Verhinderte Wärmeausdehnung

Sven? · Gast

Hallo

Ich habe ein Problem mit der auf Stellung der entsprechenden Formeln für die "eingestaucht Länge" wenn zwei oder mehr Material sich thermisch ausdehnen und die dabei endstehenden Kräfte.

Meine Probleme:
Es geht hier nicht um den Rechenweg nur um das Wie.

Für die endstehende Kraft für ein Material:

A = Fläche in m^2
a = Längenausdehnungskoeffizient | 1 / K 10^-6
E = Modulus of Elasticity | GPa N / m^2
T = Temperaturdifferenz | K
F = endstehenden Kraft | Kg*m/s^2

F = A*E*a*T

Muss ich bei mehren die Kräfte die gegeneinander ( ... -><- ... ) wirken addieren oder subtrahieren ?

1.
Ich habe zwei Materialien die aneinander liegen durch die Thermische Ausdehnung dehnen sie sich aus und drücken aneinander
(Kupfer -><- Stahl)
welches der beiden Materialien drück wieweit in welches?

Materialien: Stahl und Kupfer

2.
Ich habe drei Materialien die aneinander liegen durch die Thermische Ausdehnung dehnen sie sich aus und drücken aneinander
(Beton -><- Kupfer -><- Stahl -><- Kupfer -><- Beton)
welches der Materialien drück wieweit in welches?
Ich habe keine Ahnung wie ich denn hier vorgehen soll.

Für Problem 1.
Meine Formel:

a = Länge in Meter
v = Längenausdehnungskoeffizient von Kupfer | 1 / K 10^-6
w = Modulus of Elasticity von Kupfer | GPa N / m2
b = Länge in Meter
y = Längenausdehnungskoeffizient von Stahl | 1 / K 10^-6
z = Modulus of Elasticity von Stahl | GPa N / m^2
L = eingestaucht Länge in Meter

L = a*(e^(v*T)-1)*w/(w+z)-b*(e^(y*T)-1)*z/(w+z)
oder
L = b*(e^(y*T)-1)*z/(w+z)- a*(e^(v*T)-1)*w/(w+z)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da hätte ich folgende Vorschläge, die dir die Sache erleichtern dürften:

* passe bei der Wahl deiner Variablenbezeichnungen auf, dass sie eindeutig bleiben. Zum Beispiel verwendest du a offenbar einmal als Buchstaben für den Längenausdehnungskoeffizienten eines Materials, und einmal als eine Länge. Sollten dir mal die Buchstaben ausgehen, verwende gerne Indices unten an den Buchstaben dran, damit die Bezeichnungen eindeutig und aussagekräftig genug bleiben.

* Zum Verständnis deiner Formel in der 1. würde ich dir empfehlen, das in zwei Schritten zu betrachten:
Ein Stab hat eine Anfangslänge. Dann wird er erwärmt und dehnt sich auf eine neue Länge aus. Mit welcher Kraft muss man ihn dann von außen wieder zusammendrücken, damit er wieder seine Ausgangslänge hat?

* Zum Verständnis der 2. würde ich ebenfalls solche zwei Schritte (eventuell mit einem Zwischenschritt) zum Verständnis nehmen.

- Die Stäbe haben jeweils eine Anfangslänge. Dann werden sie erwärmt. Wie lang sind die Stäbe dann jeweils, und wie lang sind sie dann zusammen?

- eventuell als Zwischenschritt: hast du schonmal kennengelernt, wie man eine "Reihenschaltung zweier Federn" berechnen kann und welche Gesamt-Federkonstante diese Kombination aus zwei Federn hintereinander hat? Dann könntest du das da erhaltene Ergebnis verwenden. Oder es könnte sich lohnen so eine Aufgabe als Zwischendrin-Aufgabe zu lösen, um das nötige Handwerkszeug bereitzustellen.

Wenn du das für zwei hintereinanderliegende Stäbe hast, dann kannst du das im nächsten Teil des Zwischenschritts auf mehrere hintereinanderliegende Stäbe verallgemeinern.

- Mit welcher Kraft muss man nun auf die hintereinanderliegenden Stäbe drücken, damit ihre Gesamtlänge wieder auf die Gesamt-Ausgangslänge zusammenschrumpft? (Verwende daher gerne eine Größe, die der "Gesamt-Federkonstante mehrerer hintereinanderliegender Federn" entspricht, wie du sie in der Zwischenschritt-Aufgabe bereitgestellt hast.)

Erinnert dich so etwas an Dinge, die du bisher schon kennst und kannst? Hast du so etwas wie in dem angesprochenen Zwischenschritt vielleicht sogar schon in einer vorangegangenen Aufgabe oder einer vorangegangenen Teilaufgabe neulich erst kennengelernt?

