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QED Formeln - Seite 3
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gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 25. Aug 2017 16:53    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.

Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß?

Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ?


Nein, man zählt nichts doppelt. Man geht lediglich davon aus, daß Strahlungskorrekturen, die man mit Hilfe der quantenmechanischen Beschreibung der Dynamik des EM-Feldes berechnen will, lediglich einen keinen Effekt zusätzlich zu dem statischen Coulomb-Potential, durch den das Elektron an das Proton gebunden wird, beisteuern. Wenn das nicht der Fall ist, dann versagt der ganze Ansatz.

Ah, OK, das hatte Tom offenbar mit der Formulierung "als Fluktuationen auf dem Coulomb-Feld" gemeint.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Aug 2017 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.

Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.

Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen...
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.

Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.


Das kann ich auch nicht ganz nachvollziehen. Wenn man nach der Zeitentwicklung irgendwelcher Quantenfelder fragt, dann hat man doch schon eine Quantisierung.

Zitat:

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß?

Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.


Was heißt "insofern ja"? Das Problem, von dem du sprichst ist nichts anderes als die Kopplung der relevanten Freiheitsgrade innerhalb der Bewegungsgleichungen. Diese Kopplung kann man praktisch als Definition von "Wechselwirkung" ansehen. Das ist doch kein störendes Ärgernis, welches in "weiten Teilen der Physik" auftritt; das ist Physik.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 25. Aug 2017 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
gnt hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.

Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.

Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen...

Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden. Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein, und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.

Ich habe aber gerade noch eine andere Frage, die in dem Buch wegen der Einheitenwahl mit nicht deutlich wird. Bei den Anti-/Kommutatoren der Feldoperatoren und Erzeuger und Vernichter gehört ja eigentlich ein hin. Ist das sonst auch noch wo der Fall?
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 25. Aug 2017 17:59    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß?

Nein. Oder insofern ja, als dass das Problem schon auftritt, bevor man zu konkreten Fragestellungen an die Natur kommt.


Was heißt "insofern ja"? Das Problem, von dem du sprichst ist nichts anderes als die Kopplung der relevanten Freiheitsgrade innerhalb der Bewegungsgleichungen. Diese Kopplung kann man praktisch als Definition von "Wechselwirkung" ansehen. Das ist doch kein störendes Ärgernis, welches in "weiten Teilen der Physik" auftritt; das ist Physik.

Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion. Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 18:16    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:

Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden.


Das ist einfach falsch. Was man nicht exakt kennt, ist die Zeitentwicklung des Feldoperators im Heisenberg-Bild. Das heißt aber nicht, daß mit dem Feldoperator zu irgendeinem beliebigen festen Zeitpunkt t oder der Quantisierung etwas nicht stimmt. Übertrage deine Aussage doch einfach mal ins Schrödingerbild. Physikalisch macht das keinen Unterschied, aber die Feldoperatoren sind zu allen Zeiten konstant . Natürlich hat man nun die Probleme mit der Zeitentwicklung des Zustands. Aber das sind dieselben Probleme, die man im Prinzip auch in der nicht-relativistischen QM und im wesentlichen sogar in der klassischen Physik hat. Sobald mehr als zwei Dinge miteinander interagieren, wird es schnell kompliziert.


Zitat:

Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,


Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter? "Teilchen" sind einfach nur irgendwelche Quantenzustände, die ein bestimmtes Transformationsverhalten unter Poincare-Transformationen aufweisen. Es gibt keine "exakten" oder "unexakten" Teilchen. (Was du vielleicht meinst ist, daß sich das Spektrum des Hamiltonoperators, und damit auch die Eigenschaften dieser "Teilchen", drastisch ändern kann, wenn sich die Wechselwirkung ändert. Aber das ist auch eigentlich nicht anders zu erwarten. Ich sehe keinen Grund, da so ein Mysterium draus zu machen.) Selbst Quantenfeldtheorie ohne irgendwelche "Teilchen" ist kein grundsätzliches Problem.

