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Sito
Anmeldungsdatum: 14.07.2017
Beiträge: 31
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 Sito Verfasst am: 04. Dez 2017 21:11 Titel: Kanonische Flüsse und Transformationen |
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Meine Frage:
Guten Abend zusammen.
In unserem Skript für Allgemeine Mechanik heisst es, dass man einem kanonischen Fluss  eine erzeugende Funktion  zuordnen können. Danach kommt einfach die Formel
)=\varepsilon \frac{\partial \phi_{\lambda}}{\partial \lambda}(z)) , =(q^1,\dots,q^N,p_1,\dots,p_N)) die Koordinaten und  die Koeffizienten der symplektischen Form sind.
Wir sollen nun speziell für einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator mit Hamilton-Funktion +\frac{k}{2}(x^2+y^2)) den kanonischen Fluss der Drehung in der  -Ebene aufschreiben und die erzeugende Funktion bestimmen.
Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein fehlen mir hier etwas die Ideen. Eine Rotation um den Winkel  würde man wohl mit einer Matrix der Form &-\sin(\lambda)\\ \sin(\lambda)&\cos(\lambda)\end{pmatrix}) beschreiben, wobei die Matrix je nachdem um welche Achse rotiert wird entsprechend erweitert werden müsste (dabei schreibt man einfach einsen auf die restlichen Diagonalelemente und Nullen sonst). In diesem Bsp. müsste man wohl eine  -Matrix daraus machen, da es sich um ein zweidimensionales Problem handelt.
Ich dachte also daran :=R_{\lambda}\cdot z) zu definieren.
Diese Funktion müsste man also jetzt nach ableiten, was komponentenweises ableiten der Matrixelemente bedeutet und zu &-\cos(\lambda)&0&0\\\cos(\lambda) & -\sin(\lambda)&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix})
Nun folgt also  =\varepsilon \partial_{\lambda}R_{\lambda}(z)=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\ -\cos\lambda+\sin\lambda & \cos\lambda+\sin\lambda & 0& 0\\-\cos\lambda+\sin\lambda & \cos\lambda+\sin\lambda & 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\p_x\\p_y\end{pmatrix}) .
Funktioniert das so? Irgendwie sieht das im Moment alles sehr wirr aus.. Weiter als hier komme ich dann aber auch nicht... Wie bestimme ich denn nun konkret?
Gruss Sito |
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APWBDumbledore
Anmeldungsdatum: 24.10.2017
Beiträge: 16
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| APWBDumbledore Verfasst am: 05. Dez 2017 19:57 Titel: |
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EDIT: Dieser Post kann ignoriert werden.
Fangen wir von vorne an: Welcher Phasenfluss ergibt sich beim eindimensionalen harmonischen Oszillator?
Ich denke, Du kennst intuitiv die Antwort: Eine Ellipse, die im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn horizontal die Koordinate und vertikal der Impuls aufgetragen wird. Die Form ist eine Ellipse, und zwar derart, dass die Energie  + (k/2) x^2) erhalten bleibt und dass  p) gilt. Das heißt, wenn man nicht Koordinate und Impuls, sondern  und  x) aufträgt (die dieselbe physikalische Dimension haben), dann ergibt sich speziell ein Kreis (das ergibt sich aus der Forderung, dass die maximale potentielle Energie, die an den Umkehrpunkten erreicht wird, gleich der maximalen kinetischen Energie ist, die beim Nulldurchlauf erreicht wird).
Die Kreisfrequenz der Rotation ergibt sich zu  .
Dann: Welcher Phasenfluss ergibt sich beim zweidimensionalen Oszillator?
Antwort: Ein zweidimensionaler harmonischer Oszillator ist nichts anderes als eine Überlagerung zweier unabhängiger eindimensionaler Oszillatoren (ergänzende Bemerkung: Falls statt \vert x\vert^2) eine harmonische Matrix  gegeben wäre, müsste man dazu eine Hauptmodenzerlegung durchführen, aber in diesem Fall ist das direkt so).
Das heißt, es sind zwei unabhängige Rotationen, einmal eine für die x-Komponente von Ort und Impuls, und einmal für die y-Komponenten. Bei einem dreidimensionalen Oszillator wären es eben drei Rotationen usw.
