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Zustandssumme Bosonen
 
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stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 06. Feb 2018 10:46    Titel: Zustandssumme Bosonen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

es sind drei Bosonen mit Spin 0 vorhanden (ohne Wechselwirkung).
Jedes Boson kann Energie oder annehmen.

Wie lautet die kanonische Zustandssumme?

Meine Ideen:
Bestimmen der Einteilchenzustandssumme:




Da die Teilchen ununterscheidbar sind, gilt für die komplette Zustandssumme



für unterscheidbare Teilchen wäre der Faktor $1/N!$ wegzudenken.

Meine Frage: Das Ergebnis wurde auf einer eingescannten Abgabe als falsch markiert - wo liegt hier der Fehler? Ich kann ihn leider nicht ausmachen.

Muss für den Fall, dass es sich um Bosonen handelt noch etwas anderes berücksichtigt werden?

bzw. kann jemand das Ergebnis verifizieren? Ggf. ist die eingescannte Aufgabe ja auch falsch korrigiert worden!

Vielen Dank für jeden Hinweis.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4370

Beitrag Myon Verfasst am: 06. Feb 2018 12:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ich sehe auch keinen Fehler. Auch wenn man über die 8 Zustände (je einer davon mit Energie 3E,-3E, je drei davon mit Energie +/-E) addiert, kommt man auf das gleiche Ergebnis.
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 16:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hier kommt es darauf an, wie man die Zustände abzählt. Bei einem klassischen Ansatz muss man evtl. die 1/N! beachten, was man als korrigierte Boltzmann-Abzählung bezeichnet. Dies bezeichnet man i.A. als Maxwell-Boltzmann Statistik.

Bei der Quantenstatistik (in diesem Fall Bose-Einstein-Statisik) kann man gar nicht zwischen den drei Bosonen unterscheiden, sodass eine Abzählung, die durch 1/N! korrigiert werden müsste, gar nicht möglich ist.

EDIT: Ich habe das gerade nocheinmal nachgelesen. Am besten kann man dies mit dem Übergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik nachvollziehen. In der Quantenmechanik führt das Vertauschen zweier identischer Teilchen nicht zu einem neuen Zustand, weshalb es in diesem Beispiel egal ist, welches Teilchen im Zustand +E ist. Genauer genommen kann man das überhaupt nicht festsetzen. Da die klassische Mechanik als Grenzfall in der QM enthalten ist, muss der Faktor 1/N! eingeführt werden, um das Phasenraum -Volumen konstant zu halten. Hier führt nämlich das Vertauschen zweier identischer Teilchen zu einem weiteren Zustand
stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 06. Feb 2018 16:58    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für eure Antworten.

@ benruzzer

So ganz verstehe ich jetzt nicht, was du damit meinst. Wäre die Zustandssumme deiner meiner Meinung nach also:

?
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 17:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ja genau
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

Der Zusammenhang

ist falsch. Da die Bosonen ununterscheidbar sind, gibt es nur 4 verschiedene Möglichkeiten, nicht 8.
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 18:34    Titel: Antworten mit Zitat

Die acht ergibt sich durch:

Die 2 stammt ursprünglich aus der Definition von
Dass es sich hier um Bosonen handelt, ist eigentlich unwichtig. Die entscheidene Eigenschaft ist nur, dass alle 3 Teilchen im gleichen Zustand seien können. Mann könnte die gleiche Aufgabe auch mit 3 Ising-Spins stellen.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 19:10    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Mann könnte die gleiche Aufgabe auch mit 3 Ising-Spins stellen.

Dann waere die korrekte Antwort aber auch eine andere...
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 19:14    Titel: Antworten mit Zitat

Naja wenn man +E und -E als mit Spin-Eigenwerten +1 und -1 auffasst (was ja gar nicht so abwegig ist), kommt man zum gleichen Ergebnis.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, denn die Zustände in denen alle drei Teilchen dieselbe Energie haben existieren nicht fuer Fermionen...
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht wie drei einzelne Ising Spins mit Fermionen verwandt sind....
Ich wollte den Vergleich nur bringen, da dies wohl das häufigste Beispiel in Statistik-Vorlesungen ist.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 19:37    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß nicht wie drei einzelne Ising Spins mit Fermionen verwandt sind....
Ich wollte den Vergleich nur bringen, da dies wohl das häufigste Beispiel in Statistik-Vorlesungen ist.

Spin 1/2 -> Fermion.

