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Schnebesgue
Anmeldungsdatum: 06.04.2019
Beiträge: 16
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 Schnebesgue Verfasst am: 06. Apr 2019 17:34 Titel: Verfolgungsjagd Bewegungsgleichung |
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Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ich hab aus der theoretischen Physik eine Aufgabe mit der ich absolut nicht zurechtkomme.
"Ein Hase mit  wird von einem Fuchs mit doppelter Geschwindigkeit  verfolgt. Die Richtung des Fuchses zeigt immer auf die des Hasen. Der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten ist  .
a) Bestimme den Abstand a() zwischen Fuchs und Hase
b) Wann holt der Fuchs den Hasen ein, wenn er zur Zeit t=0 bei a( ) = H losläuft?
c) Gibt es eine Strategie mit der der Fuchs den Hasen schneller einholen kann? Wieviel zeitiger ist er gegenüber b) dann da?
Meine Ideen:
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie man jetzt hier Bewegungsgleichungen aufstellen soll, das Thema ist komplett neu für mich. Wenn ihr mir einige Denkansätze geben könntet, über die ich mich dann informieren kann, dann wäre ich sehr dankbar! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 06. Apr 2019 18:39 Titel: |
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Der erste Ansatz ist, dass der aktuelle Geschwindigkeitsvektor des Fuchses proportional zur Differenz der Ortsvektoren von Hase und Fuchs ist, also immer in Richtung des Hasen ausgerichtet ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Apr 2019 18:52 Titel: |
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Die Richtung des Fuchses zeigt immer "auf die des Hasen" heißt sicher: "auf den Hasen". (Feldhasen laufen übrigens deutlich schneller als Rotfüchse.) |
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Schnebesgue
Anmeldungsdatum: 06.04.2019
Beiträge: 16
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| Schnebesgue Verfasst am: 06. Apr 2019 21:55 Titel: |
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Oh gott oh gott.
Ich merke, dass ich nicht wirklich weiß was ich überhaupt vorhabe. Glaube hier müsst ihr mich ein bisschen durchschleifen. Ich könnte das Problem auch gar nicht in ein Koordinatensystem packen, kann mir bildlich keine Funktionen vorstellen, die Fuchs und Hase einnehmen..
hilfe hilfe.. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 07. Apr 2019 02:47 Titel: |
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Die Ortsvektoren von Fuchs und Hase seien
, r_H(t))
Die Differenz der Ortsvektoren lautet
e ist der Einheitsrichtungsvektor, der vom Fuchs zum Hasen weist.
Für den Geschwindigkeitsvektor des Fuchses gilt
mit einem konstanten Geschwindigkeitsbetrag u.
Letzteres ist bereits die Bewegungsgleichung des Fuchses bei gegebener Bewegung des Hasen.
EDIT:
In der Literatur findet man auch die Projektion des Geschwindigkeitsvektors des Fuchses auf den Einheitsrichtungsvektor
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 07. Apr 2019 10:21, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 07. Apr 2019 09:48 Titel: |
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Ich denke übrigens, dass in der Aufgabe noch gegeben ist, dass der Hase geradlinig läuft. Andernfalls wird‘s deutlich komplizierter.
Außerdem denke ich, dass man die Bewegungsgleichung nicht explizit lösen muss.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Apr 2019 12:49 Titel: |
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Die direkte Lösung der Bewegungsgleichung (2 nicht lineare gekoppelte DGL) scheint nicht so einfach zu sein. Es würde mich interessieren wie TomS das gelöst hat.
Vielleicht ist der Weg über die Bahnkurve )) des Fuchses einfacher. Der Fuchs befinde sich bei  im Koordinatenursprung, der Hase an der Position ) . Wenn der Fuchs sich an der Position befindet, hat er ein Strecke  zurückgelegt, die gleich der Länge der Bahnkurve bis zu diesem Punkt sein muss:
 \quad ut=\int_0^x \sqrt {1+y'^2(z)}dz)
Die Integrationsvariable wurde  genannt, damit sie sich von der oberen Grenze des Integrals unterscheidet. Damit die Bewegungsrichtung des Fuchses auf den Hasen zeigt, muss gelten:
 \quad y'(x)=\frac {vt-y}{h-x})
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich durch Elimination von  und mit der Schreibweise =p(x)) :
 \quad \int_0^x \sqrt {1+p^2(z)}dz=\frac u v \left (y+(h-x)p \right ))
Ableiten nach  ergibt:
 \quad \sqrt {1+p^2}=\frac u v (h-x)p' = 2(h-x)p')
Diese DGL für ) lässt sich durch Trennung der Variablen lösen. Es ergibt sich:
 \quad \ln (p+\sqrt {1+p^2}= - \frac 1 2 \ln (h-x) +c)
Die Integrationskonstante  ergibt sich aus =0) zu
Damit gewinnt man aus (5):
 \quad p+\sqrt {1+p^2}=\sqrt {\frac {h}{h-x}})
Das ist wegen =y'(x)) eine DGL für ) , die man lösen kann und dann hat man die Bahnkurve. Für a) wird das aber nicht benötigt. (6) lässt sich umschreiben zu:
 \quad (h-x)^2=\frac {h^2}{(p+\sqrt {1+p^2})^4})
Außerdem ist
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?("8") \quad (vt-y)^2=p^2(h-x)^2)
Damit ergibt sch das Quadrat der Entfernung zwischen Fuchs und Hase zu
 \quad s^2=(h-x)^2+(vt-y^2)=\frac {h^2(1+p^2)}{(p+\sqrt {1+p^2})^4})
Da  mit dem Steigungswinkel  und dem Schnittwinkel  ist a) gelöst.
Die Zeit bis zum Erreichen des Hasen könnte man bekommen, indem man (6) nach  auflöst, das in (1) einsetzt und bis  integriert. |
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Schnebesgue
Anmeldungsdatum: 06.04.2019
Beiträge: 16
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| Schnebesgue Verfasst am: 07. Apr 2019 15:28 Titel: |
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Vielen vielen Dank für eure Antworten!
Ich werde mir das morgen mal ganz in Ruhe anschauen und melde mich dann, habe heute Anderes zu tun.. |
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