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IsaacOldton
Gast
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 IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 07:11 Titel: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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Hallo, ich habe Probleme beim Verständnis des Phasenraumintegrals und der Berechnung einer Zustandssumme.
Ich hab das so verstanden:
Wir definieren eine sogenannte Planckzelle, in der jeweils genau ein Zustand vorkommen kann. Diese Zelle wird für 1 Teilchen definiert zu:
Wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade angibt.
Nehmen wir also an, wir haben N Teilchen und jedes hat 3 Freiheitsgrade (Bewegung in x-, y- und z- Richtung), dann ist die Planckzelle entsprechend:
Die Zustandssumme ergibt sich nun über das Verhältnis aus Phasenraumvolumen zu Planckzelle. Denn je nach Anzahl der Teilchen, nimmt passt die Planckzelle ins entsprechende Volumen.
Ist das soweit erstmal richtig verstanden?
Um die Zustandssumme zu finden, muss ich als erstes, meine Hamiltonfunktion finden.
Für ein stinknormales freies Teilchen heißt das
Das Zustandsintegral ist definiert als:
Sollten die Teilchen ununterscheidbar sein, kommt noch der GIBBS-Faktor dazu.
jetzt muss ich H einsetzen:
Stimmt diese Umformung oder ist diese falsc. Wenn falsch, wie geht es richtig.
Das muss ich dann intgrieren und dann bekomme ich meine Zustandssumme, richtig? Irgendwie bin ich aber nur halb schlau draus, was das wirklich(!!!) bedeutet? Vielleicht kann einer von den Könnern (TomS vllt.???) nochmal was dazu sagen und kurz nochmal umreißen wie das ganze läuft.
Als Beispiel habe ich folgende Aufgabe, an der ich das gern dann sehen würde, wie man explizit vorgeht. Mir fehlt nämlich ein Fahrplan bei derartigen Aufgaben (was aber wohl am Verständnis hakt), denn irgendwie verzettel ich mich immer.
Aufgabe:
Ein klassisches ideales Gas aus N ununterscheidbaren Teilchen, werde im ultrarelativistischem Grenzfall betrachtet. Dh. es gilt die Energie-Impuls-Beziehung E=cp.
Zeigen Sie, dass sich für die zugehörige Zustandssummer ergibt
^3\right])
Meine Ideen:
Der Ansatz für das Integral muss hier ja lauten:
Oder liege ich hier falsch? Wie muss ich weiter machen.
Wäre über Hilfe sehr dankbar. |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 07:14 Titel: |
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Da fehlt ein "=" vor dem letzten Integral in der längeren Zeile von Z_k |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 13:42 Titel: |
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Ich verstehe den ablauf irgendwie nicht ganz und brauche dringend Hilfe zum Verstàndnis. Sitze jetzt seit stunden an der aufgabe, aber es will nicht klick machen.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 15:13 Titel: Re: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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| IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: |
Zeigen Sie, dass sich für die zugehörige Zustandssummer ergibt
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Hier fehlt irgendwie einiges... so ist das jedenfalls nicht richtig.
Rechne doch mal analog das Integral aus was da auftritt
mit der entsprechenden Form der Energie... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 15:48 Titel: Re: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: |
Zeigen Sie, dass sich für die zugehörige Zustandssummer ergibt
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Hier fehlt irgendwie einiges... so ist das jedenfalls nicht richtig.
Rechne doch mal analog das Integral aus was da auftritt
mit der entsprechenden Form der Energie... |
Ist mein Ansatz denn so richtig gewählt?
Da fehlt ein ^N an der eckigen klammer.
Es muss heißen:
^3\right]^N)
Ich würde jetzt hier schreiben:
Stimmt das erstmal so? Wenn ja, muss ich jetzt das Volumenintegral allá
rechnen?
Danke für deine Hilfe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 15:55 Titel: |
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Rechne doch einfach mal weiter und guck was rauskommt... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 16:08 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Rechne doch einfach mal weiter und guck was rauskommt... |
Ich möchte erstmal wissen, ob ich den Weg des Umstellens des Raumintegrals richtig gehe! Das würde mir erstmal sehr helfen.
Stimmt das bis jetzt so, oder nicht?
Kann ich nicht auch folgendes schreiben:
Oder stimmt das so nicht?
Mir geht es erstmal um die korrekte Umformung und das damit verbundene Verständnis für das Phasenraumintegral.
