Operatoren

neueFragezwecksVerwirrung · Anmeldungsdatum: 18.06.2017 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem zu verstehen, wie eigentlich Operatoren in der Quantenmechanik im Hilbertraum (Ket) definiert werden und wie sie mit der Wellenfunktion zusammenhängen (auf Wellenfunktionen wirken).

Beginnt man mit dem Ortsoperator, zunächst die Frage, wo wird der Operator eigentlich definiert, also wird definiert der Operator wirkt auf eine Wellenfunktion wie folgt:

oder wird die Wirkung auf einen Ket definiert. Wenn ja, wie ?

Kommt man von der Darstellung der Wellenfunktion dann so auf den zugehörigen Ket:

und wie wirkt der Ortsoperator eigentlich auf einen Ket ganz allgemein.

Dann noch zu den Eigenwerten und Eigenvektoren wenn der Operator auf den Ket wirkt, hier findet man:

(grosses X=Ortsoperator, x' Eigenwert)

erstens verstehe ich nicht was das grosse X in der Darstellung eigentlich macht, zweitens, welche Kets sind eigentlich die möglichen Eigenkets zu dem
Operator.

Das war nun noch alles eindimensional, für 3D-Fall frag ich später noch nach.

Vielen Dank für eure Hilfe und Antworten, Grüsse

Meine Ideen:
lass mich überraschen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18015

Muss es gerade der Ortsoperator sein? Der hat die unangenehme Eigenschaft, dass er im eigtl. Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen keine Eigenfunktionen hat; seine verallgemeinerten Eigenfunktionen sind die Delta-Distributionen, die im Abschluss des HilbertraumS der quadratintegrablen Funktionen liegen.

Dann ganz allgemein: die Kets sind eine abstrakte Notation für eine basisfreie Formulierung. Wellenfunktionen im Ort oder Impuls sind spezielle Darstellungen, nämlich Projektionen der Kets auf die entsprechenden verallgemeinerten Eigenfunktionen.

Mit was möchtest du beginnen? Mit der basisfreien Formulierung? dann am besten mit beschränkten Operatoren, dann reduziert sich alles auf lineare Algebra. Oder mit Orts- und Impulsoperator? dann würde ich mit Wellenfunktionen starten, da sieht man die o.g. Probleme bzgl. der Eigenfunktionen, Quadratintegrabilität usw. explizit.

Physicshobbyreader · Anmeldungsdatum: 25.03.2017 Beiträge: 9

Hallo, danke für die Antwort, was ein Ket ist, habe ich mir erklären lassen und so hoffe ich ganz gut verstanden. Zusammengefasst, man hat einen Hilbertraum, und dieser hat bestimmte verschiedene Basisvektoren (z.B.

, wobei das r die Eigenvektoren zum Orts-, das p zum Impulsoperator sind). Die Wellenfunktion in einer bestimmten Dastellung ist dann einfach die Wichtung, mit der die Basisvektoren gewichtet werden, also ein Ket n (mit Wellenfunktion in Ortsdarstellung, geht auch mit Wellenfunktion in Impulsdarstellung, gibt den gleichen Ket) wird dann so dargestellt:

Phi=Wellenfunktion

Falls ich hier falsch liege oder noch etwas beachten sollte, danke für Hinweis.

Hier wäre es vielleicht noch die Frage, wie man die Wellenfunktionen in Impuls- und Ortsdarstellung ineinander umrechnet, das eventuell später.

Das Problem was ich habe, ist, ganz allgemein, wenn man einen Operator definiert, der auf eine Wellenfunktion wirkt, wie wirkt der Operator dann auf einen Ket und umgekehrt. Es muss nicht gleich der Ortsoperator sein, kann man hier ganz allgemein etwas dazu sagen ?

Beim Ortsoperator (wenn er auf die Wellenfunktion wirkt), ja, hier muss für eine
Funktion gelten, x*f(x)=a*f(x), a=Konstante, hier würde mir auch keine Funktion einfallen die das erfüllt, ausser eventuell, wie du geschrieben hast, etwas mit der Delta-Funktion,

viele Grüsse

viele Grüsse und Danke für weitere Antworten

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18015

Deine o.g. Kets |x> und |p> sind nicht quadratintegrabel und daher gerade keine Basis des zu betrachtenden Hilbertraumes.

