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Nachricht |
Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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 Croomer Verfasst am: 23. Nov 2018 17:11 Titel: Lagrange-Gleichung für Masse auf Masselosem Rad |
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Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe lautet: Ein Massepunkt befindet sich auf einem Kreis mit Radius r, der auf einer waagrechten Ebene mit konstanter Geschwindigkeit abrollt ohne zu gleiten.(Stellen Sie sich ein Ventil an einem Fahrradreifen vor) Was sind die Zwangsbedingungen? Wie viele generalisierte Koordinaten gibt es? Wie lautet die Bahnkurve des Massepunktes und wie lange ist die Bogenlänge nach einer Vollen Umdrehung?
Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass ich (x,y) durch  beschreiben kann durch (also kann man als generalisierte Koordinate verwenden):
Das kann man zur Zwangsbedingung umformen:
=y(1+sin\alpha ))
Die Lagrange-Gleichung ist dann:
-mgr(1+cos\alpha))
Und die dazugehörige Bewegungsgleichung:
)-sin(\alpha) \dot{\alpha}^2r + \frac{g}{2} sin(\alpha)=0 )
Ab jetzt bin ich mir allerdings unsicher:
Wenn das Rad mit konstanter Geschwindigkeit abrollt (also z.B. ein Fahrrad mit konstanter Geschwindigkeit fährt) dann ist
=const.
<br />
=>\ddot{x} =r\ddot{\alpha} (1+cos\alpha)-r\dot{\alpha}^2sin\alpha =0 =>r\ddot{\alpha} (1+cos\alpha)=r\dot{\alpha}^2sin\alpha)
Wenn ich das in meine Bewegungsgleichung einsetze bekomme ich:
=0=>\alpha=0)
Also muss ich ja irgendwo einen Fehler machen, da es sonst gar kein Rollen gäbe.
Hoffe mir kann jemand helfen, auch wenn es eine recht lange Frage ist. |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 23. Nov 2018 19:46 Titel: Re: Lagrange-Gleichung für Masse auf Masselosem Rad |
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Hallo,
Kann es sein, dass da ein 1/2 fehlt?
^{\textcolor{red}{2}}-mgr(1+cos\alpha))
Edit: Das Quadrat fehlte auch und meine Bwgl lautet dann:
+r\dot{\alpha}^2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-g\sin{\alpha}) |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 23. Nov 2018 21:12 Titel: |
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Ich habe es nochmal nachgerechnet, könntest du bitte mal drüber schauen, wo mein Fehler liegt:
)
=)
^2+r^2\dot{\alpha}^2*sin^2\alpha)=)
+r^2\dot{\alpha}^2*sin^2\alpha)=)
+sin^2\alpha)=)
=)
) |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 23. Nov 2018 22:01 Titel: |
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Du hast völlig recht, deine Lagrangefunktion ist doch richtig und ich hab meine vermurkst. Lass mich den Rest nochmal nachrechnen. |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 23. Nov 2018 22:21 Titel: Re: Lagrange-Gleichung für Masse auf Masselosem Rad |
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))
(-\sin(\alpha)))
Meine Bwgl ist jetzt:
)-\sin(\alpha) \dot{\alpha}^2r - g \sin(\alpha)=0)
| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
Wenn das Rad mit konstanter Geschwindigkeit abrollt (also z.B. ein Fahrrad mit konstanter Geschwindigkeit fährt) dann ist
=const.)
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Das ist falsch. Das gilt nur für den Mittelpunkt des Rades, aber nicht für die Masse am Rad. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 23. Nov 2018 23:26 Titel: |
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Ich habe schon wieder was anderes:
=2mr^2\ddot{\alpha}+2mr^2\ddot{\alpha} cos\alpha-2mr\dot{\alpha}sin \alpha =2mr^2\ddot{\alpha}(1+cos\alpha)-2mr\dot{\alpha}sin\alpha )
Damit habe ich dann als DGL:
-2mr\dot{\alpha}sin\alpha -mr^2\dot{\alpha}^2 *sin\alpha+mgr*sin\alpha )
bzw.