Sven? · Gast

Das mit den Variabelenbezeichnungen wahr wohl nicht so gut gewählt.

* Zum Verständnis deiner Formel in der 1. würde ich dir empfehlen, das in zwei Schritten zu betrachten:
Ein Stab hat eine Anfangslänge. Dann wird er erwärmt und dehnt sich auf eine neue Länge aus. Mit welcher Kraft muss man ihn dann von außen wieder zusammendrücken, damit er wieder seine Ausgangslänge hat?

F = A * E * a * T | falsch ?

A = Fläche in m^2
a = Längenausdehnungskoeffizient | 1 / K 10^-6
E = Modulus of Elasticity | GPa N / m^2
T = Temperaturdifferenz | K
F = endstehenden Kraft | Kg * m / s^2

v = Längenausdehnungskoeffizient von Kupfer | 1 / K 10^-6
y = Längenausdehnungskoeffizient von Stahl | 1 / K 10^-6
w = Modulus of Elasticity von Kupfer | GPa N / m^2
z = Modulus of Elasticity von Stahl | GPa N / m^2
l = Längendrehung in Meter
l_0 = Ausgangslänge in Meter
K = Ausgangslänge von Kupfer in Meter
S = Ausgangslänge von Stahl in Meter

* Zum Verständnis der 2. würde ich ebenfalls solche zwei Schritte (eventuell mit einem Zwischenschritt) zum Verständnis nehmen.

- Die Stäbe haben jeweils eine Anfangslänge. Dann werden sie erwärmt. Wie lang sind die Stäbe dann jeweils, und wie lang sind sie dann zusammen?

l = l_0 * a * T

l = S * y * T + K * v * T = T * ( S * y + K * v )

eventuell als Zwischenschritt: hast du schonmal kennengelernt, wie man eine "Reihenschaltung zweier Federn" berechnen kann und welche Gesamt-Federkonstante diese Kombination aus zwei Federn hintereinander hat? Dann könntest du das da erhaltene Ergebnis verwenden. Oder es könnte sich lohnen so eine Aufgabe als Zwischendrin-Aufgabe zu lösen, um das nötige Handwerkszeug bereitzustellen.

Federkonstante D

D = A * E / l_0

1 / D = S / ( A * z ) + K / ( A * w ) = ( K * z + S * w ) / ( A * w * z )

D = ( A * w * z ) / ( K * z + S * w )

Wenn du das für zwei hintereinanderliegende Stäbe hast, dann kannst du das im nächsten Teil des Zwischenschritts auf mehrere hintereinanderliegende Stäbe verallgemeinern.

Allgemein:

Gemeinsame Federkonstante D

1 / D = 1 / D_1 + 1 / D_2 + ....

- Mit welcher Kraft muss man nun auf die hintereinanderliegenden Stäbe drücken, damit ihre Gesamtlänge wieder auf die Gesamt-Ausgangslänge zusammenschrumpft? (Verwende daher gerne eine Größe, die der "Gesamt-Federkonstante mehrerer hintereinanderliegender Federn" entspricht, wie du sie in der Zwischenschritt-Aufgabe bereitgestellt hast.)

D = F / l
F = D * l = ( A * w * z ) / ( K * z + S * w ) * T * ( S * y + K * v )

F = A * T * w * z ( K * v + S * y) / ( K * z + S * w )

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Es könnte sein, dass du nun alles richtig meinst, und es mit diesen Schritten nun selbst geschafft hast / schaffen wirst, das ganze vollends zu lösen.

Dein Variablenbezeichnungen sind für mich allerdings noch so ungewohnt und so schwer lesbar wie Programmcode, bei dem man bei fast jedem Buchstaben oben in der Definitionsliste nachschauen muss, mit dem Unterschied, dass manche Buchstaben nicht so gemeint sind wie in der Definitionsliste, sondern aus dem Zusammenhang erraten werden müssen (zum Beispiel hast du noch viele verschiedene Längen drin, die du alle l genannt hast). Ich habe deine Formeln daher bisher noch nicht im Detail kontrolliert, sondern bloß grob überflogen.

Fühlst du dich selbst vielleicht gleich schon sicherer, wenn du das ganze doch lieber mit passenden Indices und dafür mit den ursprünglich üblichen Buchstaben schreibst, gerne auch jeweils falls nötig mit den wirklichen griechischen Buchstaben anstatt mit lateinischen Ersatzbuchstaben? (Zum Eingeben hier ginge das mit Latex). Oder meinst du vielleicht, dass du nun mit deinen eigenen Schreibweisen schon für deine Zwecke gut genug durchblickst, und dich mit Details möglicher klarerer Schreibweisen erst bei einer nächsten Aufgabe auseinandersetzen möchtest, wenns dann sonst mal zu kompliziert würde, um selbst durchzublicken?