In der Quantenmechanik ist der physikalische Hilbertraum separabel und hat daher abzählbare, orthonormierte und vollständige Hilbertraumbasen

und erlaubt eine Darstellung normierbarer Zustände

gemäß

Dabei sind die Basisvektoren selbst Elemente dieses Hilbertraumes.

Dies gilt für |x> und |p> nicht; es handelt sich um verallgemeinerte, nicht-abzählbare und nicht-normierbare Basen, die nicht selbst im physikalischen Hilbertraum liegen. Diese sind zwar formal wichtig, physikalisch jedoch Idealisierungen. Physiker sind häufig schlampig in der Wortwahl - und oft stört das auch nicht - aber evtl. kannst du ja gleich zu Beginn mit präzisen Definitionen starten.

Die Umrechnung zwischen verschiedenen Hilbertraumbasen erfolgt immer mittels Einschieben der Eins. Betrachte zwei beliebige Basen |n> und |a> wie oben mit

Dann gelten die o.g. Gleichungen für beide |n> und |a>.

Die Umrechnung bei gegebener n- in die gesuchte a-Darstellung lautet dann

wobei das Skalarprodukt <a|n> eine Basistransformation definiert.

Zwei beliebige Hilbertbasen |n> und |a> sind immer durch eine unitäre Transformation U verknüpft, d.h.

d.h. für alle Basisvektoren |n>, |a>

Für die Matrixelemente von U gilt

d.h. die Matrixelemente von U sind gerade durch das o.g. Skalaprodukt gegeben.

Ein beliebiger Operator F wirke zunächst auf einen einen Ket

Wenn F selbstadjungiert ist, dann existiert ein vollständiger und orthonormierter Satz von Eigenzuständen |f> mit Eigenwerten f

sowie gemäß des Spektralsatzes die Spektraldarstellung mittels der Basis |f>

Dies kann man nutzen, um die Wirkung von F in der f-Darstellung zu berechnen:

Die Komponente von

in der f-Darstellung

folgt natürlich durch Projektion

D.h. ein selbstadjunierter Operator F wirkt auf einen Zustand psi, indem man die Komponenten psi_f bzgl. f-Darstellung mit f multipliziert. Eine ähnliche Überlegung gilt für unitäre Operatoren.

So, das solltest du mal verdauen. Dann kannst du Summen durch Integrale ersetzen und x und p betrachten.

Als Ausblick die konkrete Anwendung auf den letzten Satz: der Ortsoperator X wirkt auf einen Zustand psi, indem man die Komponenten psi(x) - d.h. die Wellenfunktionen in Ortsdarstellung, die durch Projektion des Zustandes auf <x| resultieren - mit der Zahl x multipliziert. Die x entsprechen den Eigenwerten von X bzgl. der verallgemeinerten Eigenzuständen |x>.

Physicshobbyreader · Anmeldungsdatum: 25.03.2017 Beiträge: 9

Danke für die Antwort,

so, das musste ich wirklich erst mal verdauen.
Wie man den Basiswechsel macht, das geht nun schon ganz gut.
Noch mal in aller Ruhe ansehen.

Wenn ich dich unten richtig verstehe, gilt die Argumentation für jeden selbstadjungierten Operator egal wie der aussieht (schwer vorstellbar, aber
so muss es wohl sein), d.h. jeder selbstadjungierte Opertator multipliziert die Koeffizienten Phi_f mit den Eigenwerten f. So kommt man dann von der
einen in die andere Darstellung und das immer bei selbstadjungierten Operatoren.

Dann hier die Frage, bilden die Eigenvektoren eines selbstadjunglierten Operators, zumindest wenn sie Element des Hilbertraums sind,
immer eine Basis, sollte so sein, oder ?

Hier tritt wieder das komische Problem mit den Eigenwerten auf. Die Eigenwerte
sind ja prinzipiell nicht in einer bestimmten Ordnung (Reihenfolge), sollte unten
aber egal sein, in der Summe den zugehörigen Eigenwert zum Eigenvektor
einsetzten, passt.

