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Quantenelektrodynamik (Wasserstoffatom)
 
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Quantenpunkt
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Beitrag Quantenpunkt Verfasst am: 17. Nov 2017 09:11    Titel: Quantenelektrodynamik (Wasserstoffatom) Antworten mit Zitat

Hallo ich bin dabei mich in die Quantenelektrodynamik einzuarbeiten, treffe jedoch auf diverse Verständnisschwierigkeiten.

Ausgehend von der Hamiltonoperatordichte der QED werden in der Regel störungstheoretische Berechnungen durchgeführt. Nun frage ich mich aber wie denn eine vollständige Betrachtung des Wasserstoffatoms in der QED aussähe, unabhängig von der praktischen Durchführbarkeit.
Kann man das Proton näherungsweise als ein positiv geladenes Diracspinorfeld beschreiben, um die starke Wechselwirkung aus dem Spiel zu lassen?
Ich stelle mir jetzt einen Zweiteilchen-Fockzustand vor, den ich aus dem Vakkumzustand konstruieren kann und weiß wie ich die Hamiltonoperatordichte mit den Feldoperatoren darstelle.
Was müsste ich nun machen, um zumindest prinzipiell die Eigenenergien zu bekommen?
In Büchern werden meistens nur Streuungen und Teilchenumwandlungen betrachtet und das verstehe ich auch, aber ich verstehe dabei nicht wie ich die QED auf die bekannten Probleme der QM wie Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator ... konsequent anwenden müsste.
Ich hoffe mir kann dabei jemand helfen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Nov 2017 17:07    Titel: Re: Quantenelektrodynamik (Wasserstoffatom) Antworten mit Zitat

Quantenpunkt hat Folgendes geschrieben:
Ausgehend von der Hamiltonoperatordichte der QED werden in der Regel störungstheoretische Berechnungen durchgeführt. Nun frage ich mich aber wie denn eine vollständige Betrachtung des Wasserstoffatoms in der QED aussähe, unabhängig von der praktischen Durchführbarkeit.

Kann man das Proton näherungsweise als ein positiv geladenes Diracspinorfeld beschreiben, um die starke Wechselwirkung aus dem Spiel zu lassen?

Ich stelle mir jetzt einen Zweiteilchen-Fockzustand vor, den ich aus dem Vakuumzustand konstruieren kann und weiß wie ich die Hamiltonoperatordichte mit den Feldoperatoren darstelle.

Das geht nicht ganz in die richtige Richtung.

Wenn du das Protonfeld ebenfalls quantisierst, dann würdest du theoretisch auch Proton-Antiproton-Prozesse mitbeschreiben. Das interessiert dich für das Wasserstoffatom sicher nicht. Du könntest dann die Strahlungskorrekturen mittels heavy-baryon-approximation = Entwicklung in einem kleinen Parameter ~ 1/M mit M = Protonmasse eliminieren. Die nullte Näherung ist dann wieder die klassische Näherung = ein klassischer Proton-Strom ohne Quantenfeld. Das kannst du auch einfacher haben, indem du das Protonfeld von vorneherein rein klassisch betrachtest.

Quantenpunkt hat Folgendes geschrieben:
Was müsste ich nun machen, um zumindest prinzipiell die Eigenenergien zu bekommen?

In Büchern werden meistens nur Streuungen und Teilchenumwandlungen betrachtet und das verstehe ich auch, aber ich verstehe dabei nicht wie ich die QED auf die bekannten Probleme der QM wie Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator ... konsequent anwenden müsste.

Du müsstest dazu mal etwas zur "Lamb-Shift" nachlesen, da wird das vorgerechnet.

Das Konzept ist relativ einfach. Normalerweise quantisierst du das Dirac-Feld wie folgt:




mu(p) steht für das Maß, b(p) für den Vernichtungsoperator, u(p) für den freien Spinor.

Dieser Ansatz ist sinnvoll für näherungsweise freie Felder.

Im Falle des Wasserstoffatoms würdest du das Dirac-Feldes schematisch wie folgt quantisieren



D.h.

1) du ziehst die nullte Näherung = die Lösung der Dirac-Gleichung für das Wasserstoffatom der relativistischen Quantenmechanik explizit heraus
2) du quantisierst nur die Fluktuationen auf dieser klassischen Lösungen
3) du entwickelst nicht mittels ebener Wellen sondern mittels "distorted waves"; diese Spinoren U(p,x) sind die Lösungen für das Wasserstoffatom [das Integral über p enthält auch das diskrete Spektrum, also eine Summe über die gebundenen Lösungen]

D.h. es liegt ein anderes Maß vor, und der Operator b(p) bezieht sich nicht auf ebene Wellen sondern auf die "distorted waves". Du hast hier eine gewisse Freiheit, d.h. du kannst die Basis U(p,x) geeignet wählen, so dass die Störungsreihe für dein Problem möglichst schnell konvergiert.
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