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EinLebenLangLernen
Gast
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 EinLebenLangLernen Verfasst am: 28. Jul 2019 07:30 Titel: Herleitung Lorentz-Transformation |
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Ich habe ein paar Detailfragen zur Herleitung der Lorentz-Trafo. Das Prinzip ist mir ansich klar im Großen und Ganzen, aber man will ja auch das letzte Detail verstehen.
Unser Prof. hat es folgendermaßen gemacht. Man geht aus von einer Drehung des gestrichenen Bezugssystems relativ zum ungestrichenen. Sprich, man hat eine Drehmatrixgleichung:
Dabei hat er die y-Achse zweckmäßig als  definiert. Warum hat er das gemacht:
Weil wir 2 Dinge wissen.
)
Und allgemein für Vektoren: Die Länge bleibt nach der Drehung im anderen Bezugssystem gleich: 
Wenn man nun also für  annimmt, kommt man auf (*).
So weit, so klar. Dann folgt ja jetzt:
Na ja, denkste. Denn richtig ist wohl:
 & -sin (i\phi) \\ sin (i\phi) & cos (i\phi)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ict \end{pmatrix})
Frage: Hier verstehe ich gar nicht, wieso der Winkel komplex ist. Bei den komplexen Zahlen und der komplexen Zahlenebene habe ich noch keinen komplexen Winkel eingezeichnet gesehen. In der Polarkoordinatendarstellung hat man zwar:  Aber der Winkel alleine für sich stehend ist doch trotzdem nicht komplex?  Ich sage ja auch in der komplexen Zahlenebene z. B. für die Zahl z = 3i, dass sie den Winkel  zwischen reeller Achse und Ortsvektor des Punktes (0, 3i) besitzt und nicht 
Also das mit dem komplexen Winkel ist mir noch nicht so klar. Kann mir da jemand weiterhelen? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jul 2019 10:16 Titel: |
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Das Problem mit dieser "Herleitung" ist wohl, daß von völlig falschen Voraussetzungen ausgegangen wird. Der Minkowskiraum ist nicht euklidisch, sondern pseudoeuklidisch. Das ist der Grund für den ersten Kunstgriff mit der imaginären Einheit vor der Zeitkoordinate, der bewirken soll, daß die Metrik indefinit wird.
Eine Konsequenz daraus ist aber, daß die Lorentztransformationen völlig andere Eigenschaften haben als 2dimensionale Drehungen der Koordinatenachsen. Insbesondere ergibt sich für jeden reellen Parameter  eine andere Lorentztransformation und nicht immer wieder dieselbe in Abständen von  .
Anders formuliert: der Ausgangspunkt mit den Winkelfunktionen im Transformationsgesetz ist bereits vollkommen falsch. Da kann dann auch nichts richtiges mehr draus folgen.
Die Lorentz-Transformation in der 2dimensionalen Raumzeit haben die Form
)
Ich sehe keine andere Möglichkeit den ) als Koeffizient in die Transformationsgleichung zu mogeln, als über die Beziehung  = \cos(i\phi)) ; und der Professor offensichtlich auch nicht.
Es handelt sich hierbei meiner Ansicht nach um kein gültiges Argument, und ich würde deshalb auch nicht weiter versuchen darin einen Sinn zu finden. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Jul 2019 11:36 Titel: |
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Mir sagt die konsequent physikalische Herleitung zu bei Landau / Lifschitz II § 4.
Schönen Sonntag!
Zuletzt bearbeitet von franz am 29. Jul 2019 11:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 29. Jul 2019 11:03 Titel: Re: Herleitung Lorentz-Transformation |
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| EinLebenLangLernen hat Folgendes geschrieben: | | Also das mit dem komplexen Winkel ist mir noch nicht so klar. Kann mir da jemand weiterhelen? |
Du kannst mal hier nachschauen.
Daran ist übrigens nichts falsch. Meines Erachtens sollte jeder diese Form der Herleitung mal nachvollzogen haben, um sich bewusst zu werden, wie sehr die Lorentztrafos Rotationen ähneln. Es ist schon bemerkenswert, dass man nur ein i vor ct setzen muss, um den Minkowskiraum (und damit die SRT) zu erhalten. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 29. Jul 2019 12:06 Titel: Re: Herleitung Lorentz-Transformation |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: |
Daran ist übrigens nichts falsch.
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Falsch ist natürlich nur der Ansatz
mit reellem . Und diese Form erscheint in jedem Fall inkonsistent mit der nachfolgenden, in der plötzlich  im Argument auftaucht.
| Zitat: |
Meines Erachtens sollte jeder diese Form der Herleitung mal nachvollzogen haben, um sich bewusst zu werden, wie sehr die Lorentztrafos Rotationen ähneln. |
Das ist m.E. ein zweischneidiges Schwert. Rotationen und Lorentztansformationen sind beides die Invarianzgruppen irgendeiner Bilinearform. Da hören aber die Ähnlichkeiten auch schon auf. Der Unterschied zwischen kompakten und nichtkompakten Gruppen wird z.B. an anderer Stelle wesentlich. Außerdem büßt die Analogie einiges an Plausibilität ein, wenn man plötzlich imaginäre Rotationswinkel zulassen muß. Spätestens dann ist man genauso berechtigt die Unterschiede zwischen beiden Gruppen zu betonen, im Gegensatz zu ihren Gemeinsamkeiten.
| Zitat: |
Es ist schon bemerkenswert, dass man nur ein i vor ct setzen muss, um den Minkowskiraum (und damit die SRT) zu erhalten.