Wo ich immer noch Probleme habe ist, wie gibt man denn die Definition
eines Operators (erst mal selbstadjungiert) an, wenn dieser auf einen Ket wirkt.
Wie schreibt man das (z.B. beim Ortsoperator, oder erst mal einfacher) ?

Hier sollte es zwei Möglichkeiten geben, einmal allgemein und dann noch
die Matrixdarstellung eines Operators. An der Stelle bin ich auch noch nicht ganz klar, was man unter der Matrixdarstellung des Kets versteht. Als Integral so wie
bisher mit z.B. den (nicht) Basisvektroren r und p weiss ich was ich unter dem Ket zu verstehen habe oder auch wie unten Phi=sum(Phi_n*n), aber wie erfolgt die Zusammenfassung zur Matrix, hier wird gesagt, das sei unabhängig vom Ort.

Grüsse und Danke für Antworten

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18015

Physicshobbyreader · Anmeldungsdatum: 25.03.2017 Beiträge: 9

Hi, danke für die Antworten,

nun sind wir ja schon ein kleines Stück weiter.

An der einen Stelle habe ich mich schlecht ausgedrückt, mit so kommt man von der einen in die andere Darstellung meinte ich, wenn wir die f-Darstellung haben und der Operator auf einen Ket wirkt, dann weiss man dann wie der Operator auf die Vorfaktoren wirkt. Also dann auf die Wellenfunktion, wenn wir den Ket z.B. durch

ausdrücken.

Was ich unten noch meinte, wie der Operator definiert ist.
Ich finde nur in einem Skript eine Definition dessen, was man als Ortsoperator versteht, wenn dieser auf einen Ket wirkt. Diese heisst:

(grosses X links Ortsoperator)

Das ist für mich eine genaue Definition eines Operators, hier weiss man wie der Operator auf einen Ket wirkt. Eigentlich ist das ja nichts anderes, als das was du unten schreibst, der Spektralsatz, also diese spezielle Darstellung des Operators.
Diese Darstellung würde mir reichen um zu verstehen, wie der Operator definiert ist (in dem Fall über die Eigenwerte). Das passt dann auch mit dem Spektralsatz unten zur Wirkung auf die Wellenfunktion.

Was ich noch nicht verstehe, wie geht man das Eigenwertproblem an,
also du schreibst,

, bevor man hier mit irgendetwas beginnen kann, muss man hier nicht erst einmal das grosse F defnieren, dann das Eigenwertproblem lösen und erst dann erhält man mit den
Eigenwerten die Spektraldarstellung. Die Frage ist, wie definiert man dieses grosse F, insbesondere natürlich bei unserem Ortsoperator, das wäre ja der Ansatz für alles weitere. Mag sein, dass das einfacher geht oder über allgemeine Aussagen über selbstadjungierte Operatoren und ihre Eigenwerte. Man könnte natürlich auch die Spektraldarstellung annehmen und den Operator über diese Darstellung definieren, um dann zu Verstehen wie Eigenvektoren aussehen, müsste man dann aber auch wieder das Eigenwertproblem lösen.

Matrixdarstellung Operator passt. Mit Matrixdarstellung für den Ket meinte ich das was in vielen Büchern steht, hier steht, wenn man die Basisvektoren

hat, wird der Ket als Spaltenvektor

dargestellt. Die Matrixelemente wären dann falls ich nichts falsch mache wieder die Vorfaktoren vor den Basisvektoren Hier finde ich es auch wieder schwierig zu verstehen, warum die Matrixdarstellung, wenn den Ket als Integral mit Wellenfunktion und Vektoren

unabhängig vom Ort sein soll. Diese Matrixdarstellung wäre doch dann:

(phi(x)=Wellenfunktion)
hier weiss ich nicht was dieses Integral liefert, ich vermeide es bewusst für x' und x die Deltafunktion einzusetzten. Na weiss nicht, vielleicht können wir das Integral erst angehen, wenn ich etwas besser verstehe, wie mit den (nicht)
Basisvektoren x und x' umgegangen wird.

viele Grüsse und nochmals vielen Dank für Hife

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Viele Grüße
Steffen