Dachziegel rutscht Dach wegen Wärmeausdehnung herunter

taxus1 · Anmeldungsdatum: 05.11.2016 Beiträge: 17

Meine Frage:
Hi,

es geht um einen Dachziegel, der auf einer schrägen Ebene liegt (Neigungswinkel, Reibungskoeffizient gegeben). An einem sonnigen Tag (Erwärmung) dehnt sich der Dachziegel aus und in der darauffolgenden Nacht (Abkühlung) zieht er sich wieder zusammen. Nach Erwärmung und anschließender Abkühlung hat sich der Gegenstand geringfügig dachabwärts bewegt.
Die Frage ist, um welche Strecke.

Meine Ideen:
Wärmeausdehnung: Länge und Wärmeausdehnungskoeffizient und Temperaturunterschied sind gegeben

Hangabtriebskraft (Masse und Neigungswinkel sind gegeben):

Reibungskraft (Reibungszahl ist gegeben):

(Dachziegel liegt.)

Mein Problem ist im Grunde, dass ich nicht weiß, wie ich diese Kräfte, die auf den Dachziegel einwirken mit der Längenausdehnung verknüpfen soll.

Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte welcher physikalische Prozess (muss ja irgendeine Kraft sein) überhaupt das geringfügige Abrutschen bewirkt.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Nachdem ich mir über diese Aufgabe einige Zeit den Kopf zerbrochen habe, denke ich nun, dass die Lösung (möglicherweise) ganz einfach ist: der Ziegel bewegt sich um die Längenänderung, die er während der Erwärmung erfahren hat gemäss der ersten Gleichung im ersten Beitrag. Der Reibungskoeffizient spielt dabei keine Rolle - solange er natürlich genügend gross ist, dass der Ziegel überhaupt auf dem Dach bleibt.

Man kann sich zuerst den einfacheren Fall überlegen, wo der Ziegel nur am oberen und unteren Ende aufliegt. Während der Erwärmung wird sich nur das untere Ende bewegen, da dort die Kraft zuerst genügend gross ist, die Haftreibungskraft zu überwinden (die Kraft durch die Ausdehnung ist oben und unten entgegengesetzt gleich gross; dazu kommt die Hangabtriebskraft, welche jeweils nach unten gerichtet ist). Bei der Abkühlung bewegt sich aus dem gleichen Grund nur das obere Ende. Wenn der Ziegel auf der ganzen Fläche aufliegt, kann man infinitesimal kleine Elemente betrachten, dort wird sich analog bei der Erwärmung jeweils nur das untere, bei der Abkühlung nur das obere Ende des Elements bewegen.

PS: Nach nochmals etwas Überlegen bin ich nicht mehr so recht überzeugt, dass dies wirklich stimmt. Während der einfachere Fall, wo der Ziegel nur an zwei Enden aufliegt, wahrscheinlich klar ist, müsste man den "kontinuierlichen" Fall schon formal zeigen. Leider weiss ich grad nicht recht, wie man das sauber macht.

taxus1 · Anmeldungsdatum: 05.11.2016 Beiträge: 17

Nach erneutem Überlegen ist mir eingefallen, dass, sobald ein beliebiger Punkt der Platte in Bewegung ist (beim Ausdehnen des Körpers), die Haftreibungskraft durch die Gleitreibungskraft ersetzt wird, welche geringer ist.
Heißt es gilt nicht mehr:

sondern vielmehr:

am unteren Ende würden die beiden Kräfte in entgegengesetzte Richtung zeigen und sich subtrahieren:

am oberen Ende würden sie allerdings in die gleiche Richtung zeigen

Jetzt könnte man die beiden Kräfte (oben und unten) addieren, wobei Problem: da der Ziegel an jedem Punkt das Dach berührt, wirken auch an jedem Punkt Kräfte.
Wenn nun also trotzdem irgendwie die resultierende Gesamtkraft rausbekommt (alle Punkte mit einbezogen), könnte man mit F=m*a die Beschleunigung errechnen.