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Interessant ist diese Tatsache schon. Aber trotzdem scheint sie in eine Sackgasse zu führen. Spätestens wenn man ART lernen will, kann man mit der Erkenntnis nicht mehr viel anfangen. |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 29. Jul 2019 22:04 Titel: Re: Herleitung Lorentz-Transformation |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich hat Folgendes geschrieben: |
Daran ist übrigens nichts falsch.
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Falsch ist natürlich nur der Ansatz
mit reellem . |
Mit reellem phi ist das nicht zielführend, klar. Aber wenn die y-Achse imaginär ist, dann muss es phi auch sein, der Rest ergibt sich dann von selbst.
| Zitat: | | Das ist m.E. ein zweischneidiges Schwert. Rotationen und Lorentztansformationen sind beides die Invarianzgruppen irgendeiner Bilinearform. Da hören aber die Ähnlichkeiten auch schon auf. Der Unterschied zwischen kompakten und nichtkompakten Gruppen wird z.B. an anderer Stelle wesentlich. Außerdem büßt die Analogie einiges an Plausibilität ein, wenn man plötzlich imaginäre Rotationswinkel zulassen muß. Spätestens dann ist man genauso berechtigt die Unterschiede zwischen beiden Gruppen zu betonen, im Gegensatz zu ihren Gemeinsamkeiten. |
Die Unterschiede sind eh augenfällig. Die Gemeinsamkeiten sind es aber, die einem Noob das richtige Verständnis und die richtige Intuition für die SRT beibringen können. Also sollte man die Gemeinsamkeiten auch ordentlich studieren.
Ich sehe auch keinen Grund, davon abzuraten. Du glaubst doch nicht ernsthaft, jemand könnte Lorentzboosts mit räumlichen Rotationen verwechseln und deswegen beim Studium der SRT scheitern, oder? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 30. Jul 2019 11:13 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: |
Die Unterschiede sind eh augenfällig. Die Gemeinsamkeiten sind es aber, die einem Noob das richtige Verständnis und die richtige Intuition für die SRT beibringen können. Also sollte man die Gemeinsamkeiten auch ordentlich studieren.
Ich sehe auch keinen Grund, davon abzuraten.
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Ich rate ja nicht von einem Studium der Gemeinsamkeiten ab, sondern nur von der Auseinandersetzung mit logisch fragwürdigen Herleitungen der Lorentztransformation. Danach sah das, was der Fragesteller skizziert hat, für mich aus.
Auch wenn die Herleitung einwandfrei wäre, würde ich aber nicht zur Behandlung von imaginären Achsen und Rotationswinkeln raten. Die Gemeinsamkeiten ergeben sich mit größerer Klarheit daraus, daß es sich in beiden Fällen um Invarianzgruppen eines inneren Produkts auf einem reellen Vektorraum handelt. Man kann sie also mit reellen Zahlen allein schon ausreichend würdigen. Stattdessen mit imaginären Achsen und "Drehwinkeln" zu hantieren erscheint mir als unnötige Komplikation (wie die Ausgangsfrage zu bestätigen scheint), die sich im weiteren auch noch als völlig unfruchtbar herausstellt. Deswegen glaube ich auch nicht, daß man als Anfänger diese Herleitung gesehen oder im Detail nachvollzogen haben muß.
| Zitat: |
Du glaubst doch nicht ernsthaft, jemand könnte Lorentzboosts mit räumlichen Rotationen verwechseln und deswegen beim Studium der SRT scheitern, oder? |
Was ich glaube ist, daß der Fragesteller den 2dimensionalen Minkowskiraum mit der komplexen Zahlenebene verwechselt, und nun verwirrt darüber ist, daß Rotationen, die er in diesem Zusammenhang schon als Multiplikationen mit  und reellem kennt, plötzlich auch noch Lorentzboosts sein sollen. Zu diesem Mißverständnis wird man durch (x, ict) geradezu eingeladen. Und das ganze zu keinem erkennbaren Vorteil.
Scheitern wird er daran nicht, aber im Verständnis unnötig behindert schon. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 30. Jul 2019 11:59 Titel: Re: Herleitung Lorentz-Transformation |
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| EinLebenLangLernen hat Folgendes geschrieben: | Unser Prof. hat es folgendermaßen gemacht. Man geht aus von einer Drehung des gestrichenen Bezugssystems relativ zum ungestrichenen. Sprich, man hat eine Drehmatrixgleichung:
Dabei hat er die y-Achse zweckmäßig als definiert. Warum hat er das gemacht ... |
Ich sehe das wie index_razor und stelle das "zweckmäßig" in Frage.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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