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HilfeWirdBenötigt
Gast
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 HilfeWirdBenötigt Verfasst am: 07. Apr 2017 22:34 Titel: Herleitung der Zentripetalbeschleunigung |
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Meine Frage:
Könnte mir bitte jemand erklären, wie ich die Zentripetalbeschleunigung herleite? Ich würde diese Herleitung wiederum für die Herleitung der Periodendauer eines Federpendels benötigen.
Es wär nett von euch, wenn ich mir Schritt für Schritt erklären könntet, wie man ohne besonderes Vorwissen auf die Herleitung kommt bzw. wenn ihr die Herleitung auch grafisch darstellen könntet :)
Meine Ideen:
Ich hab leider keine vernünftigen Lösungsansätze, deswegen wär es nett von euch, wenn ihr alles Schritt für Schritt erklären könntet.  |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3405
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| ML Verfasst am: 08. Apr 2017 00:22 Titel: Re: Herleitung der Zentripetalbeschleunigung |
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Hallo,
| HilfeWirdBenötigt hat Folgendes geschrieben: |
Es wär nett von euch, wenn ich mir Schritt für Schritt erklären könntet, wie man ohne besonderes Vorwissen auf die Herleitung kommt bzw. wenn ihr die Herleitung auch grafisch darstellen könntet
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erfreulicherweise hat ein freundlicher Mensch das schon gemacht:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zentripetalkraft#Mathematische_Herleitung
Viele Grüße
Michael |
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HilfeWirdBenötigt
Gast
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| HilfeWirdBenötigt Verfasst am: 08. Apr 2017 20:12 Titel: Fragen bezogen auf die oben genannte Herleitung |
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Könnte mir bitte noch jemand ein paar Fragen zum oben genannten Beitrag beantworten? Und zwar glaube ich, dass ich ein paar grundlegende Verständnisprobleme habe.
1. Auf Wikipedia steht: „Der vom Objekt zurückgelegte Weg Δs […]“. Müsste der Logik nach müsste jedoch nicht Δs dem Kreisbogen von P1 zu P2 entsprechen? Wie genau kann ich mir vorstellen, dass dies nicht der Fall ist?
2. Warum wird durch die Zeitspanne Δt dividiert? Ich weiß natürlich, dass v=s/t ist, aber wie kann ich diesen Schritt alleine durch die garfische Darstellung erkennen?
3. Was hat „Wird nun Δt hinreichend klein gewählt, so gilt: […]“ zu bedeuten? Was genau bedeutet „hinreichend klein“ für Δt, und warum gelten nur dann ein paar Sachverhalte? |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3405
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| ML Verfasst am: 09. Apr 2017 12:31 Titel: Re: Fragen bezogen auf die oben genannte Herleitung |
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| HilfeWirdBenötigt hat Folgendes geschrieben: |
1. Auf Wikipedia steht: „Der vom Objekt zurückgelegte Weg Δs […]“. Müsste der Logik nach müsste jedoch nicht Δs dem Kreisbogen von P1 zu P2 entsprechen?
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Ja, das ist richtig. Der Clou hierbei ist, dass bei kleinen (gegen null gehenden) Winkeln  der Kreisbogen und die direkte Verbindungsstrecke ineinander übergehen.
Kreisbogen: Länge  ( im Bogenmaß) (*)
Verbindungsstrecke:  = \frac{\frac{|\overline{S_1~S_2}|}{2}}{r}) (**)
Wir können (**) umformen zu:
 \cdot 2r = |\overline{S_1~S_2}|)
Mit der Näherung \approx x) (gültig für kleine x) können wir dann weiter rechnen:
und somit
| Zitat: |
2. Warum wird durch die Zeitspanne Δt dividiert? Ich weiß natürlich, dass v=s/t ist, aber wie kann ich diesen Schritt alleine durch die garfische Darstellung erkennen? |
In der Graphik kannst Du das nicht erkennen. Das Teilen wird deshalb gemacht, weil Du von der Geschwindigkeitsänderung  auf die Beschleunigung kommen willst. Also musst Du teilen.
| Zitat: | | 3. Was hat „Wird nun Δt hinreichend klein gewählt, so gilt: […]“ zu bedeuten? Was genau bedeutet „hinreichend klein“ für Δt, und warum gelten nur dann ein paar Sachverhalte? |
Hinreichend klein bedeutet: Je kleiner man das Zeitintervall (und damit den zurückgelegten Winkel/Weg) macht, umso genauer gelten die genannten Zusammenhänge. Für ein unendlich kleines Zeitintervall  gelten die Zusammenhänge dann exakt. Das wird noch Thema der Differentialrechnung (Mathematik der Oberstufe der Schule) werden. Wenn Du noch keine Differentialrechnung hattest, ist das etwas schwer zu verstehen.
Viele Grüße
Michael |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5880
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Apr 2017 22:27 Titel: |
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Eine kurze Herleitung:
 = r\cdot \omega\cdot \cos(\omega\cdot t ) )
 = r\cdot \omega\cdot \sin(\omega\cdot t ) )
 )
)
^{2}\cdot \omega ^{4}\cdot (\sin^{2}(\omega \cdot t) + \cos^{2}(\omega \cdot t) ) }
<br />
)
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 10. Apr 2017 22:33 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Eine kurze Herleitung:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Apr 2017 23:47 Titel: |
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Es gibt noch eine relativ einfache Herleitung, die nur die Ableitungsregeln der Vektorrechnung benötigt: Betrachte die Bewegung eines Massenpunktes mit konstantem Abstand vom Ursprung. Für diesen gilt zu allen Zeiten
Zweimaliges Ableiten nach  liefert mit der Produktregel
Da  , muß  sein, was bedeutet, daß der Winkel zwischen  und  stets größer oder gleich 90° ist (beide Vektoren also bis auf die momentanen Ruhepunkte mehr oder weniger entgegengesetzt gerichtet sind).
Bis hierhin beschreibt die Gleichung noch allgemeine Bewegungen auf einer Kugeloberfläche. Erfolgt die Bewegung aber gleichförmig in der Ebene, gilt außerdem
Leitet man dies wiederum nach der Zeit ab, folgt
Es sind und also antiparallel. Also gilt
d.h.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5913
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| Myon Verfasst am: 11. Apr 2017 10:50 Titel: |
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Für eine Kreisbewegung mit  ergibt sich die Zentripetalbeschleunigung aus  noch kürzer:
\Rightarrow a=r\omega^2=\frac{v^2}{r})
da alle Vektoren in den Kreuzprodukten senkrecht aufeinander stehen. Aber zugegeben, das hat wahrscheinlich nicht mehr viel mit der Frage ganz am Anfang des Threads zu tun. |
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