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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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 munich Verfasst am: 25. Nov 2007 17:15 Titel: Wellengleichung |
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Hey Leute,
hab ein Problem bei folgender Aufgabe:
Gegeben:
eine Welle in der x-y-Ebene, die durch die Gleichung
=\cos(\omega t-k_xx-k_yy))
beschrieben wird.
Gesucht:
1) Fortpflanzungsrichtung
2) Phasengeschwindigkeit
Okay, ich meine die Fortpflanzungsrichtung hätte was mit dem Kreuzprodukt zu tun, also wenn sie in der x-y-Ebene schwingt geht sie auf jeden Fall in pos. oder neg. z-Richtung.
Nachdem  würd ich mal sagen die Welle läuft in pos. z-Richtung.
Für die Phasengeschwindigkeit hab ich die Gleichung  gefunden, aber die gilt nur für Schwingung in einer Dimension, also Wellengleichungen mit =a\exp(i(kx-\omega t))
Was meint ihr dazu?
thx,
munich |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 25. Nov 2007 17:37 Titel: Re: Wellengleichung |
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=a\exp(i(\omega t - \vec k \cdot \vec x))
Das ist die allgemeine Gleichung einer ebenen Welle. k ist dabei der Ausbreitungsvektor. Auch deine Gleichung lässt sich sehr einfach in diese Form bringen !
Es ist dann
Und z ist übrigens die einzige Richtung, in die der Wellenvektor nicht zeigt.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 25. Nov 2007 17:52 Titel: Re: Wellengleichung |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Und z ist übrigens die einzige Richtung, in die der Wellenvektor nicht zeigt. |
Ähm, es geht ja nicht um die Richtung des Wellenvektors, es geht doch um die Ausbreitungsrichtung, oder ist das das gleiche? Ich dachte immer wenn die Welle in x und y Richtung schwingt dann bewegt sie sich senkrecht dazu...
Ach k ist auch ein Vektor, dann is das schon klarer mit dem Skalarprodukt...
Aber kann ich bei der Umformung in die Darstellung )=\cos(\omega t-k_xx-k_yy)+i\sin(\omega t-k_xx-k_yy)) den i sinus Term einfach weglassen? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 25. Nov 2007 18:44 Titel: Re: Wellengleichung |
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| munich hat Folgendes geschrieben: |
Ähm, es geht ja nicht um die Richtung des Wellenvektors, es geht doch um die Ausbreitungsrichtung, oder ist das das gleiche? |
Die Ausbreitungsrichtung der ebenene Wellenfront ist gleich der Richtung von k.
Wenn du den Imaginärteil weglässt, so hast du den "physikalischen" Anteil der Schwingung. Diese Darstellung hat nur einige praktische Nachteile.
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munich
Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 255
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| munich Verfasst am: 25. Nov 2007 18:55 Titel: |
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uups, okay, da lag ich wohl voll daneben 
Also ich nehm mal an, dass ich bei der Auswertung eh nur den Realteil der komplexen Wellenfunktion betrachte.
Ich hätte dann raus:
Phasengeschwindigkeit: 
Ausbreitungsrichtung: 
Kannst du das bestätigen?
Ich muss jetzt noch die Überlagerung zweier Wellen betrachten:
=\cos(\omega t-k_xx-k_yy)+\cos(\omega t-k_xx+k_yy))
Auch hier soll ich Phasengeschwindigkeit und Ausbreitungsrichtung bestimmen.
Ich schreibs also mal ins komplexe um:
=Re(\exp(\omega t)\exp(-k_xx)\cdot(\exp(-k_yy)+\exp(k_yy))))
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
munich |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 25. Nov 2007 21:43 Titel: |
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| munich hat Folgendes geschrieben: | uups, okay, da lag ich wohl voll daneben
Also ich nehm mal an, dass ich bei der Auswertung eh nur den Realteil der komplexen Wellenfunktion betrachte.
Ich hätte dann raus:
Phasengeschwindigkeit:
Ausbreitungsrichtung:
Kannst du das bestätigen?
ja, aber nur die Richtung ist relevent, nicht der Betrag.
Ich muss jetzt noch die Überlagerung zweier Wellen betrachten:
Auch hier soll ich Phasengeschwindigkeit und Ausbreitungsrichtung bestimmen.
Ich schreibs also mal ins komplexe um:
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Die Überlagerung zweier ebener Wellen ist i.A. keine ebene Welle, und kann auch nicht durch die allgemeine Form, d.h. durch eine Amplitude und einen Wellenvektor k beschrieben werden.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
munich |
 = e^{i (\omega t -(x+y))}+ e^{i \omega t -i(x-y)} = e^{i \omega t-ix} \, (e^{iy} + e^{-iy}) =2 e^{i (\omega t -x)} \, \cos y)
Für
verschwindet diese Überlagerung für alle Werte von x. Das ist eine Art von stehender Welle in y und einer sich in x ausbreitenen Welle, aber gesamt betrachtet keine ebene Welle.
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