Vllt. kannst du dazu noch kurz was sagen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 16:13 Titel: |
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Vorhin war's richtig. Jetzt ist es falsch.
Rechne es doch einfach mal aus. Wenn das richtige rauskommt, wirst Du es schon richtig gemacht haben. Wenn nicht, dann nicht. Dieses Mikromanagement bei jedem Schritt, bringt Dir nichts... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 16:37 Titel: Re: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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Also gilt:
Da ich das als Volumenintegral über eine Kugel auffassen kann, wobei p der Radius ist und das ganze unabhängig vom Winkel ist, gilt:
Dieses integral wird über zweifach partielle Integration gelöst und ich erhalte:
)
^2 + 2 \frac{cp}{kT} + 2 \right))
Und jetzt? irgendwie weiß ich nicht weiter. Stimmt das bis hierher? Wass muss ich jetzt tun? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 16:41 Titel: |
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Erstens fehlt da noch ein Vorfaktor und zweitens hat das Integral doch Grenzen... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 16:53 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Erstens fehlt da noch ein Vorfaktor und zweitens hat das Integral doch Grenzen... |
Was für einen Vorfaktor meinst du?
Grenzen sind -unendlich bis plus unendlich, oder?
Deswegen ja meine ganzen Fragen. Ich brauche da grundsätzlich Hilfe beim Verständnis. Der Zusammenhang zwischen kanonischer und Mikrokanischer Zustandsumme bereitet mir vom Verständnis Probleme. Wie muss ich denn die Energie eingrenzen? Jede Energie eines Mikrozustandes muss kleiner gleich der Gesamtenergie sein, oder? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 17:00 Titel: |
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| IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: |
Was für einen Vorfaktor meinst du?
Grenzen sind -unendlich bis plus unendlich, oder?
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Den den Du vergessen hast beim Integrieren, das ist nicht korrekt integriert.
Und Nein, die Grenzen sind nicht -unendlich und unendlich ... Du solltest Dir mal überlegen was Du hier machst und nicht einfach wild drauflosraten... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 15. Feb 2015 17:33 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: |
Was für einen Vorfaktor meinst du?
Grenzen sind -unendlich bis plus unendlich, oder?
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Den den Du vergessen hast beim Integrieren, das ist nicht korrekt integriert.
Und Nein, die Grenzen sind nicht -unendlich und unendlich ... Du solltest Dir mal überlegen was Du hier machst und nicht einfach wild drauflosraten... |
Ich rate nicht, sondern ich verstehe es leider nicht! Ich bitte doch hier nicht aus Spaß um Hilfe. Mir würde einfach die ein oder anderer Erklärung direkt am Beispiel einfach helfen es zu verstehen. Aus den Standardfall werde ich jedenfalls nicht schlau. Ich habe ein Problem den Standardfall, bei dem ein N freie Teilchen mit entsprechender Hamiltonfunktion die Zustandssumme charakterisieren. Auf diesen, einen andere Fall anzuwenden.
Bei freien Teilchen gilt ja
Wobei
das Integral über das Phasenraumvolumen darstellt
Hier kommt man dann auf:
Bei meinem Beispiel ist ja aber nicht p^2 sondern p linear vorhanden. Mit ist klar dass dann die summe p_1+p_2+p_3 nicht genau den Betrag selbst wieder gibt, weswegen die 3 der Potenz nicht aus der eckigen Klammer raus darf, sondern am integrierenden Faktor selbst stehen bleiben muss.
Aber warum ist in dem Fall von Freien Teilchen das Integral von -unendlich bis plus unendlich und wieso darf das jetzt nicht sein.
Was ich noch Verstehe, es muss ja gelten, dass die Gesamtenergie Größergleich der Energie eines möglichen Zustandes ist. Deswegen komme ich beim freien Teilchen dazu, dass ich über eine Kugel mit Radius \sqrt(2mE) Integriere, da ja gilt:
und somit sind meine Grenzen 0 und E.
Quasi wie wenn ich die Thetafunktion einfüge.
Aber hier unserem Beispiel, bekomme ich es einfach nicht hin, die Überleitung zuspannen. Kannst du mir nicht bitte einfach erklären, wie das ganze läuft. Dann kann ich es vielleicht einfach direkt sehen, wie das ganze ablaufen muss. Bitte !
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Meine Idee jetzt:
nach p Umstellen:
heißt das ich muss p von 0 bis E/c integrieren?
dann die Frage nach dem Vorfaktor, wie meinst du das? Ist es überhaupt korrekt, dass ich ein Kugelvolumen mit Radius p annehme?
