Teilchen im Kasten - Quantenzahlen

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo,

unter http://de.wikipedia.org/wiki/Teilchen_im_Kasten#Gesamtl.C3.B6sung
ist ja relativ gut beschrieben, wie man die Gesamtwellenfunktion und
die Gesamtenergie eines Elektrons in einem dreidimensionalen Kasten
erhält. Nun betrachten wir einen Quader der Länge c in x-, der Länge
c in y-, der Länge b in z- Richtung. Dadurch wird die Entartung der
Energie zumindest teilweise aufgehoben (Jahn- Teller- Effekt). Was ich
nicht ganz verstehe, ist die mögliche Konstellation der Quantenzahlen
n_x, n_y, n_z. Im Spezialfall c = b, also einem Elektron im Quader,
ist es klar: Im Grundzustand ist die mögliche Konstellation {1,1,1}.
Im nächst höheren, angeregten Zustand sind wieder mehr Konstellationen
möglich: {2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2}, d.h. die Gesamtenergie ist dreifach
entartet. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen! Vielen Dank!

Gruß.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Es muss nicht unbedingt Entartung vorliegen; dazu darfst du nicht {nx, ny, nz} betrachten, sondern {Ex, Ey, Ez}.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Ja, OK, womöglich habe ich mich nicht deutlich genug ausgedrückt, sry.
Aber wie sehen denn nun die Konstellationen der Quantenzahlen im oben
geschilderten Fall aus bei einem Volumen von c^2 * b?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Die Quantenzahlen lauten immer noch {nx, ny, nz};

die Energieanteile entsprechend {Ex = nx²/Lx², Ey = ny²/Ly², Ez = nz²/Lz²};

also hier speziell für Lx=c, Ly=c,Lz=b {Ex = nx²/c², Ey = ny²/c², Ez = nz²/b²};

die Energie ist dann E = Ex + Ey + Ez

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Ich glaub, Du missverstehst mich! Ich muss die Quantenzahlen und ihre
möglichen Konstellationen EXPLIZIT angeben, und zwar für die beiden
nächst höheren Zustände bezüglich des Grundzustandes. Oder meinst
Du mit "immer noch", dass sie sich im Vergleich zum Quader- Fall nicht
verändern? Wie die Energie dann entsprechend aussehen muss, ist mir
klar. Kantenlängen und Quantenzahlen einsetzen.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

GZ:

{1,1,1}

1. AZ:

{2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2}

2. AZ:

{3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3}, {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3}

Stimmt's?

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Die Energie im 1. AZ beim Spezialfall Quader ist nur deshalb
dreifach entartet, weil sie für alle möglichen drei Konstellationen
{2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2} die gleiche ist. In unserem Fall kommt
für den 1. AZ eine Reduzierung der Entartung von drei- auf zweifach
vor.

Für den 2. AZ habe ich die Energieformeln noch nicht "berechnet".
Ich schätze aber, dass die Entartung wahrscheinlich vierfach sein muss,
als im 2. AZ, da für {3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3} analog zum 1. AZ
die Entartung zweifach ist, und für {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3} die
Entartung auch zweifach sein sollte.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Der Grundzustand {1,1,1} ist klar, bereits bzgl. des ersten und des zweiten angeregten Zustand kannst du doch nicht mehr sagen, ob {2,1,1}, {1,2,1} oder {1,1,2} höher liegen, wenn du die jeweiligen Längen nicht angibst. Es könnte auch sein, dass {nx,ny,1} auch für große nx,ny energetisch günstiger liegt als {1,1,2}, wenn die Abmessung entlang der dritten Achse sehr klein ist.

D.h. du kannst deine Energieniveaus weiterhin nach diesen Zahlen {xn,ny,nz} einordnen, aber wenn du x-ter angereter Zustand sagst, dann musst du doch nach der Energie sortieren - und das kannst du nicht.

Es kann auch sein, dass du zufällige Entartungen hast, nämlich dann, wenn nx²/Lx² geeignete ganze Zahlen liefert, die teilweise zu nz²/Lz² passen, d.h. wenn die L's in einem bestimmten Verhältnis stehen.

Am einfachsten nimmst du mal ein Tabellenkalkulationsprogramm, gibst dir die Zustände {nx,ny,nz} als ganze Zahlen vor, nimmst irgendwelche festen L's, berechnest die Gesamtenergie E und sortierst nach dieser. Dabei wirst du feststellen, dass die ursprüngliche Sortierung nach den n's durcheinandergewürfelt werden kann.