Zitat:

und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.


Was soll die "Symmetrie" zwischen "Erzeugung" und "Vernichtung" sein? Und was hat sie mit der Linearität zu tun? Ich verstehe überhaupt nicht, wovon du hier sprichst.
index_razor



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Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:

Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion.


Nein, das verstehst du m.E. grundlegend falsch. Welche Probleme es auch immer bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien gibt, diese haben absolut nichts damit zu tun, daß in die Definition der Felder irgendwelche Näherungen eingehen müssen.

Zitat:

Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung.


Da irrst du dich. Die Situation ist analog. Man muß bei der Konstruktion der Theorie "keine Näherung einsetzen". Wenn man mal von mathematischen Subtilitäten absieht (die übrigens auch nicht unbedingt speziell mit der QFT zu tun haben), ist die Theorie exakt definiert. Was Probleme bereitet, ist, eine exakte Lösung für die Theorie zu finden.


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 25. Aug 2017 18:31, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



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Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 18:29    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Übertrage deine Aussage doch einfach mal ins Schrödingerbild.


Oder bleibe im Heisenbergbild und übertrage sie in die nicht-relativistische QM mit einem ganz schrecklich komplizierten Hamilton-Operator, sagen wir dem eines Blei-Atoms. Versuche mal die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen in diesem Fall exakt zu lösen. Das ist im wesentlichen dasselbe Problem.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 25. Aug 2017 19:19    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
gnt hat Folgendes geschrieben:

Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden.


Das ist einfach falsch. Was man nicht exakt kennt, ist die Zeitentwicklung des Feldoperators im Heisenberg-Bild. Das heißt aber nicht, daß mit dem Feldoperator zu irgendeinem beliebigen festen Zeitpunkt t oder der Quantisierung etwas nicht stimmt.

Hmm. OK. Ich kann das zwar (noch) nicht nachvollziehen, aber ich will es Dir einfach glauben.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,


Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter?

Ich verstehe darunter, dass keine Näherungen verwendet werden.
Mit Näherungen habe ich aber grundsätzlich natürlich kein Problem. Mein Problem besteht darin - das hast Du oben wohl ausgeräumt -, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Feldoperator selbst eine Näherung ist. Genauer: Ich war (und bin es zugegebenermassen innerlich irgendwie noch immer) der Meinung, dass in den Feldoperatoren die nur für freie Felder gelten, und diese Faktoren für eine allgemeine Lösung so kompliziert sind, dass sie nicht gefunden werden können, also wählt man eine Näherung.
Aber gut, Du hast das oben schon beantwortet.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
gnt hat Folgendes geschrieben:

Kann sein, dass ich das noch falsch verstehe: Die QFTen sind doch sowas wie ein Bauplan für einzelne Theorien wie die QED. Wenn man nun die QED konstruiert, dann gehört es doch noch zu dieser Konstruktion, Feldoperatoren zu ermitteln. Und hier treten schon zwangsläufig Näherungen auf, also noch im Prozess der Theorienkonstruktion.


Nein, das verstehst du m.E. grundlegend falsch. Welche Probleme es auch immer bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien gibt, diese haben absolut nichts damit zu tun, daß in die Definition der Felder irgendwelche Näherungen eingehen müssen.

Zitat:

Ich halte es für eine andere Qualität, eine Näherung in der Konstruktion einer Theorie einsetzen zu müssen, als wie in Deinem Beispiel mit dem Pendel - die klassische Mechanik ist näherungsfrei formulierbar, aber ein bestimmtest Problem erfordert die Näherung.


Da irrst du dich. Die Situation ist analog. Man muß bei der Konstruktion der Theorie "keine Näherung einsetzen". Wenn man mal von mathematischen Subtilitäten absieht (die übrigens auch nicht unbedingt speziell mit der QFT zu tun haben), ist die Theorie exakt definiert. Was Probleme bereitet, ist, eine exakte Lösung für die Theorie zu finden.

