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Silencium92



Anmeldungsdatum: 24.01.2017
Beiträge: 59

Beitrag Silencium92 Verfasst am: 14. Mai 2017 16:23    Titel: Quantenzahlen Antworten mit Zitat

Guten Tag,

ist unserer Experimentalphysik Vorlesung zu Quantenmechanik haben wir "grob" die Schrödingerglg. für das Wasserstoffatom gelöst und dabei die ganzen Quantenzahlen eingeführt, wobei ich l,m noch nicht so wirklich verstanden habe.

Für verschiedene Hauptquantenzahlen n mit l=0 ist die Aufenhaltswahrscheinlichkeit im Kern maximal (siehe Lösungen der Radialschrödingerglg.) und für l ungleich 0 minimal.

Kann mir das bitte mal jemand erklären?
Ich weiß, dass das Effektive Potential für l=0 nur aus der Coulombpotential bestehen und bei l ungleich 0 kommt ein Potenial ~ 1/r^2 hinzu.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 14. Mai 2017 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Für l=0 ist zwar die Radialfunktion maximal. Die Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt zwischen r und r+dr ist aber



W(r) geht für gegen 0, d.h. die Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt im Kern ist immer gleich null.
Silencium92



Anmeldungsdatum: 24.01.2017
Beiträge: 59

Beitrag Silencium92 Verfasst am: 14. Mai 2017 17:41    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, könntest du mir aber erklären warum die Radialfunktion für l=0 maximal ist und l ungleich minimal?

Hat es was mit dem Effektiven Potential zu tuen?
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 14. Mai 2017 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

Bei l>0 ist Drehimpuls vorhanden; das "effektive Potential" ist soz. die Fliehkraft. Von daher liegen die Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte weiter draussen.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte würde ich nicht auf diese Weise betrachten. - Bei l=0 liegt das Maximum von R bei r=0, aber man kann nicht einfach mit 1/r² multiplizieren, um die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte bei einem Punkt r, theta, phi zu erhalten; bei einer einfachen Multiplikation erhält man die Summe der Dichte für eine Kugelschale.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 14. Mai 2017 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Die Radialfunktionen ergeben sich als Lösungen der Radialgleichung - nach ziemlich viel Rechnen. Wieso sie genau so verlaufen, habe ich mir bis jetzt nicht überlegt und kann ich auch nicht sagen, sorry.

@gnt: Wegen der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte - das habe ich doch genau so geschrieben. Natürlich ist Wahrscheinlichkeitsdichte bei gleich .
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 14. Mai 2017 18:58    Titel: Antworten mit Zitat

@Myon: Das habe ich nicht korrekt formuliert. Was mich an Deinem Beitrag irritiert hat, war "...die Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt im Kern ist immer gleich null.". Das kann man so nicht sagen, weil diese Aussage nur für eine abstrakte Funktion bei r=0 gültig ist. Diese Funktion ist in der Tat abhängig von r², sagt aber nichts über die Wellenfunktion oder |psi|² bei r=0 aus.
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 14. Mai 2017 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

Hab' schnell ein Photo gemacht.
Rot=R
Blau=|R|²r²
Grün=|psi|²

|R|²r² zeigt nicht den Wert real existierender Punkte. Soweit sind wir uns ja einig. Deshalb darf man nicht sagen: "...die Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt im Kern ist immer gleich null."



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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 14. Mai 2017 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

@gnt: OK, Du hast recht... da muss man in der Tat aufpassen. Die obige Folgerung, dass wegen W(r) gegen 0 für r gegen 0 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim Kern =0 ist, ist nicht richtig.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Mai 2017 08:11    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, das wesentliche Problem ist die sprachlich unpräzise Formulierung, nicht die Mathematik.

Zunächst ist die Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben; die kann man für einen Punkt berechnen. Dann ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt; die kann man jedoch nur für einen Bereich betrachten. Um nun nicht Äpfel mit Birnen zu vergleichen, muss man z.B. die Wahrscheinlichkeit innerhalb verschiedener Kugelschalen (eine davon mit Innenradius Null für den Kern) mit identischem Volumen vergleichen.

Andernfalls vergleicht man mathematische Funktionen, ohne deren Bedeutung zu verstehen.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2017 11:57    Titel: Antworten mit Zitat

Der springende Punkt ist wahrscheinlich wirklich, dass man Kugelschalen mit identischem Volumen vergleicht. Ich find's jedenfalls noch interessant, wie die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte zumindest auf den ersten Blick einen anderen Eindruck von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit vermitteln kann als - so geht es jedenfalls mir.

Unten die Funktionen (oben) und , jeweils für den Zustand 2s und in Einheiten von a0.

PS: Was mich einfach schon etwas irritiert: dann ist es doch so, dass zumindest bei den Zuständen 1s, 2s, 3s die Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit beim Kern am höchsten ist?



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gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 15. Mai 2017 13:05    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
PS: Was mich einfach schon etwas irritiert: dann ist es doch so, dass zumindest bei den Zuständen 1s, 2s, 3s die Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit beim Kern am höchsten ist?

Ja, je weiter man Richtung r=0 kommt, desto grösser ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, also einmal von den Wellen abgesehen. Das liegt daran, dass dort die potentielle Energie niedriger als weiter weg ist, und weil der Energieeigenwert konstant ist, muss die Krümmung(=kin. Energie) stärker sein.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Mai 2017 07:14    Titel: Antworten mit Zitat

Wie wär's, das mal zu berechnen? Also





für kleines, variables dr, so dass dV = const.

Was kommt da raus?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 16. Mai 2017 10:57    Titel: Antworten mit Zitat

@TomS: Mit



ist

.

Da bei R=0 maximal ist, ist dort auch die auf das Volumen bezogene Wahrscheinlichkeitsdichte maximal. Meinst Du das?


Zum oben erwähnten Zusammenhang mit dem effektiven Potential: das wird hier etwas diskutiert und auch grafisch veranschaulicht:

http://frhewww.physik.uni-freiburg.de/SideBar/l5_Lectures/SS2011/Skripte/Textskript/Skript_06_SS2011-ExIV-HELM.pdf
gnt
Gast





Beitrag gnt Verfasst am: 16. Mai 2017 13:45    Titel: Antworten mit Zitat

Du meinst die Dichte/R?
Das sehe ich wie Myon:


Die allgemeine Lösung ist:


Die Lösungen für n=1..5:






Und der Plot n=1=Rot, n=2=Grün, Blau, Braun, Schwarz.



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