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Mark_anfaenger
Gast
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 Mark_anfaenger Verfasst am: 02. Dez 2017 20:00 Titel: Kanonische Transformation mit Differentialformen |
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Meine Frage:
Guten Abend zusammen,
Im Folgenden sei diese Transformation gegeben:
 .
Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, wobei es in einem ersten Schritt darum ging zu zeigen, dass die kanonischen Poisson-Klammern in den neuen Koordinaten die erwartete Form haben. Danach musste man zeigen, dass  gitl, wobei  die Jacobi-Matrix der Transformation ist und  die symplektische Struktur bezeichnet. Das hat soweit alles funktioniert, aber beim letzten Aufgabenteil stosse ich leider an meine Grenzen:
Man soll zeigen, dass die symplektische Form  invariant ist.
Meine Ideen:
Ich bin nicht besonders bewandert im Umgang mit Differentialformen (was konkret heisst, ich hatte eine einstündige Einführung dazu wo ein paar Definitionen an die Tafel geschrieben wurden), von daher wäre etwas Aufklärung bzgl. Interpretation von dem was ich hier mache wünschenswert.
 .
Falls das stimmt müsste dann also:
 + {\rm{d}}p_2 \wedge (-2{\rm{d}}q_1-{\rm{d}}q_2) \\
<br />
={\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+ {\rm{d}}q_1\wedge (-2){\rm{d}}p_2 + \underbrace{{\rm{d}}p_2\wedge (-2){\rm{d}}q_1}_{=(-1)(-2){\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_2} \underbrace{- {\rm{d}}p_2\wedge {\rm{d}}q_2}_{={\rm{d}}q_2\wedge{\rm{d}}p_2}\\
<br />
= {\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+{\rm{d}}q_2\wedge {\rm{d}}p_2)
gelten, wobei ich hier einfach mal davon augegangen bin, dass es sich bei allen vier Differentialformen um  -Formen handelt.
Was ich damit aber nun anfangen soll verstehe ich leider nicht... Das ganze Thema ist mir momentan noch etwas rätselhaft... Es wäre also schön wenn mir hier jemand konkret weiterhelfen könnte
Gruss Mark |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Dez 2017 14:52 Titel: Re: Kanonische Transformation mit Differentialformen |
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| Mark_anfaenger hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Guten Abend zusammen,
Im Folgenden sei diese Transformation gegeben:
.
Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, wobei es in einem ersten Schritt darum ging zu zeigen, dass die kanonischen Poisson-Klammern in den neuen Koordinaten die erwartete Form haben. Danach musste man zeigen, dass gitl, wobei die Jacobi-Matrix der Transformation ist und die symplektische Struktur bezeichnet. Das hat soweit alles funktioniert, aber beim letzten Aufgabenteil stosse ich leider an meine Grenzen:
Man soll zeigen, dass die symplektische Form invariant ist.
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Das scheint mir im wesentlichen eine Umformulierung der Aussage  zu sein, die du bereits gezeigt hast. Bei  handelt es sich ja vermutlich um die Matrix, deren Einträge gerade die Poisson-Klammern
)
der Phasenraumkoordinaten sind. Anders ausgedrückt, handelt es sich um die Koeffizientenmatrix der symplektischen Form  , d.h.
, \qquad \text{etc.}) .
Die Form ist eine nichtentartete, geschlossene 2-Form, die sich also bzgl. der Koordinaten  in der Form
} )
schreiben läßt. Man muß hier aufpassen, wie man die auftretenden Summen ausführt: In der ersten ist  , wobei  die Dimension des Konfigurationsraums ist. In der zweiten, wo  und  gemischt auftreten, werden beide Indizes unabhängig bis N summiert. Dasselbe Schema wiederholt sich in den restlichen Termen, wo die Rollen von und vertauscht sind. Am einfachsten ist es deshalb für Orts- und Impulskoordinaten einen gemeinsamen Bezeichner zu verwenden, z.B. so
Dann lautet die Darstellung der symplektischen Form
wobei man in der letzten Summe  setzen muß. Eine kanonische Transformation ist nichts anderes als eine Abbildung ) , die invariant läßt. Dies bedeutet
\dd Z_I\wedge \dd Z_K\stackrel{\text{Invarianz!}}{=}\frac{1}{2}\sum_{I,K}\epsilon_{I,K}\dd Z_I\wedge\dd Z_K.)
Koeffizientenvergleich liefert genau die Bedingung für die Invarianz mit
Im folgenden Teil der Aufgabe wird nun die spezielle Form
der symplektischen Form vorausgesetzt. Das bedeutet aber nichts anderes, als daß es sich bei q und p um kanonische Koordinaten handelt, d.h. die Koeffizientenmatrix hat die spezielle Form
)
Wegen der allgemeinen Invarianzbedingung liefert eine kanonische Transformation von kanonischen Koordinaten wiederum kanonische Koordinaten, d.h. dieselbe Form von und damit
Das hast du mit deiner Rechnung:
| Zitat: |
Falls das stimmt müsste dann also:
 + {\rm{d}}p_2 \wedge (-2{\rm{d}}q_1-{\rm{d}}q_2) \\={\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+ {\rm{d}}q_1\wedge (-2){\rm{d}}p_2 + \underbrace{{\rm{d}}p_2\wedge (-2){\rm{d}}q_1}_{=(-1)(-2){\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_2} \underbrace{- {\rm{d}}p_2\wedge {\rm{d}}q_2}_{={\rm{d}}q_2\wedge{\rm{d}}p_2}\\= {\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+{\rm{d}}q_2\wedge {\rm{d}}p_2)
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nochmal explizit gezeigt. Obwohl man es m.E. im Prinzip auch aus den Lösungen der vorigen Aufgaben hätte schließen können. |
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