Energie eines Systems aus Bosonen/Fermionen

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hallo,

Ich habe auf meinem aktuellen Übungsblatt eine Frage dazu, wie sich die Grundzustandsenergie eines Systems aus zehn gleichen nicht Wechselwirkenden Fermionen mit Spin 1/2 im Vergleich zu einem System aus zehn nicht wechselwirkenden Bosonen (Spin 0) in einem eindimensionalen Potentialkasten gleicher Breite und Höhe verändert.

Also bei den Bosonen würde ich sagen, dass die Gesamtenergie im Grundzustand die Summe der Energieeigenwerte der einzelnen Teilchen ist. In der Vorlesung hatten wir genau das für 2 Heliumatome auf einer Folie.
Begründen würde ich es damit, dass sich der Hamiltonoperator für das gesamte System gleich der Summe der Hamiltonoperatoren für die einzelnen Teilchen ist, und damit die Energieeigenwerte ebenso addiert werden können.

Bei den Fermionen bin ich mir nun nicht sicher. Sie wechselwirken zwar nicht aber nach dem Pauli-Prinzip dürfen nicht zwei gleiche Fermionen denselben Ein-Teilchen-Zustand besetzen oder? Müssten dann fast alle Teilchen höhere Energieniveaus annehmen ? Und falls ja, dann würde man sagen, dass die Grundzustandsenergie im Fermionen-Fall größer ist, da sie noch immer die Summe der einzelnen Energien.
Über das Verhältnis kann ich aber keine Aussage treffen oder?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Soweit ist das richtig. Solange du das System nicht spezifiziert kannst du die Energiedifferenz nicht angeben. Du kannst im Falle von Spin 1/2 Fermionen jeden Zustand mit zwei Fermionen besetzten, sodass du bei 10 Ferminonen die 5 niedrigsten Energiezustände jeweils doppelt besetzten musst.

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Okay danke. Das leuchtet mir ein und vermutlich ist das dann auch die Antwort die ich hinschreiben soll.

Wenn die Bosonen und Fermionen sich aber in ihren Massen ganz extrem unterschieden, also die Fermionen sehr viel schwerer sind als die Bosonen, kann es dazu kommen, dass trotzdem die Bosonen die geringere Grundzustandsenergie haben oder?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

Das System ist doch gegeben

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Ja nun, das System ist im Prinzip angegeben.

Für den 1-D-Potentialkasten gilt für die Energieeigenwerte:

Das sollte so ja nun für Bosonen wie für Fermionen gelten oder?

Und wenn man nun gleiche Massen annimmt, dann ist klar, dass die Gesamtenergie der Fermionen höher ist, als die der Bosonen, wegen der höhren Zustände, die einige Fermionen besetzen müssen.

Aber was ich in meinem letzten Satz sagen wollte:
Wenn die Fermionen nur ausreichend schwer sind im Vergleich zu den Bosonen (nehmen wir mal 100 mal so schwer an), dann ist die Grundzustandsenergie der Fermionen auch noch für n = 5 wesentlich niedriger, als die Grundzustandsenergie der Bosonen, im einzelnen, wie im gesamten.
Also ja, das letzte Bosonen müsste Fermionen heißen Big Laugh

!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Ah, ja. Um so einen geht es. Hatte das unendlich hoch oben vergessen. :x Nagut, dann ist ja alles klar! smile

Dankeschön!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

Nicht direkt vergessen: "Potentialkasten gleicher Breite und Höhe" Augenzwinkern

Aber unendlich hoch ist eh besser, da kriegst du eine schöne Zahl für das Verhältnis raus (bei gleicher Masse).