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Zustandssumme von Dipolen
 
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planlos1234



Anmeldungsdatum: 14.09.2014
Beiträge: 1

Beitrag planlos1234 Verfasst am: 14. Sep 2014 13:04    Titel: Zustandssumme von Dipolen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,
ich bin gerade am lernen und komme mit einer Aufgabe nicht weiter. Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand helfen könnte. Schwerpunkt ist die statistische Physik.

In einem Magnetfeld, dessen magnetische Flussdichte B lediglich eine z-Komponente besitzt, werden N nicht miteinander wechselwirkende magnetische Momente betrachtet. Die potentielle Energie der Dipole ist gegeben durch .
Zu berechnen ist die Zustandssumme Z(T,B) und die Magnetisierung mit Hilfe der Zustandssumme.

Meine Ideen:
Bei dem Anstaz scheiter es dann leider auch schon. Alles was mir klar ist, ist das die Zustandssumme eine Funktion von T und B sein muss. Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar. LG Planlos
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14213

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Sep 2014 13:57    Titel: Antworten mit Zitat

Die kanonische Zustandssumme ist definiert als Spur des statistischen Operators



n nummeriert dabei alle Energieeigenzustände, beta steht für



(Ich gehe davon aus, dass es sich um die kanonische Zustandssumme handelt; die mikrokanonische enthält keine Temperatur)

In deinem Fall ist jede Gesamtenergie realisiert als Summe der Energien der einzelnen Dipole. Wenn eine Gesamtenergie durch Entartung mehrfach realisiert sein kann, dann kannst du die Zustandssumme auch umschreiben zu



wobei jetzt über verschiedene Energieen, jedoch gewichtet mit dem Entartungsgrad summiert wird.

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Partition_function_(statistical_mechanics)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14213

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Sep 2014 14:34    Titel: Antworten mit Zitat

Fragen:

Bist du dir sicher, dass die einzelnen magnetischen Momente keinen Vektorcharakter haben, also alle in z-Richtung ausgerichtet sein sollen? Warum hast du dann für die Magnetisierung einen Vektor?

Wie unterscheiden sich die einzelnen Dipole? Durch Betrag und/oder Richtung? (zu Richtung siehe Vektorcharakter)

Sollst du das für klassische Dipole berechnen? Oder für qm Dipole bzw. Spins?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Planlos123



Anmeldungsdatum: 08.11.2011
Beiträge: 9

Beitrag Planlos123 Verfasst am: 14. Sep 2014 14:46    Titel: schonmal danke soweit Antworten mit Zitat

Hallo TomS,
entschuldige, mein Fehler. Die Dipole haben natürlich auch einen Vektorcharakter. Die einzige Zusatzinfo lautet, dass sie frei im Raum drehbar sind. Es handelt sich dabei um klassische Dipole, die Aufgabe ist aus der statistischen Mechanik
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 15:33    Titel: Re: schonmal danke soweit Antworten mit Zitat

Planlos123 hat Folgendes geschrieben:
Hallo TomS,
entschuldige, mein Fehler. Die Dipole haben natürlich auch einen Vektorcharakter. Die einzige Zusatzinfo lautet, dass sie frei im Raum drehbar sind. Es handelt sich dabei um klassische Dipole, die Aufgabe ist aus der statistischen Mechanik


Ist dir denn die Definition der Zustandssumme klar und was damit anzufangen ist? Im Prinzip handelt es sich dabei um eine Abzählen der möglichen Mikrozustände des Systems gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten, mit denen sie auftreten. Als erstes mußt du also rausfinden, in welchen "mikroskopischen" Zuständen sich das System befinden kann. Die relevanten Mikrozustände in deiner Aufgabe sind also einfach die Richtungen der Dipole. Die kannst du zum Beispiel durch zwei Winkel charakterisieren. Die "Zustandssumme" ist in diesem Fall dann ein Integral über alle möglichen Winkel. Hilft dir das schon weiter?

Noch ein Hinweis zu der Berechnung: Wenn die einzelnen Teile des Systems nicht miteinander wechselwirken, wie in diesem Fall, erhältst du die Zustandssumme des Gesamtsystems aus dem Produkt der Zustandssummen der Einzelsysteme. Du kannst also erstmal N vergessen und nur einen Dipol betrachten. Wenn alle Dipole unterscheidbar sind, gilt .
Planlos123



Anmeldungsdatum: 08.11.2011
Beiträge: 9

Beitrag Planlos123 Verfasst am: 14. Sep 2014 16:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Razor, wenn ich dich richtig verstehe, würde das ein Integral über beide Winkel in Kugelkoordinaten bedeuten. Als etwas in der Art:
.
Ist das so weit richtig?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 16:22    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht ganz. Wenn du kontinuierliche Zustände abzählen willst, mußt du das für die gewählte Parametrisierung korrekte Flächenmaß wählen. Hier "summierst" du ja über alle möglichen Richtungen im Raum. Das sind also im wesentlichen die Punkte auf der Oberfläche der Einheitskugel. (Deswegen hat r auch erstmal nichts in der Formel zu suchen. Es sei denn du meinst damit den konstanten Betrag des magnetischen Moments.) Du mußt also das Flächenelement der Einheitskugel benutzen. Weißt du wie das aussieht? (Edit: Durch und ausgedrückt, meine ich natürlich)