Wenn Du das Beispiel schon bringst, dann solltest Du auch wissen wovon Du sprichst... offensichtlich ist dies aber nicht der Fall...
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 19:53    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:

Wenn Du das Beispiel schon bringst, dann solltest Du auch wissen wovon Du sprichst... offensichtlich ist dies aber nicht der Fall...

grübelnd
Aha..
Wie schaut dann ein Ising Modell mit 3 Spins aus ? Einer hoch einer runter und der letzte ? Ich glaube du solltest noch einmal selbst nachschauen, was ein Ising-Modell ist.
Und die Aussage, dass nicht alle 3 einen Energiezustand haben können stimmt selbst für Fermionen nicht (vgl. dazu entartete Energieniveaus). Die Folgerung aus dem Spin-Statistik-Theorem ist lediglich, dass sich Fermionen in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden müssen. Aber der Zusammenhang mit einem einfachen Ising-Modell ohne Kopplung erschließt sich mir immer noch nicht....
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 21:10    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Ich glaube du solltest noch einmal selbst nachschauen, was ein Ising-Modell ist.

Für mich war es das jetzt hier... das ist mir wirklich zu doof. Man muss nicht alles wissen... aber so eine Ignoranz ist mir zu blöd...
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 22:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ich lerne gerne dazu. Dann kannst du mir bitte den Fehler in meiner Überlegung zeigen.
Dazu nehme ich das Ising Modell folgende Ising-Modell. Die Bezeichnung "Ising Spin" ist sowohl außerhalb der Physik in Modellen der Medizin und BWL geläufig und bestimmt nicht an fermionische Eigenschaften gekoppelt. Es gibt gewiss auch kompliziere Ansätze; das hier entspricht aber genau dem, was ich in meinem Beitrag erwähnt habe.

Daraus berechnen wir die kanonische Zustandssumme. Zunächst für einen Spin:

Für alle drei folgt:

Somit ist schonmal die Aussage widerlegt, dass das hier ein anderes Ergebnis für die Zustandssumme ergeben würde. Auch die 8 ergibt sich ohne Probleme.
Jetzt berechnen wir noch den Erwartungswert der Energie:

Für die Temperatur ergibt sich hier der Wert von -3H, sodass alle drei Spins im gleichen Zustand sind.

Somit waren alle Beiträge von jh8979 falsch.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 22:33    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:

Somit waren alle Beiträge von jh8979 falsch.

Wenn Du keine Ahnung hast wovon Du redest, lass es bitte... furchtbar...

Hier mal ein Gegenbeispiel für Anfänger:
https://theory.physics.manchester.ac.uk/~judith/stat_therm/node84.html
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 22:51    Titel: Antworten mit Zitat

Gegenbeispiel für was.
Hier steht genau das, was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe:

....This is the classical limit.

Vielleicht kannst du mir konkret das Gegenbeispiel bei dem Link angeben
offtopico
Gast





Beitrag offtopico Verfasst am: 06. Feb 2018 23:05    Titel: Antworten mit Zitat

Offtopic @jh8979:

Warum gehst du nicht sachlich auf die vorgebrachten Fragen und Anmerkungen ein? Stattdessen verfasst du überhebliche und arrogante Phrasen die keinen weiter bringen. Es würde dem stillen Mitleser, dem Laien und generell Allen mehr helfen, wenn du mögliche falsche (mühevoll geschriebene) Beiträge sachlich/physikalisch entkräften würdest, wozu du sicherlich in der Lage wärst, anstatt dich nur zu profilieren und von oben herab anderen Leuten, die auch nur hier sind um zu helfen, Antworten wie "das ist mir zu blöd" zu geben.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 23:09    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Gegenbeispiel für was.
Hier steht genau das, was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe:
....This is the classical limit.
Vielleicht kannst du mir konkret das Gegenbeispiel bei dem Link angeben

Lern lesen.. dort steht wieso das fuer Bosonen nicht einfach gilt...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 23:10    Titel: Antworten mit Zitat

offtopico hat Folgendes geschrieben:
Offtopic @jh8979:

Warum gehst du nicht sachlich auf die vorgebrachten Fragen und Anmerkungen ein? Stattdessen verfasst du überhebliche und arrogante Phrasen die keinen weiter bringen. Es würde dem stillen Mitleser, dem Laien und generell Allen mehr helfen, wenn du mögliche falsche (mühevoll geschriebene) Beiträge sachlich/physikalisch entkräften würdest, wozu du sicherlich in der Lage wärst, anstatt dich nur zu profilieren und von oben herab anderen Leuten, die auch nur hier sind um zu helfen, Antworten wie "das ist mir zu blöd" zu geben.

