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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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 caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 14:33 Titel: Operatoren |
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Meine Frage:
Hallo,
es geht zwar mehr um Mathe, da wir das in der Ex3 machen, poste ich es dennoch hier.
Aufgabe:
Der Laplace-Transformationsoperator L, der Translationsoperator T_h und die Exponentialfunktion eines beliebigen Operators A werden definiert als
=L(f(x)) = \int_0^\infty e^{-yx} f(x) \dd x
<br />
T_hf(x) = f(x+h)
<br />
e^A=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}
<br />
)
a) ist L linear?
b) F(y) = L{f(x)} mit f(x) = 1
c) Berechnen Sie  mit y > a
d) Zeigen Sie, dass 
Meine Ideen:
zu a)
=aL(f(x)) = a\int_0^\infty e^{-yx} f(x) \dd x
<br />
=\int_0^\infty e^{-yx} af(x) \dd x = L(af(x))
<br />
<br />
F(y) + G(y) = \int_0^\infty e^{-yx} f(x) \dd x +\int_0^\infty e^{-yx} g(x) \dd x
<br />
=\int_0^\infty e^{-yx}[ f(x)+g(x)] \dd x
<br />
=L(f(x)+g(x))
<br />
<br />
)
damit Linearität gezeigt
zu b)
=\frac{1}{y})
zu c
=\frac{1}{y-a})
zu d
???
was ist denn genau die Funktion auf die ich D anwende? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 14:46 Titel: Re: Operatoren |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: |
zu d
???
was ist denn genau die Funktion auf die ich D anwende? |
Irgendein f(x). Du musst zeigen, dass e^D genau dieselbe Wirkung hat wie T_1. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 14:50 Titel: |
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merci für die schnelle Antwort
also
}{\partial x}}= f(x+1)
<br />
) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 14:52 Titel: |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: | merci für die schnelle Antwort
also
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Fast:
= f(x+1)
<br />
) |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 14:52 Titel: |
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da reicht ja schon f(x) =x als gegenbeispiel, um zuzeigen, dass es nicht so ist...
das wird es also wohl doch nicht sein |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 14:53 Titel: |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: | da reicht ja schon f(x) =x als gegenbeispiel, um zuzeigen, dass es nicht so ist...
das wird es also wohl doch nicht sein |
Wenn Du es richtig aufschreibst ist f(x)=x im Gegenteil ein sehr schoenes Beispiel, dass es so ist. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 14:54 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | caro_b hat Folgendes geschrieben: | merci für die schnelle Antwort
also
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Fast:
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was leite ich denn dann da partiel nach x ab???????
ich checks nicht |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 14:56 Titel: |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | caro_b hat Folgendes geschrieben: | merci für die schnelle Antwort
also
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Fast:
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was leite ich denn dann da partiel nach x ab???????
ich checks nicht |
 kann als Operatr aufgefasst werden, der alles ableitet was rechts von ihm steht. Jetzt setzt Du das in die Definition von e^D ein und guckst was passiert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Nov 2019 14:57 Titel: |
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)
ist definiert mittels der Taylorentwicklung der e-Funktion. Damit folgt die ganz normale Taylorentwicklung von f(x).
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 15:01 Titel: |
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also erstmal nur um zu verstehen, was das macht:
Beispiel:
 = x
<br />
<br />
e^{\frac{\partial}{\partial x}}f(x)
<br />
=e^{\frac{\partial}{\partial x}}x
<br />
=e^{\frac{\partial}{\partial x}}
<br />
) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 15:07 Titel: |
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Nein, das ist Quatsch.
Weil ab der zweiten Ableitung der Rest der Reiche verschwindet. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 15:12 Titel: |
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der Operator ist also nicht
sondern
? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 15:13 Titel: |
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der operator ist e^partial angewendet auf f(x)=x. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Nov 2019 15:19 Titel: |
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Ein Gegenbeispiel (von Cauchy) zur Behauptung d) ist die Funktion
 = \exp(-1/x^2)) für  und  = 0.)
Für diese gilt
.)
Nicht jede Funktion wird durch ihre Taylorreihe dargestellt, selbst wenn diese existiert und konvergiert. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 15:25 Titel: |
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Das ist zwar richtig, aber wenig hilfreich im Zusammenhang mit dieser Aufgabe. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Nov 2019 15:28 Titel: |
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Finde ich nicht. Daß die Aufgabe eigentlich falsch gestellt ist, sollte jemandem, der versucht sie zu beantworten, klar gemacht werden. Scheinbeweise für falsche Behauptungen zu finden, ist nämlich keine Kunst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Nov 2019 15:33 Titel: |
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Finde ich schon.
Ja, die Aufgabe ist nicht präzise gestellt. Aber das kann man diskutieren, nachdem die Aufgabe so diskutiert und gelöst wurden, wie vom Aufgabensteller vorgesehen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Nov 2019 15:36 Titel: |
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Ich wollte nur sicherstellen, daß es diskutiert wird. Ob vorher oder nachher, ist mir egal. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Nov 2019 15:39 Titel: |
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Ok
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 15:57 Titel: |
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also ich finde es auch nicht hilfreich!
den Operator habe ich verstanden (denke ich)
 = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\partial x)^k}{k!} f(x) =f(x)+f''(x) +\frac{f'''}{2}+\frac{f''''}{6}...= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^k(x)}{k!}
<br />
)
und mit dem Hinweis auf Taylor
,x_0)
<br />
= f(x_0 +1) + f'(x_0 +1) (x+1-x_0) +\frac{f''(x_0)(x+1-x_0)}{2}...
<br />
=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^k(x_0)(x+1-x_0)^k}{k!}
<br />
)
darf ich jetzt einfach x_0 =x setzten?
wenn ja warum? |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 16:06 Titel: |
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und das Stillschweigen zu a - c interpretier ich mal als leise Zustimmung |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2019 16:41 Titel: |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: |
darf ich jetzt einfach x_0 =x setzten?
wenn ja warum? |
Du darfst ja die Funktion f(x+1) um jeden Punkt entwickeln den Du willst, insbesondere auch x_0=x.
(Bei f und f' ist bei Dir im Argument noch ein +1 zuviel.) |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 02. Nov 2019 16:50 Titel: |
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dann vielen Dank für eure Hilfe :-) |
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