Außerdem hast du die Gewichte vergessen. Jeder Zustand mit Energie E wird auch nur mit dem Gewicht gezählt. Das ist also formal die Funktion, die du über die Einheitssphäre integrieren mußt.
Planlos123



Anmeldungsdatum: 08.11.2011
Beiträge: 9

Beitrag Planlos123 Verfasst am: 14. Sep 2014 17:00    Titel: Antworten mit Zitat

Das Flächenelement wäre demnach doch oder? demnach müsste ich das Integral:
,
für die Aufgabe lösen?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 17:13    Titel: Antworten mit Zitat

Planlos123 hat Folgendes geschrieben:
Das Flächenelement wäre demnach doch oder? demnach müsste ich das Integral:
,
für die Aufgabe lösen?


Im Prinzip ja, ich hab mich aber etwas mißverständlich ausgedrückt. Ich meinte nicht, daß du r durch den Betrag von ersetzen sollst. Der kommt zwar im Ergebnis vor, aber nicht so wie du es hingeschrieben hast. Auf der Einheitssphäre ist einfach r=1. Also steht
da

für die Zustandssumme eines Dipols.

Als nächstes müssen wir die Energie durch Betrag und Richtung (in ) des magnetischen Moments ausdrücken, damit wir integrieren können. Da in der Aufgabenstellung dankenswerter Weise angegeben ist, daß die Richtung des B-Feldes mit der z-Achse übereinstimmt, kann man das sofort hinschreiben.
Planlos123



Anmeldungsdatum: 08.11.2011
Beiträge: 9

Beitrag Planlos123 Verfasst am: 14. Sep 2014 19:06    Titel: Antworten mit Zitat

Also durch bzw. dessen äquivalent in Kugelkoordinaten ersetzen?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

Planlos123 hat Folgendes geschrieben:
Also durch bzw. dessen äquivalent in Kugelkoordinaten ersetzen?


Es ist viel einfacher. Wir haben Kugelkoordinaten, in denen B in Richtung zeigt, (denn ist der Winkel, den mit der z-Achse einschließt.) Dann steht da das Skalarprodukt
PeterPain
Gast





Beitrag PeterPain Verfasst am: 14. Sep 2014 19:45    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich das skalarprodukt umschreibe erhalte ich:



und das Integral was ich zu lösen hab ist ziemlich eklig. Hab in der E-funktion Cosinus theta auftauchen und multipliziere mit Sinus theta. Jemand einen tipp, wie ich das löse?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 19:48    Titel: Antworten mit Zitat

PeterPain hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich das skalarprodukt umschreibe erhalte ich:



und das Integral was ich zu lösen hab ist ziemlich eklig. Hab in der E-funktion Cosinus theta auftauchen und multipliziere mit Sinus theta. Jemand einen tipp, wie ich das löse?


Hast du deinen Namen geändert?

Das Integral ist überhaupt nicht eklig. Versuche mal den Substitutionsansatz .
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14213

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Sep 2014 19:49    Titel: Antworten mit Zitat

Das Integral kann durch Substitution gelöst werden, denn du hast ja


_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
PeterPain
Gast





Beitrag PeterPain Verfasst am: 14. Sep 2014 20:08    Titel: Antworten mit Zitat

das integral mit phi kann ich leicht ausführen und 2*pi als konstante schreiben. Anschließend kann ich das integral ausführen und erhalte:



da der Cosinus symetrisch ist wird der Term 0?
was sagt mir das jetzt über die Zustandssumme?

P.S. bin nur ein Kollege von planl0123
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 20:13    Titel: Antworten mit Zitat

PeterPain hat Folgendes geschrieben:
das integral mit phi kann ich leicht ausführen und 2*pi als konstante schreiben. Anschließend kann ich das integral ausführen und erhalte:




Wo kommt das r plötzlich wieder her? Wir integrieren über die Einheitssphäre.

Außerdem sind die Integrationsgrenzen falsch. beschreibt nur einen Halbkreis von 0 bis .
Planlos123



Anmeldungsdatum: 08.11.2011
Beiträge: 9

Beitrag Planlos123 Verfasst am: 14. Sep 2014 20:42    Titel: Antworten mit Zitat

So vielen Dank erstmal für eure Hilfe;) Meinen Namen habe ich nicht geändert, dass ist ein Kommolitone der an der selben Übungsaufgabe sitzt;) Ab hier schaffe ichs. Vielen Dank für eure Hilfe und Geduld
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