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Nachricht |
philip122
Gast
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 philip122 Verfasst am: 06. Mai 2017 14:30 Titel: Elektrisches Potential einer Hohlkugel |
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Meine Frage:
Ich soll das elekrische Potential einer Hohlkugel mit Innenradius  und Außenradius  berechnen. Die Kugel ist homogen geladen mit  (Flächenladungsdichte:  ). Ich habe bei dieser Aufgabe noch einige Unklarheiten und wäre froh, wenn Sie mir dabei helfen könnten, sie zu klären.
Meine Ideen:
Zuerst habe ich mit Hilfe des Gauß'schen Gesetztes die Elektrische Feldstärke in den 3 Bereichen bestimmt:
=0) für 
=\frac{\rho }{3\epsilon_0}(r-\frac{R_i^{3}}{r^{2}})) für 
=\frac{\rho }{3\epsilon_0}\frac{(R_a^{3}-R_i^{3})}{r^{2}}) für 
wobei die Flächenladungsdichte ist. Bis hierhin stimmt es laut meinem Professor....
Die allgemeine Formel für das Potential ist nun: =\int_{\vec{r}}^\infty \! \vec{E} \, \dd \vec{r} ) wobei hier unendlich als Bezugspunkt mit Potential=0 gewählt wurde.
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
1) Im Bereich komme ich mit dieser Formel auf:
=\frac{\rho(R_a^{3}-R_i^{3})}{3r\epsilon_0}) , was laut meinem Professor auch noch richtig ist.....
2) Im Bereich blicke ich leider nicht mehr ganz durch.....
in der Musterlösung wurde die Formel
=\int_r^{R_a} \! \frac{\rho }{3\epsilon_0}(r-\frac{R_i^{3}}{r^{2}}) \, \dd r + C) verwendet.... Warum integriert man hier von  nach ? Würde diese Grenzen nicht eine Potentialdifferenz bedeuten? Muss man hier nicht irgendwie den gewählten Bezuzgspunkt mit Potetntial=0 (also bei mir unendlich) miteinbeziehen, oder steckt dieser in der Konstanten C?
3) Im Bereich verstehe ich es leider auch noch nicht richtig...
In der Musterlösung steht hier: =0 \Rightarrow \phi(r)=const.)
Es ist zwar intuitiv logisch, aber wie kommt man auf das?Potential berechnet man doch immer mit einem bestimmten Integral...In diesem Fall ein bestimmtes Integral von 0; aber ein bestimmtes integral von 0 ist 0 und keine Zahl.....
Vielen Dank im vorraus! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 06. Mai 2017 15:01 Titel: Re: Elektrisches Potential einer Hohlkugel |
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| philip122 hat Folgendes geschrieben: |
2) Im Bereich blicke ich leider nicht mehr ganz durch.....
in der Musterlösung wurde die Formel
verwendet.... Warum integriert man hier von nach ? Würde diese Grenzen nicht eine Potentialdifferenz bedeuten? Muss man hier nicht irgendwie den gewählten Bezuzgspunkt mit Potetntial=0 (also bei mir unendlich) miteinbeziehen, oder steckt dieser in der Konstanten C?
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Ja, muss man miteinbeziehen und ja es steckt in der Konstanten C.
Wenn Du das verstanden hast, ist Dir wahrscheinlich auch die Antwort auf Deine Frage bei 3) klar. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 06. Mai 2017 16:08 Titel: Re: Elektrisches Potential einer Hohlkugel |
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| philip122 hat Folgendes geschrieben: | ...
in der Musterlösung wurde die Formel
verwendet.... Warum integriert man hier von nach ? Würde diese Grenzen nicht eine Potentialdifferenz bedeuten? |
Ohne das C wäre das die Potentialdifferenz zwischen r und Ra. Um das Potential an der Stelle r zu bestimmen, muss noch das Potential an der Stelle Ra addiert werden. Das Potential an der Stelle Ra ist das C in Deiner Gleichung.
Allerdings müsste hier im Nenner auch noch die Permittivitätszahl (=relative Permittivität=relative Dielektrizitätskonstante) des Kugelmaterials stehen. Die kann für ein Feststoffdielektrikum niemals 1 sein. Die niedrigste Permittivitätszahl für Feststoffdielektrika liegt im Bereich 2 ... 2,1.
| philip122 hat Folgendes geschrieben: | ...
3) Im Bereich verstehe ich es leider auch noch nicht richtig...
In der Musterlösung steht hier: |
Ja, denn 
Für den Bereich 0<r<Ri heißt das
=\int_0^r E\, dr+\varphi(R_i))
Da die Feldstärke im Bereich 0<r<Ri Null ist, ist auch das bestimmte Integral Null, also
=0+\varphi(R_i)=\varphi(R_i)=\text{const.})
Übrigens ist  nicht die Flächenladungsdichte, sondern die Volumenladungsdichte (=Raumladungsdichte). |
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philip122
Gast
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| philip122 Verfasst am: 06. Mai 2017 16:10 Titel: |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich glaube ich hab es jetzt verstanden
Das allgemeine Vorgehen bei dieser Aufgabe ist also:
Bei 1) gleich wie vorhin
Bei 2) :
=\int_{\vec{r}}^\infty \! \vec{E} \, \dd \vec{r} = \int_{R_a}^{\infty} \! \frac{\rho }{3\epsilon_0}\frac{(R_a^{3}-R_i^{3})}{r^{2}} \, \dd r + \int_r^{R_a} \! \frac{\rho }{3\epsilon_0}(r-\frac{R_i^{3}}{r^{2}}) \, \dd r )
Bei 3)
=\int_{\vec{r}}^\infty \! \vec{E} \, \dd \vec{r} = \int_{R_a}^{\infty} \! \frac{\rho }{3\epsilon_0}\frac{(R_a^{3}-R_i^{3})}{r^{2}} \, \dd r + \int_{Ri}^{R_a} \! \frac{\rho }{3\epsilon_0}(r-\frac{R_i^{3}}{r^{2}}) \, \dd r + \int_r^{R_i} \! 0 \, \dd r )
oder?
PS: Bei meiner Frage oben meinte ich mit  natürlich die Raumladungsdichte und nicht die Flächenladungsdichte |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 06. Mai 2017 16:12 Titel: |
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Genau. |
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philip122
Gast
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| philip122 Verfasst am: 06. Mai 2017 16:19 Titel: |
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Okay. Vielen Dank!  |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 06. Mai 2017 16:26 Titel: |
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Es bleibt allerdings die Diskrepanz bei der Permittivität im Bereich Ri<r<Ra. |
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philip122
Gast
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| philip122 Verfasst am: 07. Mai 2017 11:36 Titel: |
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Stimmt, dass habe ich noch vergessen...
Zu dem Zeitpunkt als wir die Aufgabe bekamen hatten wir noch nichts über die Permittivität gelernt, außerdem war in der Aufgabe nichts über das Material, aus dem die Kugel besteht , gegeben.....
Aber dann schreibe ich einfach in alle Gleichungen im Intervall statt  ,  , dann sollte es passen...... |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Mai 2017 11:47 Titel: |
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| philip122 hat Folgendes geschrieben: | ...
Aber dann schreibe ich einfach in alle Gleichungen im Intervall statt , , dann sollte es passen...... :thumb: |
Vermutlich wirst Du Deinen Prof./Lehrer damit überraschen. Denn die vergessen meistens auch, dass eine homogen geladene Hohlkugel nur aus einem Feststoffdielektrikum bestehen kann und deshalb die Permittivtät größer als die des Vakuums ist. |
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