Sven? · Gast

Jeder ist es mit den Variabelenbezeichnungen anders gewöhnt, ich werde alle aufgestelten Formeln „kompakt“ in Latex mit den gegebenen Indizes versuchen zu schreiben

Ganzschön aufwendig erst mal zu finden im matheboard und nicht hir.

Reihenschaltung von Federn:

Fläche | m^2

Längenausdehnungskoeffizienten | 10^-6 * K^-1

Federkonstante | N / m

Elastizitätskoeffizient | N / m^2

Kraft | N

Ausgangslänge | m

Längenänderung | m

Temperaturdifferenz | K

Verteilt sich die Entstandene Kraft auf alle „Kontaktsellen“ gleich ?

Verteilt sich die Entstandene Längenänderung auf alle „Kontaktsellen“ gleich ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke, damit lassen sich deine Formeln gleich hundertmal leichter lesen und nachvollziehen smile

Alle Formeln in deinem letzten Beitrag scheinen mir okay, bis auf die zweite und damit auch den Ausdruck, den du im letzten Schritt für D_ges eingesetzt hast. Da hattest du in einem früheren Post schonmal eine andere Methode für die Bestimmung der Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung von Federn herausgefunden.

Sven? · Gast

sonst ist alles korekt ?

...., den du im letzten Schritt für D_ges eingesetzt hast. Da hattest du in einem früheren Post schonmal eine andere Methode für die Bestimmung der Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung von Federn herausgefunden.

Wenn ich ‚ D_ges ’ einsetze

und nach ‚ F ’ umstelle

dann kann ich ja ‚ D ’ gleich so lassen und muss erst nicht

nehmen um auf ‚ D ’ zu kommen.

Verteilt sich die Entstandene Längenänderung auf alle „Kontaktsellen“ gleich ?

Nein, die Längenänderung beim Zusammendrücken verteilt sich nicht gleichmäßig auf die Stäbe. Denn unterschiedliche Federn werden ja von der gleichen Kraft auch unterschiedlich stark zusammengedrückt.

Dann muss ich für jede Kontaktstelle wo sich die unterschitliche Materialien berühren für jedes Material die entstandene Längenänderung über

, da ja die Kraft über all gleich ist

ausrechen

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Sven? · Gast

Ich hab noch mal überlegt und bin auf

Algemein:

also

dem zu floge ist

nicht sondern:

phu *schwitz* smile

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das scheint mir schon viel besser auszusehen smile

Sven? · Gast

jetzt richtig nun fehlt nur noch die „eigestauchte Länge“ für jedes verwendete Material, ich denke mal das die „eingestauchte Länge“ von der Elastiziät ist abhänging aber wie genau ?

Da ja:

Verteilt sich die Entstandene Längenänderung auf alle „Kontaktsellen“ gleich ?

Nein, die Längenänderung beim Zusammendrücken verteilt sich nicht gleichmäßig auf die Stäbe. Denn unterschiedliche Federn werden ja von der gleichen Kraft auch unterschiedlich stark zusammengedrückt.

Idee:

entstandene Längenänderung über

,
da ja die Kraft über all gleich ist und von der Anzahl der Kontaktsellen ( k ) abhängt

liese es sich so ausrechen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Nochmal:

Die Kraft verteilt sich nicht auf alle Kontaktstellen. Sondern die volle Kraft wirkt an jeder Kontaktstelle.

Denn bei einer "Reihenschaltung" (eine Reihe von Stäben hintereinander) verteilt sich eine Kraft nicht, sondern wird voll weitergegeben.

Aufteilen einer Kraft hättest du in einem anderen Fall, nämlich bei einer "Parallelschaltung" von Stäben. Also bei vielen Stäben nebeneinander.

Sven? · Gast

In meiner Antwort ist wohl ein bischen was schiefgelaufen ich meinte mit den Kontaktsellen die Kontaktsellen eines der verwendenten Materialien.

Zum Beischspiel

k = Kontaktselle

(Kupfer -><- Stahl)

Kupfer und Stahl haben je nur eine Kontaktselle zum „Nachbarn“ also müste dann k = 1,

sein

(Beton -><- Kupfer -><- Stahl -><- Kupfer -><- Beton)

Beton hat je nur eine Kontaktselle zum „Nachbarn“ also müste dann k = 1, für Beton

sein.