Hab ich... aber auch Du scheinst nicht lesen zu koennen....
jh8979 hat Folgendes geschrieben:

Hier mal ein Gegenbeispiel für Anfänger:
https://theory.physics.manchester.ac.uk/~judith/stat_therm/node84.html
offtopico
Gast





Beitrag offtopico Verfasst am: 06. Feb 2018 23:29    Titel: Antworten mit Zitat

Nochmal offtopic:

Naja, wenn dein Standpunkt anscheinend nicht klar wird, dann versuch doch dein Argument in anderen Worten nochmal zu verdeutlichen, anstatt andere Leute, wie nun mich, persönlich anzugreifen (etwas lesen zu können und etwas zu verstehen sind halt 2 paar Schuhe). Von einer zweiten bzw. genauren Erklärung, auch wenn es Trivialitäten betrifft, könnten doch alle nur profitieren.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 23:30    Titel: Antworten mit Zitat

offtopico hat Folgendes geschrieben:
(etwas lesen zu können und etwas zu verstehen sind halt 2 paar Schuhe)..

Möglich... aber dann sag doch, was Du an dem Link nicht verstehst... dort steht alles was zur Beantwortung der Frage wissenswert ist ...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Feb 2018 23:36    Titel: Re: Zustandssumme Bosonen Antworten mit Zitat

stranglers hat Folgendes geschrieben:
Es sind drei Bosonen mit Spin 0 vorhanden. Jedes Boson kann Energie oder annehmen.

Wie lautet die kanonische Zustandssumme?

Ich würde rein formal vorgehen.

Für das kanonische Ensemble konstruiert man die Zustandssumme Z als Spur, d.h. als Summe über (zunächst beliebige) Basiszustände



Mit der in der expliziten Wahl der Eigenzustände erhält man





D.h. i = 1,2 numeriert die Zustände, n_i ist die Besetzungszahl je Zustand, und die Summe der Besetzungszahlen entspricht der Anzahl der Teilchen.

Daraus folgt nun eine Summe über die Energieeigenwerte epsilon



g_epsilon bezeichnet den Entartungsgrad des jeweiligen Eigenwertes epsilon.

Den erlaubten Zuständen



entsprechen die Eigenwerte



(ich konnte mir diese ganze Abzählerei nie merken)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Feb 2018 23:39, insgesamt einmal bearbeitet
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ja da hat jh8979 recht. Das hätten wir hier alle aber schneller haben können. Hier mal eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Schritte:
-Das ist falsch
-Dann waere die korrekte Antwort aber auch eine andere
-Wenn Du keine Ahnung hast wovon Du redest, lass es bitte... furchtbar...

Bei einem !Moderator! kann man eigentlich eine bessere Kommunikationsweise erwarten, speziell wenn in sieben Beiträgen nichtmal das Problem der Diskussions wirklich erwähnt wird. Wir sind alle hier, um was dazu zu lernen lernen, sonst wäre das ganze Forum ziemlich sinnlos.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 23:42    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Ja da hat jh8979 recht. Das hätten wir hier alle aber schneller haben können.

...
Ach was... auf einmal ... Ich bin sprachlos... so frech muss man erstmal sein ...
...

Ich bin ehrlich gesagt ziemlch sauer ob Deiner Freiheit... Ich find es mehr als frech...eine Unverschämtheit...

... Du redest Unsinn und ich bin dann Schuld... Wahnsinn...

... echt...

...
benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 06. Feb 2018 23:51    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast mir ja einfach nicht sagen können, was das Problem ist und bist mich mehrmals persönlich angegeangen. Die Einfachste Lösung wäre gewesen: "Hör mal benruzzer dein Beispiel und Text hat nichts mit dem Problem zu tun, weil man hier beim abzählen aufpassen muss." Ich bin hier nicht der einzige der die Kommunikationsweise nicht in Ordnung fand.

Zuletzt bearbeitet von benruzzer am 06. Feb 2018 23:54, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Feb 2018 23:54    Titel: Antworten mit Zitat

Meine erste Aussage hier war:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Der Zusammenhang

ist falsch. Da die Bosonen ununterscheidbar sind, gibt es nur 4 verschiedene Möglichkeiten, nicht 8.

Dass Du nicht in der Lage bist das zu verstehen (oder nachzufragen), ist nicht mein Problem... viel klarer kann man Deinen Denkfehler nicht formulieren.

Du kannst ja mal formulieren was da nicht Deiner Ansicht entsprach:
benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Die Einfachste Lösung wäre gewesen: "Hör mal benruzzer dein Beispiel und Text hat nichts mit dem Problem zu tun, weil man hier beim abzählen aufpassen muss."
stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 07. Feb 2018 09:14    Titel: Re: Zustandssumme Bosonen Antworten mit Zitat

Danke für eure Hilfe!