Danke!
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Aug 2017 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
jh8979 hat Folgendes geschrieben:
gnt hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.

Dass dieses Problem in weiten Teilen der Physik besteht, ist mir schon bewusst. Was ich aber nicht wusste, und mir missfällt oder mich stört, ist, dass dadurch nicht einmal die Quantisierung exakt möglich ist. Das muss ich wirklich erst einmal verdauen.

Ich weiss nicht, wie Du das meinst. Was soll denn eine "exakt mögliche Quantisierung" sein? Eine Quantisierung ist möglich, aber man kann halt die meisten Probleme nur naeherungsweise Lösen...

Naja, ich habe es so verstanden, dass keine allgemeingültige Lösung für z.B. , und A gefunden werden kann. Damit ist, auch wenn man für die Erzeuger und Vernichter durch Anti-/Kommutatoren die Quantisierung exakt definieren kann, dennoch kein exakter Feldoperator vorhanden. Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein, und andererseits (hier bin ich unsicher - möglicherweise trifft das nicht zu, wenn die Formeln linear sind) könnte in einem allgemeinen Fall evtl. sogar die Symmetrie zwischen Erzeugung und Vernichtung verloren gehen.

Nein. Die Theorie ist exakt: eine quantisieren Feldtheorie. Nur können damit die meisten Probleme halt nicht exakt gelöst werden, sondern nur naeherungsweise. Das ist nichts anderes als in der nicht-relativitsichen QM. Die Theorie, z.B. mit Wellenfunktion und Schroedinger-Gleichung, ist wohl definiert. Einige Probleme lassen sich exakt lösen, z.B. der Harmonische Oszillator, andere nicht, z.B. der anharmonische Oszillator. Das verhält sich in der QFT nicht anders.

Ich schlage aber immer noch vor, dass Du diese Theorie erstmal ordentlich lernst, zumindest wie man damit rechnet. Vorher wirst Du es nicht verstehen können.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 22:37    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

Und das bedeutet, dass man egal wie man es dreht und wendet, man nur eine näherungsweise genau quantisierte Theorie geschaffen hat. Man kann demnach einerseits niemals ein Teilchen erzeugen oder vernichten, wie es nötig wäre, um vollkommen genau zu sein,


Was hast du nur immer mit deiner exakten Teilchenerzeugung? Was verstehst du darunter?

Ich verstehe darunter, dass keine Näherungen verwendet werden.


Selbst wenn man zur Konstruktion der Einteilchenzustände des kompletten Hamiltonians Näherungen verwendet, hat das noch lange nichts mit einer "ungenauen Quantisierung" zu tun. Das scheint mir einfach ein sinnloses Konzept zu sein.

Zitat:

Mit Näherungen habe ich aber grundsätzlich natürlich kein Problem. Mein Problem besteht darin - das hast Du oben wohl ausgeräumt -, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Feldoperator selbst eine Näherung ist.


Nicht der Feldoperator, sondern die Zeitentwicklung der Theorie ist nur näherungsweise handhabbar. Diese wird irgendwie zwischen Zuständen und Feldern aufgeteilt. Eine spezifische Aufteilung nennt man in der Quantenmechanik "Bild". Wenn in zur Zeit t die Phase vorkommt, nennt man das "Wechselwirkungsbild" oder "Dirac-Bild". Das ist an sich noch keine Näherung, sondern bedeutet nur, daß die ganze Komplikation der Zeitentwicklung auf den Zuständen lastet, anstatt auf den Feldern.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Aug 2017 22:54    Titel: Antworten mit Zitat

@gnt:

Die Quantisierung ist dann exakt, wenn ich den Feldoperator phi(x) und den konjugierten Impuls pi(x) mit den korrekten kanonischen Vertauschungsrelationen sowie die notwendigen Observablen wie insbs. den Hamiltonoperator hingeschrieben habe; das ist letztlich trivial (*)

Die Darstellung mittels Erzeugern und Vernichtern ist eine mathematisch exakte Umformulierung für phi(x) und pi(x)

In



ist zu jeder beliebigen Orthonormalbasis u(x) die Definition entsprechender A bzgl. genau dieser Orthonormalbasis zulässig (**) Die Wahl einer bestimmten Basis ist lediglich deswegen sinnvoll, da sich die Rechnungen vereinfachen und/oder die Störungsreihe schneller konvergiert.

