Zentralpotential Quantenmechanik

Gast12345_ · Gast

Meine Frage:
Hallo Physikerboard,

ich beschäftige mich gerade mit dem Zentralpotential in der Quantenmechanik und mir sind dabei zwei Fragen aufgekommen.
Warum sind bei einem zentralsymmetrischen Potential mit Eigenenergien

und Eigenfunktionen

die Energieeigenwerte unabhängig von der Quantenzahl m?
Und bei einem gegebenen Potential von

für

und 0 sonst, wie würde man das Energieintervall für gebundene Zustände angeben ?

Danke schon mal im Voraus, ich freue mich auf eure Antworten! smile

Meine Ideen:
Gebundene Zustände treten nur für Energien E<0 auf.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Im Zentralpotential liegt Rotationssymmetrie vor, d.h. der Hamiltonoperator vertauscht mit den Generatoren der Rotationen, d.h. den Komponenten des Drehimpulses

Daher erhält man Multiplets |l,m> mit

Man kann nun - ausgehend von den Drehimpulsoperatoren - Leiteroperatoren definieren, die für festes l und ein m zu den Zuständen für m+1 bzw. m-1 führen. Wegen der o.g. Symmetrie des Hamiltonoperators folgt dann rein algebraisch

D.h. alle Energien zu festem l müssen bzgl. m entartet sein.

Die explizite Herleitung mittels Leiteroperatoren findest du eigtl. in jedem Buch oder Skript zur Quantenmechanik.

Die Verknüpfung mit der o.g. Symmetrie folgt aus

Damit ist

D.h. dass sämtliche mittels Rotationen U aus einem gegebenen Energieeigenzustand |E> erzeugbaren Zustände wiederum Energieeigenzustände mit identischer Energie sein müssen.

Letztlich handelt es sich hier um ein Beispiel der quantenmechanischen Version des Noethertheorems.