Feynman QED - geradlinige Ausbreitung von Licht

Lorz · Anmeldungsdatum: 18.09.2014 Beiträge: 74

Feynman erklärt/beweist mittels seiner quantenmechanischen Pfeile allerhand Gesetze der Optik. Etwa das Reflexionsgesetz, indem er veranschaulicht, dass von allen Wegen, die das Licht nehmen kann, derjenige mit der kürzesten Wegdauer die günstigste Phasenbeziehung zu seinen Nachbarwegen hat. Während sich die Phasen längerer Wege gegenseitig "weginterferieren".

Auch die geradlinige Ausbreitung von Licht soll mit dieser "Nachbarschaftsbegünstigung" plausibel gemacht werden.
Ich zeichne hier ein ähnliches Bild wie in Feynmans Buch (von S. 67 bzw. Abb. 32)

Ich gehe da jedoch nicht so ganz mit. Denn es ist ja so: Es gibt nur EINEN geradlinigen Weg von S zu P. Nicht mehr geradlinige Wege, aber "fast geradlinige" Wege gibt es zwar (überabzählbar) unendlich viele, jedoch erscheint die Menge aller nicht geradlinigen Wegen doch einfach "mächtiger*" als die Menge aller geradlinigen und fast geradlinigen. Wenn wir nun für JEDE Wegmöglichkeit eine gewisse Wahrscheinlichkeit vergeben, so haben wir unendlich viele Pfeile...(dies ist ja an sich schon ein Problem, die Einheitslänge ist also etwas "Infitesimales"). Und beliebig wenig entfallen davon auf den geradlinigen und die "fast geradlinigen". Sie stellen demnach eine zu vernachlässigende Minderheit. Folgerung: Das Licht mag sonst wie von S nach P kommen, aber sicher nicht geradlinig...

Vermutung: Man darf die Wahrscheinlichkeit von 100% nicht auf die alle Wege gleich verteilen!
Aber: dazu hat Feynman zumindest in diesem Kapitel nichts einschränkendes geschrieben.

*[zumindest kann man sagen, dass die Dichte/Bedeckung im Raum von den nicht geradlinigen Wegen größer ist]

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Guter Punkt.

Ich kenne dieses Buch nicht, aber wenn er das verschweigt, ist das tatsächlich ein wesentlicher offener Punkt.

Bei der exakten Formulierung gibt es ein mathematisches Problem: entweder argumentiert man mittels Interferenzen und ohne Wahrscheinlichkeiten, dann ist deine Frage nur durch explizite Berechnung zu beantworten; oder
man argumentiert ohne Interferenzen und dafür mit Wahrscheinlichkeiten, dann ist deine Frage einfach zu beantworten, jedoch fallen sämtliche Interferenzeffekte (vermeintlich) durch's Raster. Man muss erklären, dass beide Argumentationslinien mathematisch äquivalent sind, auch wenn man das anschaulich nicht versteht.

Zur Erklärung ohne Interferenzen und dafür mit Wahrscheinlichkeiten:

Wir betrachten zunächst einen Pfad C von a nach b. Diesem ordnen wir eine sogenannte Wirkung S[C] zu; in einfachen Fällen ist das gerade

Diese Größe berechnen man für alle denkbaren Pfade, die für feste Zeiten die festen Orte a und b verbinden.

Man findet übrigens die Euler-Lagrange-Gleichungen ausgehend von S bzw. der Lagrange-Funktion L; diese sind äquivalent zu den Newtonschen Bewegungsgleichungen. Der klassische Pfad C°, der diese Gleichungen löst, ist gerade derjenige, für den S[C°] minimal wird. D.h. alle anderen Pfade haben eine größere Wirkung.

Nun betrachtet man die unanschauliche Größe

das sogenannte Pfadintegral; man integriert über die Beiträge aller mathematisch möglichen Pfade.

Dividiert man diese Gleichung durch K, so folgt

Der Faktor

ist soetwas wie die Wahrscheinlichkeit des Pfades C, mit der dieser beiträgt.

Für typische Berechnungen von K sowie weiterer Größen gilt

wobei uns die genaue Form der k_n hier nicht interessiert.

Der dominierende Term stammt ausschließlich vom klassischen Pfad C°; der Term erster Ordnung in h-quer verschwindet, da C° ein Extremum von S[C] darstellt; alle weiteren Terme sind mit noch höheren Ordnungen in h-quer unterdrückt. D.h. man findet eine Approximation, die sukzessive Quanteneffekte berücksichtigt. Die nullte Näherung liefert tatsächlich genau den klassischen Pfad.

Dies entspricht genau Feynman's Begründung, die Beiträge nicht-klassische Pfade würden sich fast vollständig gegenseitig weginterferieren; ich sehe dafür jedoch keine wirklich anschaulichere Begründung. Meine Skizze entspricht dem sogenannten Wiener-Maß, das zwar mathematisch sinnvoll definiert ist und auf den dominierenden Beitrag des klassischen Pfades führt, jedoch leider nur indirekt mit der Argumentation des "Weginterferierens" zusammenhängt.

Tatsache ist, die Wirkung S[C°] des klassischen Pfades C° ist minimal; so ist der klassische Pfad als Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen d.h. des Prinzips der kleinsten Wirkung gerade definiert. Aufgrund der minimalen Wirkung S[C°] ist die e-Funktion für diesen Pfad maximal. Dass auch andere Pfade beitragen, war den Herren im 19. Jh. noch nicht bewusst.

Du kannst die Beiträge derartiger Pfade in Spezialfällen ausrechnen.

Betrachte

1) das freie Teilchen

mit der klassischen Lösung

Nicht-klassische Pfade wären z.B.

2) den harmonischen Oszillator

mit der klassischen Lösung

Nicht-klassische Pfade wären z.B.

mit zeitabhängigen Funktionen v bzw. a und phi, wobei jedoch Periodizität vorliegen muss, andernfalls wäre die Bedingung, dass Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden, verletzt.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ja, genau.

In einer Darstellung argumentiert man mittels Interferenzen, im anderen mittels Wahrscheinlichkeiten. Ersteres ist bereits mathematisch aufwändiger (evtl. nicht mal exakt beweisbar, ist weiß es nicht), letzteres führt direkt auf einigermaßen verständliche Gewichte für einzelne Pfade und ist mathematisch sowie auch numerisch gut zugänglich.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

Aye,

meines Wissens nach ist es bisher nicht gelungen den ersten Zugang mathematisch rigoros zu konstruieren.

Aber auch Ersteres als analytische Fortsetzung aus Zweiterem zu konstruieren ist meines Wissens nach noch nicht gelungen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Die analytische Fortsetzung des Ergebnisses – einer Amplitude als Funktion einer oder mehrerer komplexer Zeiten – sollte für sich betrachtet funktionieren, unabhängig davon, woher diese Amplitude stammt.

Allerdings wäre natürlich zu zeigen, dass für jedes beliebige (mathematisch irgendwie zulässige) L bzw. H die analytische Fortsetzung von imaginären zu reellen Zeiten tatsächlich die Lösung der jeweiligen Schrödingergleichung liefert; dieser Beweis steht m.W.n. aus.