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Variabelius
Gast
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 Variabelius Verfasst am: 17. Apr 2014 21:28 Titel: H als generator bei infinitesimalen Transformationen |
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Halloo,
Ich versteh nicht wie man darauf kommt das der Hamiltonian eine generator Funktion ist.
Also wenn man eine infinitesimale kanonische Transformation hat
Dann ist die generierende Funktion:
)
Und die Transformationsgleichungen sind dann:
und
Führt dann auf
und
Das sieht natürlich so aus wie die Hamilton gleichungen.
Wenn man dann die Poisson Klammern nimmt sieht man das
Und dann sagt man einfach, woaahh G war die ganze Zeit H, sagen wir einfach H ist der generator der Zeitlichen änderng eines Systems. Ist das so zustande gekommen?? Die Poisson Klammern sind ja auch einfach so definiert das es passt.
Dann versteh ich auch nicht wie der generator H bei etwas auftaucht das den H als definition hat. Weil kanonische Transformationen sind ja so definiert das sie das prinzip der kleinsten Wirkung erfüllen, und das hat ja in dem Sinne den alten H und den neuen H als Bedingung. Wie kann dann der H noch mal auftauchen? Ist das nicht ein Zirkelschluss??
Gruß |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 18. Apr 2014 16:09 Titel: Re: H als generator bei infinitesimalen Transformationen |
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| Variabelius hat Folgendes geschrieben: | | Weil kanonische Transformationen sind ja so definiert das sie das prinzip der kleinsten Wirkung erfüllen... |
Kanonische Transformationen sind erstmal nur Diffeomorphismen in den Variablen, also Variablentransformationen. Demnach beschreibt man die gleiche Physik in mit anderen Parametern.
Die Bedingung, die an diese Transformation gestellt werden ist, dass sie die Poisson-Klammer invariant lassen sollen, oder äquivalent dazu, die kanonischen Gleichungen (Form-)Invariant lassen.
Was du ansprichst ist wohl die Erzeugende Funktion, dessen vollständiges Differential die (stationäre) Wirkung natürlich invariant lässt.
Ich denke du solltest dir mal Zweitlektüre zu diesem Thema (Stichworte Noether-Theorem im Hamilton-Formalismus, Infinitesimale kanonische Transformationen, …) besorgen.
Was gemacht wird ist, keine allgemeine infinitesimale Trafo zu betrachten, sondern eine Spezielle und zwar wenn man G = H setzt, das ist keine Folgerung durch einen Vergleich oder so (falls ich dich hier richtig verstanden habe) sondern eine Betrachtung eines Spezialfalles:
F = qP + tH
Das die Hamiltonfunktion tatsächlich der Generator der Zeitentwicklung ist, wird in der Quantenmechanik noch deutlicher:
mit der Lösung  \right> = e^{-itH/\hbar} \left| r(0) \right> ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 18. Apr 2014 18:59 Titel: |
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Eine kanonische Transformationen vermitteln zwischen (q,p) und (Q,P) als Koordinaten im Phasenraum eines Systems und stellt dabei eine verallgemeinerte Koordinatentransformation dar. Die erzeugende Funktion einer kanonischen Transformation hängt von einem Paar von Variablen ab, wobei eine Variable aus (q,p) und eine aus (Q,P) auftritt. Die kanonische Transformation enthält dabei keine Information über die Dynamik und ist unabhängig von H.
Die Dynamik selbst ist in H(q,p) kodiert. Die Hamiltonfunktion generiert keine kanonische Transformation sondern die Zeittranslation. Sie hängt auch nicht von alten und Koordinaten ab, sondern von genau einem Paar (q,p).
Mittels kanonischer Transformationen kann man H(q,p) auf H(Q,P) abbilden, wobei beide die selbe Dynamik (in anderen Koordinaten) beschreiben.
Ich fand den Formalismus der klassischen Mechanik auch immer verwirrend. In der Quantenmechanik wird das m.E. mittels H(q,p) bzw. der Zeittranslation U = exp(-iHt) sowie einem beliebigen Generator G(q,p) bzw. der unitären Transformation exp(-iG) wesentlich klarer. Beide haben zunächst mal nichts miteinander zu tun.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 19. Apr 2014 10:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Hamiltonfunktion generiert keine kanonische Transformation sondern die Zeittranslation. |
Und die infinitesimale Zeittranslation zieht eine infinitesimale Translation im Phasenraum mit sich. Entspricht diese inf. Translation dann der realen Bewegung des Systems, ist sie selbstverständlich kanonisch, da der Hamiltonsche Fluss die Poissonklammer erhält.
Dazu verweise ich mal auf den Scheck Band 1, Abschnitt 2.33 Kanonische infinitesimale Transformationen, der sich jedoch an der für mich entscheidenden Stelle unglücklich ausdrückt, und zwar bei der Ersetzung der Variablen P durch p in der Erzeugenden Funktion H(q,P) ebenso andere Quellen.