Zwei zusätzliche Schwierigkeiten, die wir jedoch auf später verschieben sollten:
(*) die Observablen sind ggf. nicht wohldefiniert und müssen regularisiert werden
(**) verschiedene Quantisierungen bzgl. unterschiedlicher Orthonormalbasen sind möglicherweise nicht unitär äquivalent

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 26. Aug 2017 10:54    Titel: Antworten mit Zitat

Gut, Danke Euch!
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 28. Aug 2017 14:21    Titel: Antworten mit Zitat

Inzwischen habe ich die Weyl-Darstellung genauer angesehen. Der Vorteil gegenüber der Dirac-Darstellung ist vor allem bei verschwindender Masse offensichtlich, aber gibt es auch solche Vorteile der Dirac-Darstellung?
Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst?
Könntet Ihr mir das bitte erklären?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Aug 2017 14:26    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:

Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst?
Könntet Ihr mir das bitte erklären?

Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung wovon Du hier sprichst... Ich würde mir aber im Moment noch keine so grossen Gedanken über Weil-Fermionen machen, sondern erstmal das ganze mit Dirac-Fermionen lernen. Eine Baustelle zur Zeit.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 28. Aug 2017 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

P&S bauen aber das ganze Buch auf der Weyl-Darstellung der gamma-Matrizen auf. - Steht unter Formel (3.25). Oder verstehe ich Dich falsch?
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 28. Aug 2017 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
Was mir aber besonders aufgefallen ist, als ich einen Blick auf den Dirac-Strom geworfen habe: In der Weyl-Darstellung ergibt sich diese Quelle in der Bewegungsgleichung des Viererpotentials einzig aus den im Dirac-Spinor kodierten 3D-Vektoren, in der Dirac-Darstellung spielt hingegen auch die Phase der beiden Spinorkomponenten eine Rolle. Mir ist nicht klar, welche Konsequenz dieser Unterschied für A hat. Ist das auch für A nur eine Symmetrietransformation? - Nur ist mir dann nicht klar, wie die Definition von A in Abhängigkeit von E und B für die beiden Darstellungen identisch sein kann, oder wird die Eichung irgendwie angepasst?

Ich habe gerade gemerkt, dass diese Phasenabhängigkeit eine Phasendifferenz ist, und diese immer gleich pi/2 ist, und damit heraus fällt. War also ein Irrtum! Hammer
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Aug 2017 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
P&S bauen aber das ganze Buch auf der Weyl-Darstellung der gamma-Matrizen auf. - Steht unter Formel (3.25). Oder verstehe ich Dich falsch?

1. Weyl-Fermionen sind nicht gleich Weyl-Darstellung der Gamma-Matrizen.
2. Welche Darstellung man für die Gamma-Matrizen nimmt ist egal, da man die explizite Form fast nie benutzen muss. Nur ab und zu eignen sich bestimmte Darstellungen bei bestimmten Problemen, z.B. Weyl-Darstellung wenn m=0 um die Entkopplung zu sehen => ein Dirac-Fermion = 2 Weyl-Fermionen; andere eignen sich z.B. um sich den nicht-relativistischen Grenzfall anzusehen, etc.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 31. Aug 2017 09:53    Titel: Antworten mit Zitat

Zustimmung.

Man kann Darstellungen der gamma-Matrizen ineinander überführen gemäß




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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 31. Aug 2017 10:14    Titel: Antworten mit Zitat

gnt hat Folgendes geschrieben:
gibt es auch Vorteile der Dirac-Darstellung?