Kupfer und Stahl haben je zwei Kontaktsellen zum „Nachbarn“ also müste dann k = 2

sein.

Aber es spielt ja noch die jeweilige Elastiziät ein Rolle, aber welche?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich würde nicht sagen, dass du da noch Kontaktstellen zu zählen bräuchtest. Denn das Zählen hast du ja glaube ich schon unter den Summenzeichen erledigt haben wollen, oder?

Und die jeweilige Elastizität der Stäbe hast du ja schon in deine Formeln für die Gesamtfederkonstante reingepackt.

Sven? · Gast

Ich würde nicht sagen, dass du da noch Kontaktstellen zu zählen bräuchtest. Denn das Zählen hast du ja glaube ich schon unter den Summenzeichen erledigt haben wollen, oder?

In welcher Formel hir

?

Und die jeweilige Elastizität der Stäbe hast du ja schon in deine Formeln für die Gesamtfederkonstante reingepackt.

AH!

Aber wie kommt man jetzt auf die „eingestauchte Länge“ des jeweiligen Materials, oder habe ich es schon erledigt und nicht mit gekriegt es gibt ja nur die gesamte Längenänderung?

mir fählt da nur

ein für die Längenänderung.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Sven? · Gast

Na für einen Stab, wenn du die Kraft daran kennst und die Elastizität des Stabes ... dann ist es ja nicht mehr schwer , oder?

Die wirkende Kraft ist ja:

dermarkus:
"Die Kraft verteilt sich nicht auf alle Kontaktstellen. Sondern die volle Kraft wirkt an jeder Kontaktstelle."

....die volle Kraft wirkt an jeder Kontaktstelle

demnach muss ich ja die Kontaktstelle des Materieals mit ein beziehen

und

zu

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, nun hast du den Bogen raus smile

Magst du dich nun mal mutig daran versuchen, die ganze Aufgabe sauber Schritt für Schritt konkret zu lösen, so weit du kommst?

Sven? · Gast

2.
Ich habe drei Materialien die aneinander liegen durch die Thermische Ausdehnung dehnen sie sich aus und drücken aneinander
(Beton -><- Kupfer -><- Stahl -><- Kupfer -><- Beton)
welches der Materialien drück wieweit in welches?

Fläche | m^2

Längenausdehnungskoeffizienten | 10^-6 * K^-1

Federkonstante | N / m

Elastizitätskoeffizient | N / m^2

Kraft | N

Ausgangslänge | m

Längenänderung | m

Kontaktselle

Temperaturdifferenz | K

Elastizitätskoeffizient für Beton | 10^9 * N / m^2

Elastizitätskoeffizient für Kupfer | 10^9 * N / m^2

Elastizitätskoeffizient für Stahl | 10^9 * N / m^2

Längenausdehnungskoeffizienten für Beton | 10^-6 * K^-1

Längenausdehnungskoeffizienten für Kupfer | 10^-6 * K^-1

Längenausdehnungskoeffizienten für Stahl | 10^-6 * K^-1

Ausgangslänge für Beton | m

Ausgangslänge für Kupfer | m

Ausgangslänge für Stahl | m

Längenänderung für Beton | m

Längenänderung für Kupfer | m

Längenänderung für Stahl | m

Kontaktselle für Beton

Kontaktselle für Kupfer

Kontaktselle für Stahl

Formeln:

Kraft:

Längenänderung:

spezifische Längenänderung:

mit eingesetzten gegebenan Daten:

nur da stimmt etwas nicht denn die Zahlen die rauskommen sind einfach viel, viel zu hoch ?? grübelnd

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich verstehe daran noch nicht so ganz, was du gemacht hast.

* Warum zählst du die Kontaktstellen anstatt der Stäbe? (Wobei ich selbst deine Zählung der Kontaktstellung noch nicht nachvollziehen konnte)

* Wie hast du am Ende die numerischen Werte berechnet? Von Hand und mit Taschenrechner-Eintippen, oder mit irgendwelchen automatischen Formellösprogrammen? Falls letzteres, haben die Programme deine etwas eigenwillige Notation bei den Summen eventuell missverstanden ?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

also ich glaube du bist gehörig auf dem Holzweg

Das ist die Länge um die sich alle Stäbe in Summe gedehnt haben aufgrund der Temperaturveränderung.
Lassen wir die Stäbe zunächst mal ausdehnen und legen sie dann wieder nebeneinander. Nun drücken wir mit einer Kraft F auf beide Enden der Stabkette. Jeder Stab wird mit F belastet.

für jeden Stab gilt dann

für ln begehen wir einen Fehler in dem wir wieder l0n einsetzen obwohl es eigentlich größer ist. Aber der wirkt sich nicht großartig aus, weil es nicht viel größer ist ausserdem ist der EModul temperaturabhängig, aber darüber kann man wegsehen.

nun gilt folgendes:

Die Summe aller delta l muß unserer gesamten Temperaturausdehnung entsprechen damit wir auf die Ursprungslänge zurückstauchen können.

