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Nachricht |
Kaidan
Gast
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 Kaidan Verfasst am: 28. Feb 2017 19:02 Titel: Wellengleichung für Kugelsymmetrie |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
Im Fall einer skalaren Wellenfunktion, die nur vom Abstand  und nicht von den Winkeln  und  abhängt, vereinfacht sich die Wellengleichung zu
}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)\xi (r,t))
Diese Gleichung wird durch den allgemeinen Ansatz  = A(r)\cdot f(kr \pm \omega t)) gelöst. Zeigen Sie, dass für beliebige Funktionen  gilt:  = C/r) mit einer Konstanten  .
Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht ganz sicher wie man so eine Aufgabe angeht.. Am wahrscheinlichsten erscheint mir hier einfach der Ansatz die entsprechenden Ableitungen von ) zu berechnen und sie dann in die Formel oben einzusetzen. Leider bekomme ich das auch nicht wirklich hin..
Das Problem ist hier hauptsächlich, dass ich nicht weiss wie genau die Ableitungen von genau aussehen.
Bei mir ergibt
}{\partial t^2}= A(r)\cdot f''(kr \pm \omega t) \omega^2)
und
}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}(A(r))\cdot f(kr\pm \omega t) + A(r) \cdot k \cdot f'(kr\pm \omega t)) , was nach ziemlichem Mist aussieht und schlussendlich auch nicht zum Ziel führt..
Kann mir echt jemand einen Tipp geben? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 28. Feb 2017 19:09 Titel: Re: Wellengleichung für Kugelsymmetrie |
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| Kaidan hat Folgendes geschrieben: | und schlussendlich auch nicht zum Ziel führt..
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Doch tut es. |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 28. Feb 2017 19:23 Titel: |
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Naja, aber offensichtlich ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen.. Leider sehe ich nicht wo |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 28. Feb 2017 19:37 Titel: |
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| Kaidan hat Folgendes geschrieben: |
Naja, aber offensichtlich ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen.. Leider sehe ich nicht wo |
Kann sein, aber das was Du hier gepostet hast sieht doch gut aus. |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 28. Feb 2017 20:03 Titel: |
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| Zitat: | | Kann sein, aber das was Du hier gepostet hast sieht doch gut aus. |
Ok, dass habe ich nicht wirklich erwartet... Ich habe analog zur ersten Ableitung auch noch die zweite Ableitung nach berechnet. Wenn ich nun alles zusammensetzte komme ich auf:
\cdot f''(kr \pm \omega t)&= \frac{\partial^2}{\partial r^2}(A(r)) \cdot f(kr\pm\omega t) +2 \cdot \left( \frac{\partial}{\partial r}(A(r)) k \cdot f'(kr\pm \omega t)\right) + A(r) k^2 \cdot f''(kr\pm \omega t) \\
<br />
&+\frac{2}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} (A(r)) \cdot f(kr\pm \omega t) + A(r)k \cdot f'(kr\pm \omega t)\right))
Das Problem sind für mich in erster Linie die Ableitungen bzw. die Frage wie ich nun das ) vom ganzen Rest isolieren kann... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Feb 2017 22:00 Titel: |
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Was bedeutet das "+" im "+ / -" eigentlich bei eine Kugelwelle?
Möglicherweise hier irrelevant: Landau / Lifschitz behandeln II §§66 ff. die Ausstrahlung elektromagnetischer Wellen von Ladungen (in großer Entfernung) mit einem kugelsymmetrischen Ansatz für die retardierten Potentiale. |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 28. Feb 2017 22:55 Titel: |
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| Zitat: | | Was bedeutet das "+" im "+ / -" eigentlich bei eine Kugelwelle? |
Tut mir Leid, aber hier verstehe ich nicht was du meinst.. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 01. März 2017 00:02 Titel: |
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Nur eine flüchtige Überlegung: hat die in in das Zentrum laufende Kugelwelle überhaupt einen physikalischen Sinn? Ich weiß es nicht. |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 04. März 2017 17:21 Titel: |
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Ich habe in der Zwischenzeit mal mit meinem Physik-Assistenten darüber geredet. Dieser sagt, dass gewisse Terme wegfallen sollten, wenn man sich physikalische Überlegungen dazu macht und schlussendlich eine DGL erster Ordnung übrig bleiben sollte, die man dann lösen kann..
Leider sehe ich hier nicht wirklich was man weglassen kann... Da es eine DGL erster Ordnung zu sein scheint offensichtlich alle Terme in denen die zweite Ableitung vorkommt. Ich verstehe aber nicht wieso man das darf und vor allem weiss ich ja auch nicht ob das alle sind.
Kann mir echt jemand mit dem Problem weiter helfen, denn ich sehe die Lösung wirklich überhaupt nicht.
| Zitat: | | Nur eine flüchtige Überlegung: hat die in in das Zentrum laufende Kugelwelle überhaupt einen physikalischen Sinn? Ich weiß es nicht. |
Nun unser Prof. hat etwas in der Vorlesung zu dem Thema erwähnt, aber ich konnte ihm leider nicht Folgen. Er sagt, falls ich es richtig verstanden habe, dass sie eine Bedeutung haben kann, wohl aber nicht für die jetzige Physik Vorlesung. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 05. März 2017 00:53 Titel: |
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| Kaidan hat Folgendes geschrieben: |
Kann mir echt jemand mit dem Problem weiter helfen, denn ich sehe die Lösung wirklich überhaupt nicht.
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Sortier Deine Gleichung doch mal
[...]*f + [...]*f' + [...]*f'' = 0
Eine der Klammern ist nach Deine physikalisch anzustellenden Überlegung 0.
Null-Setzen der anderen beiden liefert Dir zwei DGLs, die beide von derselben Funktion gelöst werden. |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 07. März 2017 22:59 Titel: |
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| Zitat: | Sortier Deine Gleichung doch mal
[...]*f + [...]*f' + [...]*f'' = 0
Eine der Klammern ist nach Deine physikalisch anzustellenden Überlegung 0.
Null-Setzen der anderen beiden liefert Dir zwei DGLs, die beide von derselben Funktion gelöst werden. |
Wenn ich das mache komme ich auf:
+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} A(r)\right)\cdot f(u)+ \left(2k \frac{\partial}{\partial r} A(r) + \frac{2k}{r} A(r)\right)f'(u)) ,
wobei hier  . Eine der Klammern ist also sowieso schon Null, ohne dass ich wirklich etwas machen musste...
Der Assistent hat nun vorgeschlagen, dass man das mit Separation der Variablen lösen soll... nur verstehe ich nicht wie das bei der DGL gehen soll... |
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