Lagrange Gleichung eines reibungsfrei fallenden Stabes

Dstroy · Gast

Meine Frage:
Zunächst hat man eine Leiter mit Trägheitsmoment I=M/12*L^2 (Masse und Länge). Dieser lehne an einer Wand unter dem Winkel grübelnd

0) und rutsche dann reibungsfrei runter. Dazu habe ich bereits die Lagrange Gleichung aufgestellt und soweit gelöst. Auch habe ich schon berechnet, ab welchem Winkel die Leiter aufhört, die Wand zu berühren. Doch nun folgende Aufgabe, die mich iwie verwirrt: man gewinnt nun einen neuen Freiheitsgrad, die Leiter fällt einfach nur so jetzt reibungsfrei um, und soll dafür jetzt die Lagrange Gleichung aufstellen. Doch das stellt mich gerade vor ein Problem, denn ich bin mir sehr unsicher welcher Freiheitsgrad das sein soll und zweitens steht in der Aufgabe, man solle zeigen, dass die Horizontalbewegung des Schwerpunkts entkoppelt. Ich dachte erst x ( die Horizontale Komponente des Schwerpunkts sei der neue Freiheitsgrad, aber das stellte sich bis dato als irreführend heraus.

Meine Ideen:
Ich kann mir nur zwei mögliche Freiheitsgrade denken, die dazukommen könnten, dabei führte x (Horizontalkomponente des Schwerpunkt) ins Leere. Übrig bleibt y nach unten des Schwerpunkts, aber diese Variable ist vom Winkel ? eindeutig bestimmt so weit ich sehe. Also Bleibt mir nichts übrig und selbst wenn ich x als neuen Freiheitsgrad ansehe, ist die Funktion immer noch nicht gekoppelt, da gibts dann nichts zu entkoppeln^^ was mich zur Annahme führt, das der Ansatz falsch ist, ich habe leider nicht mehr Ideen. Ein bisschen Community Hilfe wäre ganz angebracht128515

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Irgendwie verstehe ich dein Problem nicht. Deshalb antworte ich sehr ausführlich.

(1) Es geht um ein ebenes Problem. Bei der Bewegung in einer Ebene besitzt die Leiter ohne Zwangsbedingungen 3 Freiheitsgrade. Zur vollständigen Beschreibung der Lage der Leiter genügen daher 3 Variablen. Dafür gibt es diverse Möglichkeiten. Naheliegend ist die Beschreibung der Lage durch die x- und y-Koordinate des Schwerpunkts und den Winkel

der Leiter zu einer der Koordinatenachsen. Mit diesen Variablen lassen sich kinetische und potentielle Energie der Leiter einfach angeben. Aus deinem Text vermute ich, dass du von dieser Beschreibung der Lage der Leiter ausgegangen bist.

(2) Wenn das eine Ende der Leiter sich auf dem Boden befindet und das andere Ende der Leiter an einer Wand lehnt, hat man 2 Zwangsbedingungen. Es verbleibt nur eine unabhängige Variable. Wenn man von der Lagebeschreibung unter (1) ausgeht, kann man jede der dort genannten Variablen als unabhängige Variable wählen und diese als generalisierte Koordinate im Lagrangeformalismus benutzen.

Bis hier scheinst du auch kein Problem gehabt zu haben.

(3) Wenn die Wand nicht vorhanden ist, hat man nur noch eine Zwangsbedingung. Man braucht daher 2 unabhängige Variablen. Wenn man von der Lagebeschreibung in (1) ausgeht, lassen sich dies allerdings nicht mehr beliebig aus den dortigen 3 Variablen auswählen. Die Zwangsbedingung "Boden" ergibt nur eine Verknüpfung zwischen

und

. Man braucht also

als unabhängige Variable und eine der beiden Variablen

oder

.

Wenn man mit diesen beiden generalisierten Koordinaten die Lagrangegleichungen aufstellt, zeigt sich die Entkopplung darin, dass in der DGL für

die Variable

bzw.

nicht auftaucht und in der DGL für

bzw.

die Variable

nicht auftaucht. Das DGL-System sollte also aus 2 entkoppelten DGLs bestehen.

Das sagt einem ja auch der gesunde physikalische Menschenverstand. Wenn der Schwerpunkt der Leiter zu Beginn in x-Richtung ruht, wird er das dauerhaft tun. Es gibt ja weder eine äußere noch eine Zwangskraft in x-Richtung. Und wenn er zu Beginn eine Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung hat, so wird er diese beibehalten.