TomS hat Folgendes geschrieben:
stranglers hat Folgendes geschrieben:
Es sind drei Bosonen mit Spin 0 vorhanden. Jedes Boson kann Energie oder annehmen.

Wie lautet die kanonische Zustandssumme?

Ich würde rein formal vorgehen.

Für das kanonische Ensemble konstruiert man die Zustandssumme Z als Spur, d.h. als Summe über (zunächst beliebige) Basiszustände



Mit der in der expliziten Wahl der Eigenzustände erhält man





D.h. i = 1,2 numeriert die Zustände, n_i ist die Besetzungszahl je Zustand, und die Summe der Besetzungszahlen entspricht der Anzahl der Teilchen.

Daraus folgt nun eine Summe über die Energieeigenwerte epsilon



g_epsilon bezeichnet den Entartungsgrad des jeweiligen Eigenwertes epsilon.

Den erlaubten Zuständen



entsprechen die Eigenwerte



(ich konnte mir diese ganze Abzählerei nie merken)


Auf diese Weise bin ich auch nochmal an die Aufgabe herangegangen.

Copy & Paste von dem nachstehendem Text in WolframAlpha:
exp(-3*b*a)+exp(3*b*a)+3*exp(b*a)+3*exp(-b*a)
(wobei b = beta, a = epsilon)

liefert das identische Ergebnis. Somit ist das Ergebnis



Somit ist dies das richtige Ergebnis (oder doch noch was übersehen?)
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 07. Feb 2018 10:09    Titel: Re: Zustandssumme Bosonen Antworten mit Zitat

stranglers hat Folgendes geschrieben:

exp(-3*b*a)+exp(3*b*a)+3*exp(b*a)+3*exp(-b*a)

Das hier ist falsch, da die Teilchen ununterscheidbar sind.
stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 07. Feb 2018 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Dann verstehe ich es jetzt nicht mehr. Also doch den Faktor 1/N! hinzufügen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Feb 2018 23:31    Titel: Antworten mit Zitat

stranglers hat Folgendes geschrieben:
Dann verstehe ich es jetzt nicht mehr. Also doch den Faktor 1/N! hinzufügen?

Nein, nichts hinzufügen, es steht schon alles da.

Für den Zustand |2,1>: Wie kommst du da auf den Vorfaktor 3??

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 08. Feb 2018 12:08    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist der Entartungsgrad - da es drei Möglichkeiten gibt, die Bosonen zu einer Gesamtenergie von +E anzuordnen.

Also ohne die Vorfaktoren?

jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8245

Beitrag jh8979 Verfasst am: 08. Feb 2018 13:56    Titel: Antworten mit Zitat

stranglers hat Folgendes geschrieben:
Das ist der Entartungsgrad - da es drei Möglichkeiten gibt, die Bosonen zu einer Gesamtenergie von +E anzuordnen.

Da die Bosonen ununterscheidbar sind, gibt es nur eine Möglichkeit.
Zitat:

Also ohne die Vorfaktoren?

Genau.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14416

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Feb 2018 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

stranglers hat Folgendes geschrieben:
Das ist der Entartungsgrad - da es drei Möglichkeiten gibt, die Bosonen zu einer Gesamtenergie von +E anzuordnen.

Das wäre eine klassische Argumentation im Sinne einer Unterscheidung



also Teilchen Eins sitzt im Zustand 1, Teilchen Zwei sitzt ebenfalls im Zustand 1, und Teilchen Drei sitzt im Zustand 2. Insgs. ergäbe sich damit die Menge der Zustände



stranglers hat Folgendes geschrieben:

Also ohne die Vorfaktoren?

Ja, denn diese klassische Abzählung ist für ununterscheidbare Teilchen falsch!

Wenn du das mit 3-Teilchen-Wellenfunktionen hinschreibst, dann musst du symmetrisieren.

Aber wenn du das in der von mir gewählten Besetzungszahldarstellung notierst, dann kannst du überhaupt keine verschiedenen Zustände hinschreiben! Du notierst nämlich nicht, welches Teilchen im welchem Zustand ist, sondern wieviele Teilchen in welchem Zustand sitzen:



2 Teilchen sitzen im Zustand Eins, 1 Teilchen im Zustand Zwei - Ende!
stranglers
Gast





Beitrag stranglers Verfasst am: 08. Feb 2018 21:25    Titel: Antworten mit Zitat

Alles klar - jetzt hab ich's.

Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!
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