Eine Anmerkung noch, in der Schrödingergleichung, die ich oben aufgeschrieben habe fehlt natürlich ein Faktor 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 19. Apr 2014 11:01 Titel: |
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Das ist eine reichlich künstliche Ansicht.
Ich kenne folgende Aussage zur kanonischen Transformationen (aus Wikipedia, aber m.E. hier sehr präzise definiert; Hervorhebung von mir)
In Hamiltonian mechanics, a canonical transformation is a change of canonical coordinates (q,p,t) → (Q,P,t) that preserves the form of Hamilton's equations ... although it might not preserve the Hamiltonian itself. This is sometimes known as form invariance.
Wenn man nun die Zeit-Translation Q(t) = q(t + dt), P(t) analog, als Koordinaten-Transformation auffassen möchte, dann kann man das formal wohl tun, aber was bringt das? Ist das nicht nur ein eher irrelevanter Spezialfall?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 19. Apr 2014 12:50 Titel: |
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Nein, diese, in der Tat künstliche, Variablentransformation war nicht gemeint, sondern eine Transformation, die das ganze System in der Zeit, verschiebt, d.h. an die Änderung der Zeit ist auch eine Änderung der Koordinaten im Phasenraum gebunden.
Meine Aussagen sind, so wie ich sie gemeint habe, auch konsistent mit der Definition aus Wikipedia, da die Erhaltung der Poissonklammer äquivalent zur Erhaltung der Hamiltonschen Gleichugnen ist. Ich beziehe mich dabei übrigens auf den Arnold.
Ich habe leider gerade keine Zeit das ganze etwas expliziter aufzuschreiben, werde es aber morgen tun, bis dahin bleibt der Verweis auf den Scheck, der diese Transformation herleitet.
Aber auch ich finde diese Herleitung etwas verwirrend, insbesondere an der angesprochenen Stelle, daher auch von mir sofort der Verweis auf die Quantenmechanik in meinem ersten Beitrag. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 19. Apr 2014 14:09 Titel: |
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Ich versteh's immer noch nicht.
Ich betrachte eine symplektische Mannigfaltigkeit M mit einer geschlossenen symplektischen Form omega, für die lokal eine Koordinatendarstellung der Form
existiert (gem. Darbeaux's Theorem immer möglich).
Nun betrachte ich eine Abbildung F
 \to (Q_i, P_i))
F ist kanonisch dann und nur dann, wenn sie die symplektische Form invariant lässt
In welcher Weise trifft dies nun für den Hamiltonian zu, der ja gar keine zwei Koordinatensysteme auf M verknüpft?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 20. Apr 2014 15:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich versteh's immer noch nicht. |
Das lag wohl an mir. Ich habe mir gestern zu wenig Zeit genommen für meinen Beitrag und die Transformation missverstanden!
Ausformuliert lautete die Transformation
 = q(t + \delta t) = q(t) +\frac{\partial q}{\partial t} \delta t)
und es war genau die Transformation, die ich meinte. Ich dachte du führst lediglich eine Verschiebung der gesamten Zeitachse durch.
Nun mal meine Gedanken dazu:
Da die Rede von Infinitesimalen Trafos ist, ist das Problem vollkommen lokal, deswegen würde ich oBdA von M zurück zum  gehen und um den gewöhnlichen Satz von Louiville anwenden zu können gehe ich lokal zu einer endlichen Trafo übergehen, was auch immer möglich ist (Differenzierbarkeit => offene zusammenhängende Umgebung)
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nun betrachte ich eine Abbildung F
F ist kanonisch dann und nur dann, wenn sie die symplektische Form invariant lässt
In welcher Weise trifft dies nun für den Hamiltonian zu, der ja gar keine zwei Koordinatensysteme auf M verknüpft? |
Angenommen es liegt ein vernünftiges System vor, d.h. Hamiltonian bestimmt lokal eindeutig eine Flusslinie (=Phasenraumkurve)  = g^t x(0)) (für ein festes x(0)) im Phasenraum, d.h. die Hamiltonsche Flusslinie verbindet 2 auf der Linie liegende Punkte x = (p(t), q(t)) und x' = (p(t + dt), q(t+dt)) zu verschiedenen Zeiten.
Eine Verbindung der beiden Punkte zu verschiedenen Zeiten, das heisst eine Transformation ist dann gegeben durch:
 = (p(t), q(t)) \mapsto x'(t) = (Q(t), P(t)) = (p(t + \delta t), q(t + \delta t)) = g^{\Delta t} (p(t), q(t)))
D.h. 
Dabei wird also das Koordinatensystem entlang der Phasenraumkurve (affin Verschoben/) transportiert und nach dem Satz von Louville (in passender Form: Arnold, Paragraph 38, 1. Theorem) gilt
^* \omega = \omega)
Und somit ist die Transformation kanonisch.
So sehe ich das zumindest. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18185
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2014 20:15 Titel: |
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Danke für den ausführlichen Beitrag.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man nun die Zeit-Translation Q(t) = q(t + dt), P(t) analog, als Koordinaten-Transformation auffassen möchte, dann kann man das formal wohl tun. |
So hatte ich das gemeint.
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