Ja.

Der 4er-Spinor wird zunächst geschrieben als



In der Dirac-Notation und unter Annahme der nicht-relativistischen Näherung ist der untere 2er-Spinor "klein", d.h. es gilt



Setzt man dies in die Gleichung für den oberen 2er-Spinor ein, so folgt die nicht-relativistische Pauli-Gleichung.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 01. Sep 2017 12:58    Titel: Antworten mit Zitat

Danke Euch!

Jetzt habe ich die Kapitel 2 bis 5 in P&S durchgearbeitet bzw. durchgelesen, und ein etwas besseres Verständnis entwickeln können.

Leider ist mir aber noch immer nicht klar, wie ich mir Wechselwirkungen vorstellen muss: Es ist zwar offensichtlich, dass Dirac- und Photonfeld sich gegenseitig beeinflussen, aber wie ist es beispielsweise möglich, dass zwei Elektronen a und b nur auf jeweils das andere kräftemässig wirken? Bestimmt ist meine Vorstellung falsch, aber wenn a A anregt, dann wirkt doch A nicht nur auf b, sondern auch auf a. Wenn das eine Anregung=ein Photon ist, ist das ja richtig, aber wenn es nur um Kraftübertragung geht... Was sehe ich hier falsch?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Sep 2017 14:03    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist eine schwierige Frage.

Zunächst müssen wir dazu eine Unterscheidung treffen: die Feldoperatoren sind nicht Träger von Eigenschaften (wie Energie, Impuls, Spin, Ladung, ...), sie sind lediglich formale Objekte. Träger von Eigenschaften sind die Zustandsvektoren.

D.h. dass in der QFT die Feldgleichungen in Gleichungen für Feldoperatoren überführt werden, in der QED die Dirac-Gleichung mit Kopplungsterm sowie die Maxwell-Gleichungen ebenfalls mit Kopplungsterm. Die Form dieser Gleichungen wird - anders als in der klassischen Feldtheorie - nicht davon beeinflusst, welche spezielle Situation wir betrachten. Die Gleichungen sehen immer identisch aus, egal ob wir von einem freuen Elektron sprechen, von Laserlicht, vom Positronium oder der Comptonstreuung.

Die Information über die spezielle Situation - den Zustand eines Systems - ist ausschließlich im Zustandsvektor kodiert. In der Streutheorie betrachtet man nun meist Zustände freier Teilchen, d.h. z.B. einen Zustandsvektor, der Impuls und Spin eines Elektrons sowie Impuls und Polarisation eines Photons kodiert. Eine Wechselwirkung kann man so auffassen, dass sich dieser Zustand unter Zeitentwicklung nicht-trivial ändert (d.h. nicht nur einen trivialen Phasenfaktor exp[-iEt] erhält). Diese Wechselwirkung wird nun genau so wie in der normalen Quantenmechanik durch den Zeitentwicklungsoperator U bzw. den Hamiltonoperator H vermittelt, d.h.



Wenn keine Wechselwirkung vorliegt, dann gilt



Wenn dagegen eine Wechselwirkung vorliegt, dann ist notwendigerweise



Im zweiten Term ... sind alle die Zustände enthalten, die nicht einer freien Propagation des ursprünglichen Zustandes entsprechen, d.h. z.B. anderer Impuls und Spin des Elektrons sowie anderer Impuls und Polarisation des Photons - oder sogar andere Teilchen wie zusätzliche Elektron-Photon-Paare.

Ich würde dir empfehlen, zunächst mal ein Kapitel über formale Streutheorie sowie den Zusammenhang zwischen S- und T- Matrix mit dem Zeitentwicklungsoperator U in einem Buch über nicht-relativistische Quantenmechanik nachzulesen.