-2\dot{\alpha}sin\alpha -r\dot{\alpha}^2 *sin\alpha+g*sin\alpha)
Die Geschwindigkeit des Mittelpunktes ist ja 
Heisst das dann, dass  |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 23. Nov 2018 23:38 Titel: |
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=2mr^2\ddot{\alpha}(1+cos\alpha)-2mr^{\textcolor{red}{2}}\dot{\alpha}sin(\alpha) )
| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
Die Geschwindigkeit des Mittelpunktes ist ja
Heisst das dann, dass |
Ich würde sagen ja, aber nur weil du eine konstante Gewschwindigkeit vorausgesetzt hast. Im Allgemeinen gilt das nicht. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 24. Nov 2018 00:21 Titel: |
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Ah, vor lauter rumgerechne das Quadrat vergessen, also:
-2r\dot{\alpha}^{\textcolor{red}{2}}sin\alpha -r\dot{\alpha}^2 *sin\alpha+g*sin\alpha)
Dann habe ich ja schon meine Lösung (Wenn ich den Startpunkt =0) setze):
=\dot{\alpha}t)
Eingesetzt gibt mir das
(-2r\dot{\alpha}-r\dot{\alpha}+g)=0}})
=0}})
Der Inhalt der roten Klammer ist damit hinfällig:
(Das schaut auf den ersten Blick garnicht so schlecht aus, dann ist mir allerdings aufgefallen, dass schon bei folgendem Ausdruck was nicht passt:
| Nescio hat Folgendes geschrieben: | =2mr^2\ddot{\alpha}(1+cos\alpha)-2mr^{2}\dot{\alpha}^{\textcolor{red}{2}}sin(\alpha) )
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Dort addiert man bereits Größen mit unterschiedlichen Einheiten:
 )
Edit in ist oben in rot.
Nicht nur das r muss - wie du ausgebessert hast - quadriert werden, sondern auch das 
Jetzt passen die Einheiten wieder. Und dass eine betragsmäßig gleiche Lösung hat macht auch Sinn, da es ja egal sein sollte, in welche Richtung das Fahrrad fährt.
Soweit so gut, dmait kann ich jetzt meine Bahnkurve angeben, da ich x und y schon in Abhängigkeit des Winkels angegeben habe.
Jetzt fehlt noch die Bogenlänge. Dafür drücke ich y als Funktion von x aus:
 =: x*h(\alpha))
)
Die Bogenlänge ist dann
^2 } \, \dd x = \int_0^{2\pi r} \! \sqrt{1+(h(\alpha))^2 } \, \dd x = 2 \pi r \sqrt{1+(h(\alpha))^2 })
Dann müsste ich ja eigentlich =2\pi) einsetzen und ich bekomme:
)^2 }= 2 \pi r \sqrt{1+(\frac{1+cos(2\pi)}{2\pi+sin(2\pi)})^2 }=)
^2 }== 2 \pi r \sqrt{\frac{\pi ^2+1}{\pi ^2} }=2 \sqrt{\pi ^2 +1}r)
Das ist ein recht interessantes Ergebnis, weil die Bogenlänge damit ein klein wenig länger ist als das (zumindest von mir vermutete) 
Ich hoffe, dass das so richtig ist. 
Zuletzt bearbeitet von Croomer am 24. Nov 2018 01:12, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 24. Nov 2018 00:56 Titel: |
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Sorry, bei dem fehlt natürlich auch noch ein Quadrat, aus der inneren Ableitung. Hab ich beim Abtippen übersehen.
=2mr^2\ddot{\alpha}(1+cos\alpha)-2mr^{\textcolor{red}{2}}\dot{\alpha}^{\textcolor{red}{2}}sin(\alpha))
Du bekommst dann die gleiche Bwgl wie ich. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 24. Nov 2018 01:07 Titel: |
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Ich habe für meinen Edit so lange gebraucht, dass du es auch schon ausgebessert hast  |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 24. Nov 2018 01:09 Titel: |
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| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
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Das ergibt für mich keinen Sinn. Du hast doch schon durch die Bedingung, dass sich das Rad mit konstanter Geschwindigkeit bewegt  vorgegeben, wobei  aus deiner Anfangsbedingung kommt. Wenn du das in x und y einsetzt, hast du auf sofort die komplette Bewegung angegeben.
Deswegen verstehe ich auch nicht, warum du da überhaupt Lagrange verwenden willst. Aber das hast du in deiner Aufgabe ja so angegeben, deshalb bin ich davon ausgegangen, dass es vielleicht in den darauf folgenden Aufgaben irgendeinen Sinn ergibt.
Warum sollte das überhaupt von g abhängen, wenn das Rad mit konstanter Geschwindigkeit rollt?