Und damit auch den Weg, zurück gelegt wird:

Jetzt braucht man nur nocht die Zeit t: Das ist genau die Zeit, die der Körper braucht um sich auszudehnen bzw. die Zeit, bis er sich auf die neue Temperatur aufgeheizt hat, denn nur solange dehnt er sich ja aus.

Hat wer ne Idee wie man diese Zeit errechnen könnte? Wie findet ihr den Ansatz?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Dass die Zeit hier eine Rolle spielt, glaube ich nicht.

Hab mal eine neue Lösung smile

Es muss einen Punkt des Ziegels geben, der sich gegenüber der Unterlage nicht bewegt. Dieser Punkt soll zuerst bestimmt werden.

Betrachte ein kleines Element an der Stelle x, das sich geringfügig ausdehne (siehe Skizze).

Kraft von oben gegen Element bei Ausdehnung:

Kraft von unten gegen Element bei Ausdehnung:

Kräfte sind gleich wenn

oder

Somit

Mittelpunkt bewegt sich um die Länge

nach unten (wobei

die Wärmeausdehnung des Ziegels ist).

Die Abkühlung verläuft analog mit teilweise umgekehrtem Vorzeichen:

Zug von oben bei Abkühlung:

Zug von unten bei Akühlung

Kräftegleichgewicht bei

Mittelpunkt bewegt sich um

nach oben, also ebenfalls um

nach unten.

Ingesamt ergibt sich eine Verschiebung des Ziegels um

nach unten.

Bei der Abkühlung wurde von der ursprünglichen Länge l ausgegeangen, also dass die Längenausdehnung zuvor gering war. Sonst ergäbe sich ein weiterer Term der Ordnung

.

Edit: Cosinus bei der Normalkraft eingefügt, wodurch im Resultat aus dem Sinus ein Tangens wurde.

Edit2: In der Rechnung war ein simpler Rechenfehler, weshalb das Schlussergebnis um den Faktor 2 zu hoch war.

taxus1 · Anmeldungsdatum: 05.11.2016 Beiträge: 17

Geniale Lösung! Danke vielmals! Habe soweit alles verstanden, doch wie bist du auf diese Gleichung gekommen:

Zitat:
Mittelpunkt bewegt sich um die Länge

nach unten

Man weiß wo der Punkt ist, der sich nicht bewegt, doch wie errechnet man daraus die Bewegung des Mittelpunkts? Das habe ich ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo Myon,

und danke, daß Du hier noch am Ball bleibst! Bei mir hakt es leider:

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

@franz: Du hast natürlich recht, ich hatte den Cosinus vergessen. Da mir das Resultat (fälschlicherweise) auch in Bezug auf die Grenzfälle plausibel erschien, war ich wohl auch etwas zu wenig kritisch.

Ist aber nicht weiter schlimm, im Gegenteil. Jetzt mit dem Tangens statt des Sinus im Resultat macht dieses mehr Sinn, und wie man erwarten würde, gilt

.

@taxus1: Die Verschiebung des Mittelpunkts ist einfach das arithmetische Mittel der Verschiebung der beiden Enden des Ziegels: bei der Erwärmung etwa verschiebt sich das untere Ende um

nach unten, das obere Ende um

nach oben, der Mittelpunkt also um

nach unten.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

Sorry, dass ich nochmals den Dachziegel hervornehme. Manchmal, wenn mich ein Problem offenbar nicht ganz loslässt, kommt mir plötzlich über Nacht ein Gedanke. Das bisherige Ergebnis musste um den Faktor 2 zu hoch sein.

Die Verschiebung des Mittelpunktes war falsch berechnet, Du hast recht, taxus1. Habs oben korrigiert, jetzt erscheint mir das Ergebnis (für den Moment jedenfalls...) plausibel. Jedenfalls stimmen die beiden Grenzfälle: Wenn nahezu

gilt, der Ziegel also knapp nicht rutscht, bewegt sich bei der Erwärmung nur das untere Ende, bei der Abkühlung nur das obere Ende, sodass sich der Ziegel um

nach unten bewegt. Bei

anderseits verschiebt sich der Ziegel nicht.