen wenig hilfreich. Ich bin mittlerweile ziemlich verzweifelt und habe daher gehofft, dass ihr mir bei dem Rechenweg und der Lösung vielleicht helfen könnt und mir anschließend erklärt, wie und was man da rechnen muss.

Hier die Aufgaben:

1. Ein geladenes Wattebällchen (m = 1 mg, Q = 1 nC) schwebt in einem Kunststoffrohr über einer festsitzenden geladenen Metallkugel (Q = 1 nC).

a) Berechne die Höhe auf der das Wattebällchen schwebt.

b) Wird das Wattebällchen leicht angehoben oder nach unten gedrückt, fängt es an, zu schwingen. Zeige, dass die Kraft, die es dann erfährt, die Form einer Rückstellkraft vom Typ F = -D*x hat, wobei x die Ablenkung zur Ruhelage darstellt. Leite zusätzlich her, dass D=\frac{2(4\pi \epsilon_{0})^{1/2} (mg)^{3/2}}{Q} ist.

c) Zeige, dass die Schwingungsfrequenz 4 Hz beträgt.

Hinweis: Verwende die Näherung \frac{1}{(a\pm x)^2}\approx\frac{1}{a^2}\mp\frac{2x}{a^3}

2. In einem Swing-by-Manöver, wird der Energietransfer in einer elastischen ?Kollision? zwischen einem Planeten und einer Raumsonde (m = 500 kg) ausgenutzt, um ohne Verwendung von Treibstoff diese zu beschleunigen. Die Raumsonde nähert sich dem Planeten Saturn mit v = 12 km/s. Der Planet bewegt sich mit v_{s} = -9,6 km/s (beide im Bezugssystem der Sonne). Durch die Anziehungskraft zwischen Saturn und Sonde, schwingt die Sonde um den Planeten herum und entfernt sich wieder in entgegengesetzter Richtung mit der Geschwindigkeit v?.

a) Nehme an, die Kollision wäre eindimensional und elastisch und die Saturnmasse wäre sehr viel größer als die der Sonde. Wie groß ist dann die Endgeschwindigkeit v??

b) Um welchen Faktor erhöht sich die kinetische Energie bei diesem Manöver? Woher kommt diese Energie?

Wenn ihr mir zur Lösung der Aufgaben verhelft, wäre das meine Rettung. Deshalb danke ich euch bereits vielmals im Voraus.

Liebe Grüße

Meine Ideen:
Zu Aufgabe 2. b) habe ich mir überlegt, dass sich die Geschwindigkeit in etwa verdoppelt, da die Sonde durch die Gravitation zum Planeten beschleunigt wird und ihm beim Schneiden seiner Bahnkurve kinetische Energie entzieht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Willkommen hier im Forum

Einmal zur 1. Aufgabe.

1. a) Wenn das Wattebällchen schwebt, bedeutet das, dass die Summe der Kräfte, die auf das Bällchen wirken, gleich null ist. Welche Kräfte wirken denn im vorliegenden Fall? Bei einer bestimmten Höhe h wird die Summe der Kräfte (Vorzeichen beachten) =0. Also Gleichung aufstellen und nach h auflösen.

1. b) Bei einer kleinen Auslenkung x aus der Ruhelage bei der oben gesuchten Höhe h ist die rücktreibende Kraft proportional zu x. Man könnte eine Taylor-Entwicklung machen für die resultierende Kraft am Punkt der Ruhelage, doch das ist hier gar nicht nötig, denn es ist bereits eine Näherung angegeben, die verwendet werden darf. Schreib einfach mal die Kräfte auf und verwende für die Coulombkraft die Näherung. Die resultierende Kraft ist dann proportional zu x, und es ergibt sich die Konstante D.

