Gleichgewichtstemperatur einer wärmestrahlenden Kugel

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Guten Morgen,

ich habe die Aufgabe als Attachment angefügt.

Meine Überlegungen bisher:

- nur eine Seite der Kugel zeigt zur Sonne, daher trifft die Strahlung der Sonne nur auf eine Kreisfläche

- Die Kugel strahlt die Leistung jedoch über die volle Kugelfläche

ab.

-Die Ausgestrahlte Intensität ist im Gleichgewicht also:

Ich weiß nun leider nicht, wie ich das Planksche Strahlungsgesetz anwenden soll

Ohne die Temperatur kann ich da nichts integrieren.

Ich verstehe auch nicht warum der Emissionsgrad nur für einen Teil des Spektrums gegeben ist.

Ich würde mich über einen Ansatz sehr freuen.

Pascal

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Die Überlegung, dass die abgestrahlte Intensität ein Viertel der Intensität ist, welche auf der bestrahlten Seite senkrecht auftrifft, ist richtig.

Das Plancksche Strahlungsgesetz benötigst Du gar nicht. Über das Stefan-Boltzmann-Gesetz kannst Du die Temperatur im thermischen Gleichgewicht bestimmen. Eine Schwierigkeit ist nun, dass nicht im Voraus bekannt ist, mit welchem Emissionsgrad gerechnet werden soll, da dieser abhängig von der Wellenlänge ist. Du kannst ja für beide Emissionsgrade einmal die Temperatur bestimmen, und dann für diese beiden Temperaturen über das Wiensche Verschiebungsgesetz die Wellenlänge, bei der die Strahlungsverteilung maximal ist. Dann ergibt sich klar, in welchem Wellenbereich der grösste Teil der Intensität abgestrahlt wird und somit, welcher Emissionsgrad relevant ist.

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Vielen Dank für deine Antwort!

Dann also:

Somit ergibt sich für die Gleichgewichtstemperatur wenn man mit

rechnet zu 492.1 K
und für

zu 280.3 K.

Mit dem Wienschen Verschiebungsgesetz

komme ich für den sichbaren Bereich auf:

und für den anderen:

Das heißt die maximale Intensität liegt in beiden Fällen bei über 5µm Wellenlänge, daher rechne ich mit dem Emissionsgrad für die großen Wellenlängen und die Gleichgewichtstemperatur ist demnach ungefähr 280.3 K?

So ganz verstehe ich das nicht. Ich rechne mit einem Emissionsgrad für den sichtbaren Bereich und es kommt raus, dass die max Wellenlänge im nichtsichtbaren Bereich ist. Das ist doch ein Widerspruch in sich...

Wie kann ich einschätzen wie hoch mein Fehler ist? Warum kann ich das Verschiebungsgesetz benutzen, obwohl das für ideale Schwarze Körper gilt?

LG und nochmal danke!

Pascal

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Bitte entschuldige die späte Antwort. Bei den Wellenlängen, für welche die Intensität pro Wellenlänge maximal ist, erhalte ich die gleichen Werte, allerdings die kleinere für den sichtbaren Bereich.

Das Vorgehen sieht vielleicht etwas seltsam aus. Man berechnet die Temperatur unter der Annahme, dass das Intensitätsmaximum bei einer Wellenlänge grösser als 5 Mikrometer liegt, und stellt fest, dass das Ergebnis konsistent ist mit der Wellenlänge aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz. Die umgekehrte Annahme führt zu einem Widerspruch.

Genaugenommen können das Stefan-Boltzmann-Gesetz und das Wiensche Verschiebungsgesetz nicht angewendet werden, wenn der Emissionsgrad wellenlängenabhängig ist, da das Emissionspektrum dann nicht dieselbe Form hat wie bei einem schwarzen Körper. Allerdings, wenn Du Dir die Funktion einmal plottest, siehst Du, dass der sichtbare Bereich bei T=280K fast nichts zur Intensität beiträgt. Da dort der Emissionsgrad noch 10 mal tiefer sein soll, liegt das Maximum sicher über 5 Mikrometer. Für eine genaue Rechnung müsste der Verlauf des Emissionsgrads bekannt sein, dann könnte man die Temperatur aus dem Planckschen Strahlungsgesetz numerisch berechnen, aber das ist hier nicht der Fall.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5041

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Oh ja, die beiden Wellenlängen habe ich vertauscht.
Vielen Dank für die Hilfe! Ich denke ich habe jetzt alles verstanden!

Beste Grüße

Pascal