Fourier Transformation eines kugelsymmetrischen Potenzials

SimonHH · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich versuche gerade die Fourier Transformierte des kugelsymmetrischen Potenzials

zu berechnen. Dazu habe ich folgenden Hinweis: Auf Grund der Kugelsymmetrie des Potenzials kann im Integral das Koordinatensystem so gewählt werden, dass k in z-Richtung zeigt, d.h. k=|k|e_z. Dann lässt sichdie Rechnung in Kugelkoordinaten durchführen.

Meine Ideen:
Ich hab mal folgendermaßen angefangen:

Dann weiß ich wirkich nicht, wie ich das in Kugelkoordinaten auswerten soll, bzw in welchen Grenzen. Außerdem hab ich nicht das Gefühl, dass das so ganz richtig ist...

Hoffe mir kann jemand hier helfen, schonmal danke im Vorraus für eure Antworten und eure Mühe.

MfG

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EDIT schnudl: Latex korrigiert. Bitte keine Zeilenumbrüche im Latex

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Hast du das Integral denn schon in Kugelkoordinaten angeschrieben?

Es steht dann ein Doppelintegral in

und r ...

Welche Grenzen für die beiden Variablen muss man wohl wählen, damit das Volumen den gesamten Raum überstreicht?

SimonHH · Gast

Für das Integral in Kukelkoordinaten müsste sich ergeben:

Das r^2 und sin(theta) kommt aus der Jacobi Determinante in Kugelkoordinaten. Aber muss nicht noch das dphi dazu von 0 bis 2Pi um über den gesamten Raum zu integrieren?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Bei mir ist

Bei deinem Vorfaktor stimmt also eine Kleinigkeit nicht. Ansonsten OK - und was liefert die Integration übder den Winkel?

SimonHH · Gast

Ja, für das

meinten wir glaub ich das gleiche, nur ich hätte es aus Gewohnheit noch als Integral hingeschrieben.
Damit hab ich dann:

Ehrlich gesagt, keine Ahnung wie ich das lösen soll

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Heisenbergs Erbe · Gast

Versuche beim Integrieren, falls Möglich, immer nach einzelnen Abhängigkeiten zu Faktorisieren - das macht die Sache um einiges übersichtlicher und leichter.

z.B. :

Dadurch lassen sich Mehrfachintegrale oft in mehrere einzelne Integrale umschreiben.

siehe obiges Beispiel :

Edit schnudl: Formel korrigiert und Folgebeitrag gelöscht