1. c) Wenn Du die Kraft F(x)=-D*x auf das Bällchen bestimmt hast, folgt daraus auch die Frequenz, mit der das Bällchen harmonisch schwingt. Die Bewegungsgleichung lautet ja

genau wie z.B. bei einem Federschwinger. Da die Bewegungsgleichung dieselbe Form hat, ist auch die Kreisfrequenz der Schwingung gleich und beträgt

.

maggy017 · Anmeldungsdatum: 04.10.2019 Beiträge: 3

Das klingt irgendwie ... einfach. Nur habe ich bereits Probleme damit, eine Formel zu verstehen geschweige denn, sie richtig umzustellen. Das mag vielleicht dumm klingen und höchstwahrscheinlich bin ich auch eine absolute Niete auf diesem Gebiet, doch ich möchte einfach nur meine Zeugnisnote retten. Ich wäre dir also unendlich dankbar, wenn du mich schrittweise zum Ergebnis führen könntest, damit ich wenigstens nachvollziehen kann, was bei der Aufgabe gerechnet werden muss.

Falls du das nicht kannst/willst, danke ich dir trotzdem für deine Hilfe.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Hmm, ich werde es versuchen. Einfacher wäre es, einfach die ganze kurze Rechnung hinzuschreiben, aber das wäre wohl auch nicht ganz der Sinn. Also:

a) Auf das Wattebällchen wirken in vertikaler Richtung nur die Gewichtskraft nach unten sowie die Coulombkraft zwischen den beiden Ladungen nach oben. Schwebt das Bällchen, müssen sich die beiden Kräfte zu null addieren. Also

Die Gewichtskraft an der Erdoberfläche ist

, für

setzt Du die Coulombkraft ein. Die beiden Ladungen sind bekannt, der Abstand r noch nicht. Nun löst Du die Gleichung nach r auf, so ergibt sich der Abstand

, wo sich die Kräfte aufheben. Dies ist auch die gesuchte Höhe.

b) Hier soll man zeigen, dass bei einer geringen Auslenkung x aus der Ruhelage r0 die rücktreibende Kraft proportional ist zu x. Schreib die Gesamtkraft in Abhängigkeit von x auf und benutze für

die angegebene Näherung (dabei ist das a in der Näherungsformel gleich dem oben bestimmten Abstand r0).

Der erste Term der Näherung sollte sich mit -m*g wegheben, so dass der Rest als -D*x geschrieben werden kann mit einer Konstanten D.

c) Die Bewegungsgleichung des Bällchens ist

Wie erwähnt ist das genau gleich wie bei einem Federschwinger mit einer Federkonstanten D. Die Lösungen sind daher ebenfalls harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz

. D wurde in b) bestimmt, m ist gegeben. Für die Frequenz f ist dann nur noch der Zusammenhang

nötig.

Noch kurz zur 2. Aufgabe. Der Aufgabentext lässt vielleicht anderes vermuten, aber die Aufgabe sollte nicht schwierig sein. Es geht nur um einen eindimensionalen elastischen Stoss. Dabei muss die Energie- und Impulserhaltung erfüllt sein. In Büchern oder z.B. hier findet man die Geschwindigkeiten nach dem Stoss, wenn die Geschwindigkeiten vor dem Stoss gegeben sind. Man braucht also nur noch einzusetzen und zu verwenden, dass die Masse der Sonde gegenüber der Masse des Planeten vernachlässigt werden kann.

maggy017 · Anmeldungsdatum: 04.10.2019 Beiträge: 3

Okay, ich gebe es auf. Ich bin eben doch ein hoffnungsloser Fall. Deine Erklärung ist mit Sicherheit ziemlich gut, aber ich steige da einfach nicht hinter. Tut mir wirklich leid, dass du an mich geraten bist. Da du meintest, dass es einfach sei, die kurze Rechnung aufzuschreiben, könntest du das vielleicht doch noch machen, damit ich wenigstens die Aufgabe abgeben kann. Vielleicht verstehe ich die Aufgabe ja noch, wenn ich die Rechnung vor mir sehe.