Wenn ja, wäre dann ja hier mein Radius gegeben durch E/c? oder?
Bitte stell mir einfach eine Verbindung zwischen den Sachen her, wenn möglich. Ist ja nicht so, dass ich mir keine Gedanken mache.
Danke im Voraus |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 15. Feb 2015 18:35 Titel: Re: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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Du sollst einfach dieses Integral ausrechnen, mehr nicht:
Was steht auf der linken Seite? Integrationsgrenzen? Wie kommst Du auf die rechte Seite? Dann: Integrieren wie Du es getan hast (nur halt richtig, bei Dir fehlt da was). |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 01:16 Titel: Re: Phasenraumintegral, kanonische Zustandssumme |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Du sollst einfach dieses Integral ausrechnen, mehr nicht:
Was steht auf der linken Seite? Integrationsgrenzen? Wie kommst Du auf die rechte Seite? Dann: Integrieren wie Du es getan hast (nur halt richtig, bei Dir fehlt da was). |
Ok, also auf der linken Seite steht dann ein Volumenintegral über die Impulse. Ein3-Dimensionales Integral also. Ich hab hier einfach mal Kugelkoordinaten angenommen und möchte den Betrag des Impulses p als Radius verwenden.
Es gilt also Quasi das Volumenelement in Kugelkoordinaten. Der Integrand hängt dabei nicht vom Winkel ab, weswegen die Winkelintegration direkt durchgeführt werden kann. Ich komme dadurch auf den Faktor 4\pi.
Integrationsgrenzen: Es muss so sein, dass die Energie eines Zustandes kleiner der Gesamtenegie ist. Für die Gesamt Energie ist E=pc anzusetzen.
Demzufolge darf der Impuls höchstens (E/c) betragen
 e^{-\beta cp} = 4\pi \int_0^{E/c} dp p^2 e^{-\beta cp})
Demzufolge erhalte ich:
 e^{-\beta cp} = 4\pi \int_0^{E/c} dp p^2 e^{-\beta cp} = -\frac {8\pi}{\beta^3c^3}e^{-\beta E}\left(\frac{\beta^2E^2}{2} + \beta E -1 + e^{\beta E}\right))
Stimmt das so, oder passt das immernoch nicht?
Wie muss ich weiter machen? Das Integral habe ich mittel 2fach partieller Integration gelöst. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 16. Feb 2015 01:23 Titel: |
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Stimmt nicht ... traurig... so schwer ist es wirklich nicht... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 01:25 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Stimmt nicht ... traurig... so schwer ist es wirklich nicht... |
Dann zeig mir bitte, wie es richtig geht!
Sind es die Grenzen? Ich möchte es gern verstehen. Dazu muss ich aber sehen, was gemacht wird und wieso. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 16. Feb 2015 01:27 Titel: |
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| IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: | | Dazu muss ich aber sehen, was gemacht wird und wieso. |
Wozu? Um zu sehen was Du machen musst um nicht nachzudenken? |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 01:34 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: | | Dazu muss ich aber sehen, was gemacht wird und wieso. |
Wozu? Um zu sehen was Du machen musst um nicht nachzudenken? |
Also das Integral ist richtig gelöst, hab ich überprüft. Also kann es nur an den Grenzen liegen.
hmm...
Dann nochmal zum Grundverständnis:
Es ist doch so, dass das Ensemble mir für N Teilchen, jeweils einen Mikrozustand erlaubt. Für die Mikrozustände gilt, dass die jeweilige Energie nicht größer als die Gesamtenergie des Systems sein darf.
Soweit richtig?
Für meine Gesamtenergie gilt also: E=\sum_i cp_i
Das ist doch auch richtig, oder?
Also muss doch der Impuls von 0 bis E/c laufen oder nicht? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 16. Feb 2015 01:39 Titel: |
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Mach was Du willst... ich hab garantiert keine Lust mehr Dein Gerate zu korrigieren... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 01:45 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Mach was Du willst... ich hab garantiert keine Lust mehr Dein Gerate zu korrigieren... |
Ich rate doch nicht! Ich bitte dich doch einfach darum, ob ich grundsätzlich den Sinn dahinter verstanden habe. Ich weiß leider nicht, WO der Fehler zu finden ist. Nochmal ich bin noch unsicher, ob ich den Sinn dessen, was zu tun ist, verstanden habe, oder ob das was ich denke, was dahinter steckt komplett falsch ist. Mir würde es helfen, wenn du mir sagen kannst, ob meine zum Fall geposteten Gedanken richtig sind oder nicht. Mir fehlt einfach der Ansatzpunkt, wo der Fehler sitzt. Liegt er im grundsätzlichen Verständnis der Problematik, liegt er einfach nur an der fehlerhaften Rechnung, sind die Grenzen Falsch, weil ich nicht verstanden haben, wie ich die Funktion einzuschränken habe?
