| Autor |
Nachricht |
No_Smartphone
Gast
|
 No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 12:04 Titel: Lineare Transformation Rotation |
 |
|
Meine Frage:
Sei  ein Einheitsvektor des  und  die lineare Transformation  ,  .
Berechne \cdot \vec{v} := exp(\phi T) \cdot \vec{v} := \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\phi ^{n}}{n!}T^{n}\cdot \vec{v}) ,
wobei  die n-fache Anwendung von meint und  ist die identische Abbildung.
Meine Ideen:
Ich habe ein paar Verständnisprobleme mit der Notation. Bedeutet die Multiplikation  , dass n-mal auf  angewendet wird? Wäre dann z.B. ) ?
Und wenn ja, wie rechnet man dann in der Summe weiter?
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe! |
|
 |
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 12:10 Titel: |
|
|
Rechne doch erstmal die ersten paar Terme der Summe aus: T^0.v, T^1.v, T^2.v, T^3.v, ...
Vielleicht fällt Dir ja was auf. |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 13:27 Titel: |
|
|
Das hab ich natürlich schon gemacht, aber ich glaube mir entgeht da ein Trick, denn mir fällt nichts besonderes auf.
)
))
und so weiter. Könntet ihr mir bitte weiterhelfen? Danke! |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 14:21 Titel: |
|
|
|
Na, da kann man aber noch einiges vereinfachen... |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 15:13 Titel: |
|
|
|
Das dachte ich mir schon, aber ehrlich gesagt weiß ich nicht so recht, wie. Ich habe es mit der BAC-CAB-Formel versucht, aber so recht klappt das auch nicht. Könntest du mir einen Hinweis geben? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 15:15 Titel: |
|
|
| No_Smartphone hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe es mit der BAC-CAB-Formel versucht, .. |
Das ist richtig. |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 16:28 Titel: |
|
|
Da komme ich auf
=(\vec{n}\vec{v})\vec{n}-(\vec{n}\vec{n})\vec{v}=(\vec{n}\vec{v})\vec{n}-\vec{v}) .
Also ist der neue Vektor 0 in der Komponente des Einheitsvektors, die nicht 0 ist, und  in den anderen beiden Komponenten.
Aber ich sehe nicht wie mir das weiterhilft... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 16:33 Titel: |
|
|
| No_Smartphone hat Folgendes geschrieben: | Da komme ich auf
.
Also ist der neue Vektor 0 in der Komponente des Einheitsvektors, die nicht 0 ist, und in den anderen beiden Komponenten.
Aber ich sehe nicht wie mir das weiterhilft... |
Dann mach doch mal weiter T^3, T^4,... |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 17:05 Titel: |
|
|
|
Wenn man weitermacht, bleibt die eine Komponente immer 0, während die anderen beiden sich tauschen und sich bei einer das Vorzeichen ändert... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 17:21 Titel: |
|
|
| No_Smartphone hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man weitermacht, bleibt die eine Komponente immer 0, |
Mal abgesehen davon, dass das nicht richtig ist, solltest Du Dir die Summe vllt einfach mal aufschrieben. Ein Blick in ein Tafelwerk für Reihen, hilft Dir dann vllt die Summton auszuführen... |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 22:09 Titel: |
|
|
Das verstehe ich nicht, die Komponente, bei der der Einheitsvektor 1 ist, bleibt doch dann immer Null?!
Ich weiß aber nicht, wie ich das allgemein in die Summe schreiben soll, könntest du vielleicht einen kurzen Ansatz dafür geben? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2017 22:16 Titel: Re: Lineare Transformation Rotation |
|
|
Summe:
| No_Smartphone hat Folgendes geschrieben: | | |
Hast Du doch selbst aufgeschrieben. |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 07. Mai 2017 22:49 Titel: |
|
|
|
Klar, das meinte ich nicht. Ich wollte wissen, wie ich mit dem in der Summe umgehe, also wie ich allgemein weiter rechne/vereinfache. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2017 00:22 Titel: |
|
|
Sowie ich es Dir gesagt hab:
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | Rechne doch erstmal die ersten paar Terme der Summe aus: T^0.v, T^1.v, T^2.v, T^3.v, ...
Vielleicht fällt Dir ja was auf. |
Dabei solltest Du ein Muster erkennen. |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 08. Mai 2017 14:06 Titel: |
|
|
Es fällt mir schwer, das mathematisch aufzuschreiben. Ich hatte oben ja schon geschrieben, dass mir auffällt, dass die eine Komponente immer 0 bleibt, während die anderen beiden sich tauschen und eine ihr Vorzeichen ändert. Aber in mathematischer Schreibweise komme ich mit der BAC-CAB-Regel nur bis
=(\vec{n}\vec{v})\vec{n}-\vec{v})
Noch höhere Potenzen ergeben dann noch unübersichtlichere Ergebnisse.
Was kann man noch vereinfachen/wie sieht es mathematisch geschrieben richtig aus?
Danke! |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2017 16:26 Titel: |
|
|
| No_Smartphone hat Folgendes geschrieben: |
Noch höhere Potenzen ergeben dann noch unübersichtlichere Ergebnisse.
|
Also die nächste Potenz sieht nicht besonders kompliziert aus... darum gehts mir. |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 09. Mai 2017 21:52 Titel: |
|
|
Also,
\vec{n}-\vec{v}) = \vec{n} \times (\vec{n}\vec{v})\vec{n} - \vec{n}\times\vec{v} = -\vec{n}\times \vec{v} )
Okay, das ist natürlich dann schon eine Art Muster, ab jetzt ist es ja klar, wie es weitergeht.
Allerdings tue ich mich nach wie vor schwer damit, das irgendwie in die Summe zu bringen und diese dann auszurechnen... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 09. Mai 2017 21:55 Titel: |
|
|
Muster erkannt ist ja schonmal die Halbe Miete. Jetzt schreib, das mal so auf, dass Du von jeder Teilreihe, die da entsteht die ersten paar Terme sieht, und dann schau Dir mal die Reihen einiger Funktionen an.
Tipp: exp ist immer gut und wenn man aus der ex-reihe Reihen mit alternierendem Muster erhält, sollte man sich mal die Euler Formel in Reihenform ansehen... |
|
|
No_Smartphone
Gast
|
| No_Smartphone Verfasst am: 09. Mai 2017 22:31 Titel: |
|
|
Danke für den Tipp! Ich habe das gemacht und dann  bzw. \vec{n}-\vec{v}) ausgeklammert, sodass die  mit den Fakultäten dann die Reihendarstellungen von Sinus und Cosinus ergeben.
Also komme ich auf
sin(\phi)-((\vec{n}\vec{v})\vec{n}-\vec{v})(cos(\phi)-1))
Stimmt das?? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 09. Mai 2017 22:52 Titel: |
|
|
Keine Ahnung.. aber das wäre mein erster Tipp gewesen...  |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