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gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 01. Sep 2017 14:33    Titel: Antworten mit Zitat

OK. Vielen Dank!
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Sep 2017 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Eine Wechselwirkung kann man so auffassen, dass sich dieser Zustand unter Zeitentwicklung nicht-trivial ändert (d.h. nicht nur einen trivialen Phasenfaktor exp[-iEt] erhält). Diese Wechselwirkung wird nun genau so wie in der normalen Quantenmechanik durch den Zeitentwicklungsoperator U bzw. den Hamiltonoperator H vermittelt, d.h.



Wenn keine Wechselwirkung vorliegt, dann gilt



Wenn dagegen eine Wechselwirkung vorliegt, dann ist notwendigerweise




Ich denke du verwechselst freie Zustände mit stabilen Zuständen.

Ich betrachte der Einfachheit halber eine Theorie mit einem einzigen skalaren Teilchen ohne innere Quantenzahlen. Freie Zustände in dieser Theorie erfüllen (im Schrödingerbild) die Gleichung



mit



Das ist unabhängig davon, ob es sich bei ihnen auch um Eigenzustände von handelt. Es muß also nicht zwansgläufig



gelten. Ich denke, es ist sogar typisch, daß das gar nicht gelten kann, da hier ein rein kontinuierliches Spektrum hat (alle positiven Zahlen größer oder gleich m.)

Eine Wechselwirkung beschreibt man hingegen durch die Schrödingergleichung



wobei V ein Raumintegral über ein Polynom von Feldoperatoren ist, hier also z.B.



Nun kann es, abhängig vom Kopplungsparameter und was weiß ich..., sein, daß die Wechselwirkung V stabile Bindungszustände aus mehreren -Teilchen erlaubt. Diese wären dann Eigenzustände des kompletten Hamiltonians und erfüllten folglich deine zweite Gleichung



(Für Zweiteilchen-Bindungszustände typischerweise mit E < 2m). Wegen der Anwesenheit von V in H würde man sie aber nicht unbedingt als "frei" bezeichnen. (Wobei es wahrscheinlich vom Kontext abhängt, ob man z.B. noch andere Wechselwirkungen neben dem -Term betrachten möchte, die auch auf Bindungszustände wirken. So könnte man z.B. von einem "elektromagnetisch freien" Proton sprechen, auch wenn ein Proton ein QCD-Bindungszustand und damit nicht "QCD-frei" ist. Mein Punkt ist, daß der Unterschied zwischen "frei" und "nicht frei" mit der Zerlegung zu tun hat und m.E. nichts mit der Energieunschärfe von einzelnen Zuständen. )
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Sep 2017 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, ich meinte schon freie bzw. Fockzustände der elementaren Felder. Ich habe die Zeitentwicklung evtl. etwas seltsam geschrieben.

In der skalaren QED wäre ein 2-Teilchen Fockzustand mit zwei Elektronen mit Impulsen p, q von der Form



Die Zeitentwicklung gemäß der freien Theorie entspräche der mittels des von dir o.g. freien Hamiltonoperator. Dabei würde gelten



Die Zeitentwicklung der freien Theorie ohne Wechselwirkung erhält demnach die Struktur des zu Beginn vorliegenden Zustandes.

Tatsächlich liegt jedoch keine freie Theorie vor, sondern wir haben eine wechselwirkende Theorie, in der der Hamiltonian Terme mit drei oder mehr Erzeugern und/oder Vernichtern enthält. Schreiben wir allgemein



wobei der zweite Term alle weiteren Terme umfasst.

Damit ist



Der letzte Term, der direkt auf das Vakuum wirkt, sollte sich bei entsprechender Normalordnung auf die Eins reduzieren, d.h. es bleibt



Der Zustand zum Zeitpunkt t wird also Teilchen enthalten, die durch



erzeugt werden, um das sind nicht nur die beiden ursprünglich vorhanden Teilchen mit Impulsen p, q. D.h. die Wechselwirkung ändert die Impulse der vorhanden Teilchen (Streuung) zu p', q' und führt i.A. außerdem zur Erzeugung weiterer Teilchen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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