GPS - Warum eigentlich VIER Satelliten?

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

So, ich hab jetzt hi und da mal was drüber gelesen und da stand eben auch, dass man zur genauen Postionsbestimmung 4 Satelliten benötigt!

Die Begründung dafür ist meist, dass die Uhr des GPS Empfängers ja keine Atomuhr ist und darum natürlich dazu tendiert nicht mit denen der Satelliten synchron zu laufen... um diesen Effekt auszugleichen ist der 4. Satellit nötig.

Meine Frage ist jetzt: Bräuchte ich eigentlich auch vier Satelliten, wenn die GPS Uhr sehr genau ginge?
Sprich: Ist die Notwendigkeit einer Synchronisation nicht eigentlich eine Folge aus der Relativitätstheorie?
Denn: Der Minkowsky Raum ist ja immerhin 4 dimensional, wärs da nicht logisch, auch 4 Satelliten zu benötigen? Oder bestimme ich letztlich nicht die Position in der Raumzeit, sondern nur die Position im 3d Raum?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, wenn die Uhr im GPS-Empfänger sehr genau ginge, dann bräuchtest du auch vier Satelliten. Mit nur drei Satelliten müsstest du die relativistische Gangkorrektur herausrechnen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#Effekte_der_Relativit.C3.A4tstheorie

Würdest du mit 3 Satelliten und einer genauen Uhr im GPS-Empfänger arbeiten, dann würdest du aus den Differenzen der Zeitsignale je eines Satelliten und des Empfängers anhand der Lichtlaufzeit die drei Abstände des Empfängers zu den Satelliten bestimmen. Diese Abstände müsstest du noch um den relativistischen Gangunterschied der Uhren korrigieren, da die Uhr im Empfänger anders geht als die Uhren in den Satelliten.

Arbeitest du dagegen mit vier Satelliten, dann vergleichst du im Empfänger vier Zeitsignale von den vier Satellitenuhren, die alle gleich schnell gehen. Also kennst du die Differenzen zwischen den vier Wegstrecken vom Empfänger zu den vier Satelliten. Zusätzlich ist dir bekannt, an welcher Position die Satelliten sich zu welcher Satellitenuhrzeit befinden. Und diese Information genügt für eine Positionsbestimmung im dreidimensionalen Raum.

Dass man die Gangabweichung der Satellitenuhren zu den Präzisionsuhren auf der Erde regelmäßig kompensiert, liegt also nicht daran, dass sonst die Positionsbestimmung nicht funktionieren würde. Sondern daran, dass man die Zeitsignale der Satelliten dann praktischerweise auch als Zeitstandard verwenden kann.

eman · Anmeldungsdatum: 24.06.2006 Beiträge: 59

Mit relativistischen Gangunterschieden hat das weniger zu tun als mit dem Umstand, dass sich erst vier Sphären in einem Raumpunkt schneiden. Hat man nur drei Satelliten in Sicht, dann muss die eigene Höhe bekannt sein um Länge und Breite bestimmen zu können.

Die GPS-Uhren werden vor dem Start so justiert, dass sie im Orbit synchron mit den Uhren der Bodenstationen laufen. Die betriebsmäßigen Korrekturen sind nötig, weil sich der Orbit ändert und weil auch gute Uhren driften.

Nikolas

Das Argument mit dem Schnittpunkt der Spähren ist aber nicht so wichtig, glaube ich. Mathematisch wird das richtig sein, die Frage ist nur, ob es nicht sehr einfach ist, den richtigen der Schnittpunkte zu ermitteln.
Wenn ich mir drei Satteliten vorstelle die über mir stehen, sollte es maximal einen anderen Schittpunkt der Sphären geben und der sollte recht weit von der Erde entfernt liegen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich bin mit Toxman einverstanden, dass man das Signal des vierten Satelliten nicht braucht, um die aufgrund von drei bekannten Abständen (also drei Sphären) noch mögliche zweite Position auszuschließen, weil die ja draußen im Weltraum liegt. Man verwendet es vielmehr, um die Fehler durch die Ungenauigkeit der Empfängeruhr zu kompensieren.

Danke für deinen zweiten Punkt, eman, die Uhren in den Satelliten werden in der Tat schon vor dem Start so eingestellt, dass sie die relativistischen Korrekturen berücksichtigen. So gehen sie also unten auf der Erde vor dem Start pro Tag um 38 Mikrosekunden nach, damit sie dann oben in der Umlaufbahn richtig gehen. Siehe auch z.B.:

http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#GPS_and_relativity

Für drei Satelliten und eine genaue Empfängeruhr ist es also überhaupt kein Problem, die relativistische Gangkorrektur zu berücksichtigen. Das Problem dabei liegt eher einfach darin, dass es zu teuer und aufwändig wäre, jeden GPS-Empfänger mit einer hochpräzisen Uhr auszustatten und auf anderem Weg als über einen vierten Satelliten sicherzustellen, dass diese Uhr die richtige Zeit anzeigt.

Ich korrigiere also meine Antwort aus meinem ersten Beitrag:

Wenn man dafür sorgt, dass auch die Empfängeruhr sehr genau geht, dann braucht man nur drei Satelliten.

Und die Notwendigkeit der regelmäßigen Synchronisation besteht nicht aufgrund der relativistischen Effekte (denn die kann man so gut vorhersagen, dass man die Korrektur dafür sogar mit ziemlich guter Genauigkeit von vorneherein einbauen kann), sondern aufgrund anderer Effekte, die man weniger gut vorhersagen kann.

Nikolas

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Naja, das Präzisieren erledigt ja unsere Versuchanordnung: Wir haben es ja mit vier Satelliten zu tun, die sich an vier unterschiedlichen Orten befinden, und deren vier Sphären sich im Punkt des Empfängers schneiden (wenn eventuelle Uhrenfehler korrigiert sind). Also gibt es in diesem Fall tatsächlich mit vier Sphären einen eindeutigen Schnittpunkt.