Mir geht es nicht darum, dass du mir eine Lösung präsentierst und gut ist. Ich finde es gut, dass du mich versuchst selber in die richtige Richtung zu drängen. Ich bin aber so unsicher in der Problematik, dass ich nicht weißt, was jetzt genau falsch ist. Deswegen bitte ich um Antwort auf meine Aussagen zum Verständnis. Ich hab leider große Probleme durchzusehen.
Danke für deine Mühe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 16. Feb 2015 01:48 Titel: |
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| IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: | | [Ich bitte dich doch einfach darum, ob ich grundsätzlich den Sinn dahinter verstanden habe. |
Nein hast Du leider nicht. Nicht einmal absatzweise anscheinend.... |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 01:53 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: | | [Ich bitte dich doch einfach darum, ob ich grundsätzlich den Sinn dahinter verstanden habe. |
Nein hast Du leider nicht. Nicht einmal absatzweise anscheinend.... |
Ok, das ist leider sehr schlecht. Kannst du mir dann bitte kurz erläutern, wie die Grenzen zustande kommen? Die Umformung bis zu diesem Integral scheint ja erstmal ok zu sein, wie du mir ja bereits bestätigt hast.
Wie komme ich auf die Grenzen? Oder stimmt doch was an den vorherigen Betrachtungen schon nicht?
PS: Tut mir leid, dass ich dich zur Verzweiflung bringe, aber es macht einfach nicht klick. Vielen Dank für deine bisherige Geduld. |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 02:05 Titel: |
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Ich habe nochmal nachgedacht. Es geht doch um eine Volumenintegration. Ein Volumen wird immer über den ganzen Raum integriert. In Kugelkoordinaten ist der Radius aber immer positiv. Das heißt, wenn ich p als Radius ansetze, muss ich als Grenzen 0 und unendlich verwenden.
Ist diese Überlegung denn korrekt? |
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IsaacOldton
Gast
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| IsaacOldton Verfasst am: 16. Feb 2015 02:23 Titel: |
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| IsaacOldton hat Folgendes geschrieben: | Ich habe nochmal nachgedacht. Es geht doch um eine Volumenintegration. Ein Volumen wird immer über den ganzen Raum integriert. In Kugelkoordinaten ist der Radius aber immer positiv. Das heißt, wenn ich p als Radius ansetze, muss ich als Grenzen 0 und unendlich verwenden.
Ist diese Überlegung denn korrekt? |
Es würde dann gelten:
 = \frac{4\pi}{\left(\beta c\right)^3}\int_0^{\infty}k^2e^{-k}dk = \frac{8\pi}{\left(\beta c\right)^3})
Oh man, ich glaub ich war einfach verwirrt, was den Sinn mikrokanonisch und kanonisch angeht und hab alles durcheinander geworfen. Die Kannonische Zustandssumme Faktorisiert doch und jedes Teilchen muss den gleichen Beitrag lifern, dadurch komme ich zu dem entsprechenden Integral. Das Volumenintegral wird über den ganze Raum ausgeführt und in Kugelkoordinaten bedeutet das für den Radius nunmal positives Werte.
Bitte lass es so sein!???  |
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fhoweifnewf
Gast
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| fhoweifnewf Verfasst am: 17. Feb 2015 18:09 Titel: |
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kurzfassung:
habe nicht nachgerechnet, aber sieht sehr gut aus. grenzen sind richtig: 0 und unendlich. das integral kann man auf die gamma-funktion zurückführen (hast du glaube auch gemacht). um letztlich die gesamte zustnadssumme zu bekommen schreibst du die summe im exponenten der e-fkt als produkt von e-fkt. und das n-fache produkt von e-fkt gibt dir dann grob gesagt e^n (daher kommt der exponent N), dies hast du im beitrag vom 15. Feb 2015 15:48 soweit richitg gemacht. einfach dein lsg des integrals dort einsetzen, dann siehst du ja ob du rihcitg gerechnet hast.
viele grpße |
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