Die Aufgabe macht viel mehr Sinn wenn das Rad mit nicht konstanter Geschwindigkeit rollen würde. Wenn der Massepunkt nach oben rollt, würde das Rad langsamer werden. Wenn der Massepunkt nach unten Rollt, würde es schneller werden. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 24. Nov 2018 01:33 Titel: |
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Die komplette lautet (jetz direkt kopiert):
Ein Massenpunkt befindet sich auf einem Kreis mit Radius R, der auf einer waagerechten Ebene mit konstanter Geschwindigkeit abrollt, ohne zu gleiten. Dies ist ein idealisiertes Bild für das Ventil an einem Fahrradreifen. Das Fahrrad fahre mit konstanter Geschwindigkeit auf einer ebenen Straße. Stellen Sie die Zwangsbedingungen auf. Wieviele generalisierte Koordinaten gibt es? Bestimmen Sie die Bahnkurve des Massenpunkts. Berechnen Sie die Bahnlänge nach einer vollen Umdrehung des Kreises.
Danach kommt eine komplett andere Aufgabe.
Wenn ich so drüber nachdenke, hast du recht Lagrange ist eigentlich unnötig, wenn  schon vorgegeben ist.
Ich bin einfach davon ausgegangen, dass man das mit Lagrange machen soll, da nach Zwangsbedingungen gefragt ist und bis jetzt bei jeder Aufgabe zu Bewegungen Lagrange verwendet wurde.
Aber Lagrange muss ja trotzdem richtig sein, oder? Dann verwirrt mich die Lösung für in Abhängigkeit von g.
Edit:
Stimmt die Bogenlänge denn wenigstens, oder habe ich da wieder was vergessen? |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 24. Nov 2018 01:47 Titel: |
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| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
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Wenn x die Koordinate für deinen Massenpunkt ist und x_M die Koordinate für den Mittelpunkt deines Rades, dann ist  .
Was du meinst ist 
| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
Stimmt die Bogenlänge denn wenigstens, oder habe ich da wieder was vergessen? |
Das gucke ich mir dann morgen an. |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 24. Nov 2018 13:45 Titel: |
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| Croomer hat Folgendes geschrieben: | Ah, vor lauter rumgerechne das Quadrat vergessen, also:
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Ich glaube da ist immernoch ein Vorzeichen falsch, vergleiche mit meiner Bwgl von oben:
| Nescio hat Folgendes geschrieben: |
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| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
Aber Lagrange muss ja trotzdem richtig sein, oder? Dann verwirrt mich die Lösung für in Abhängigkeit von g.
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Wenn man ein solches Rad mit einem Massenpunkt Rollen lässt und nur die Zwangskräfte des Rades und die Gravitationskraft auf das Rad wirken, dann muss das Rad schneller und langsamer werden, wie ich es beschrieben habe. Mit konstanter Geschwindigkeit kann es nur Rollen, wenn es eine weitere Kraft gibt, die diesen Effekt ausgleicht. Eine solche Kraft haben wir in unserem Potential aber nicht berücksichtigt.
Zur Bögenlänge: x und sind nicht unabhängig voneinander. Deshalb musst du zuerst überall durch x ausdrücken (oder umgekehrt), bevor du das Integral ausführst. Hier findest du einen einfacheren Rechenweg. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 24. Nov 2018 15:15 Titel: |
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Ich habe gefunden, wo mir das Vorzeichen verloren gegangen ist. Jetzt komme ich (endlich) auf die selbe DGL.
Danke für den Link, die dortige Formel für die Bogenlänge, konnte ich aus meiner Formel herleiten.
Das Problem mit der fehlenden Kraft (wenn das Rad mit konstanter Geschwindigkeit rollt) habe ich jetzt auch verstanden.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Allerdings bin ich jetzt interessiert, wie genau die Bewegung ohne konstanter Rollgeschwindigkeit aussieht. Die DGL haben wir ja schon, schaut aber aus, als wäre sie schwer zu lösen. Ich habe schon gegoogelt, aber das Problem nirgends gefunden.
Hast du eventuell einen Ansatz, der helfen könnte? |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 24. Nov 2018 15:52 Titel: |
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| Croomer hat Folgendes geschrieben: |
Allerdings bin ich jetzt interessiert, wie genau die Bewegung ohne konstanter Rollgeschwindigkeit aussieht. |
Das hab ich mich auch gefragt, aber leider war ich schon immer schlecht im Lösen von DGL. |
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Croomer
Anmeldungsdatum: 02.11.2017
Beiträge: 23
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| Croomer Verfasst am: 24. Nov 2018 16:58 Titel: |
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Ok.
Vielen Dank für deine geduldige Hilfe |
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