Mit diesem Hintergrund kannst Du erstmal den korrekten Phasenfluss aufschreiben. Die weiteren Ideen, die Du geäußert hast, sind im Prinzip richtig, aber Du arbeitest eben mit einem völlig unsinnigen Phasenfluss (nämlich mit einer Rotation im Ortsraum, wobei beide Impulskomponenten immer Null sind... das ist nicht nur nicht der harmonische Oszillator, sondern komplett unphysikalisch, da es ohne Impuls keine Bewegung gibt). 
Zuletzt bearbeitet von APWBDumbledore am 05. Dez 2017 23:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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APWBDumbledore
Anmeldungsdatum: 24.10.2017
Beiträge: 16
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| APWBDumbledore Verfasst am: 05. Dez 2017 20:11 Titel: |
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Okay, wenn ich nochmal Deine Aufgabe lese...
Es geht nicht um den kanonischen Fluss, der durch die Zeitentwicklung induziert wird, sondern tatsächlich um die Drehung in der x-y-Ebene, oder?
In dem Fall ist Dein Ansatz trotzdem falsch. Du musst dieselbe Rotation auf den Ort und den Impuls anwenden. Ansonsten bekommst Du auch keinen kanonischen Fluss (eine reine Ortstransformation lässt die Poissonklammern  nicht invariant:  , wenn der Impuls nicht mittransformiert wird). Abgesehen davon, hat Deine Matrix nicht einmal vollen Rang, womit sie auch offensichtlich den Satz von Liouville verletzt (kanonische Transformationen erhalten das Phasenraumvolumen, aber Deine Matrix schickt jedes Phasenraumvolumen auf Null).
Das heißt, deine Matrix muss
lauten.
PS:
Abgesehen davon, dass die Mittransformation des Impulses notwendig ist, um eine kanonische Transformation zu erhalten, ist der physikalische Gedanke der folgende: Ein kanonischer Impuls leitet sich aus einer Lagrange-Funktion her:
 .
Nun führt man eine Transformation im Ortsraum durch:
_{\mu = 1}^N ))
 (Kettenregel)
Das heißt, wenn  , ist ^t = p^t \cdot A^{-1}) , also ^t \cdot p) , was für eine orthogonale Transformation aber gleich  ist.
(es ist _{\mu, \mu'} = \left( \frac{\partial q^{\mu}}{\partial q^{\mu'}}\right)_{\mu', \mu}^{-1}) , da die Jacobi-Matrix der Inversen einer Transformation gleich der Inversen der Jacobi-Matrix ist)
PPS: Das korrekte Transformationsverhalten bekommt man in der Tat auch bereits aus den Poisson-Klammern:
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Sito
Anmeldungsdatum: 14.07.2017
Beiträge: 31
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| Sito Verfasst am: 08. Dez 2017 14:55 Titel: Re: Kanonische Flüsse und Transformationen |
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Zuerst mal vielen Dank für die Mühe und die umfangreichen Beiträge.
Ich ignoriere jetzt einfach mal deinen ersten Beitrag, wie du in deinem EDIT schreibst...
| Zitat: | | Du musst dieselbe Rotation auf den Ort und den Impuls anwenden. |
Wieso macht das Sinn? bzw. was bedeutet es wenn ich den Impuls so transformiere...
Danke für den Hinweis mit dem Rang der Matrix und Liouville!
Ich habe nach dem gleichen Vorgehen wie im letzen Beitrag, aber mit der von dir vorgeschlagenen Matrix das ganze durchgerechnet und komme dann auf:
) =\varepsilon \partial_{\lambda}\phi_{\lambda}(z)=\begin{pmatrix}0&0&-\sin\lambda&-\cos\lambda\\0&0&\cos\lambda&-\cos\lambda\\ \sin\lambda & \cos\lambda & 0& 0\\-\cos\lambda& \sin\lambda & 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\p_x\\p_y\end{pmatrix}) .
Wobei ich einfach :=\begin{pmatrix}R_\lambda &0\\0&R_{\lambda}\end{pmatrix}(x,y,p_x,p_y)^T) definiert habe. Das Problem ist nun, dass ich nicht weiss wie weiter. Wie bestimme ich denn mit diesem Gleichungssystem konkret ? |
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