E...Elastizitätsmodul.....

Was soll dieser D Wert Federwert bedeuten haben wir hier Federn oder Stäbe, also vergiss den.

Der Rest gehört nun dir.

Sven? · Gast

dermarkus:
alles "per Hand" stück für Stück ( mit Zwischenwerte )

Da Fläche und Temperaur bei allen gleich sind so verändert sich die Formel für die gesamte Kraft.

von

zu

aber ein Großes Problem:

VeryApe:
wieso ist ?

und welches gehört nun zu wen?

..._1,2,3 - Beton, Kupfer, Stahl ?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Bezüglich deiner Kontaktstellen, glaube ich das du glaubst das eine Kraft pro Fläche pro Kontaktstelle diese Dehnung erzeugt. Hast du also zwei Kontaktstellen so glaubst du hast du die doppelte Dehnung bzw Stauchung.

Das ist aber Blödsinn. weil es keine einzelne agierende Kraft auf einen Körper gibt. Najo in der Physik eigentlich schon in der Dynamik, aber die werden auch noch draufkommen. hier handelt es sich aufjedenfall um Statik,

Wenn du eine Feder zusammendrücken willsd benötigst du erfahrungsgemäss zwei Kräfte. wenn du nur mit einer Kraft draufdrückst dann kommt der andere Teil der Kraft von der Halterung bzw Wand etc oder aus der Trägheit.

Wenn man also meint ein Teil wird mit F zusammengedrückt dann meint man natürlich auf beiden Enden wirkt F in druckrichtung also +F und -F, bei Zug drehen sich die Kräfte um.

Das heißt die Kontaktstellen kannsd du dir sparen. Jeder Körper hat immer zwei Kontaktstellen

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

@sven je nachdem was du unter E1, E2 einsetzt

zum Beispiel 1 Kupfer 2 Stahl 3 Beton oder anders ganz egal.

diese Gleichungen folgen daraus das die Kraft über jeden Körper konstant wirkt, wenn eine größer wäre dann hättest du kein Gleichgewicht und der Körper würde sich bewegen.

Sven? · Gast

diese Gleichungen folgen daraus das die Kraft über jeden Körper konstant wirkt, wenn eine größer wäre dann hättest du kein Gleichgewicht und der Körper würde sich bewegen.

OH, Ja daran hatte ich nicht gedacht.

Jetzt währe alles komplett

1. die erzeugte Kraft bei verhinderter Wärmeausdehnung

mit:
da ja alle Flächen gleich sind und die gleiche Temperaturdifferenz herrscht

2. die daraus resultierende Längenverkürzung

mit:

da ja alle Flächen gleich sind und

ist

Ist:

dem nach ist auch:

Jetzt müsste alles komplett sein, oder habe ich noch was vergessen?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Sven? · Gast

Die Entstehung ist hier
von: Verfasst am: 17. Aug 2010 19:58
bis: Verfasst am: 18. Aug 2010 01:08
zu erfahren weiter vorne.

Wenn man den gleichen Elastizitätskoeffizient an nimmt ist es viel leichter zu rechen als so.

Aber es ist ein bisschen schlecht und ungewöhnlich, wenn es unterschiedliche Flächengrößen gibt (denn die Kraft sitzt nur da wo sich die Flächen auch berühren) zum Beispiel unterschiedliche Durchmesser oder Eckig auf Rund.

daher müssen alle Flächen gleich sein und da alle aneinander „hängen“ und bei der gleich Temperatur verbaut wurden haben auch alle die gleiche Temperaturdifferenz erfahren daher gilt:

Stück für Stück:

bei gleicher „Kontaktfläche“:

bei gleicher Temperaturdifferenz:

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

was heißt A hoch n-1=?

Sven? · Gast

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

hm.

wenn die Fläche konstant ist kann man sie aus der Summeln formel herausheben.

deine Formel kapier ich nicht, ich weiß nur das meine mit Sicherheit stimmt. Augenzwinkern

MFG

Sven? · Gast

Díe Endstehung ist doch ab
Verfasst am: 17. Aug 2010 20:06
bis
Verfasst am: 18. Aug 2010 01:08
zusehen

Vielleicht ist da beim "zusammenziehen" doch etwas schief gegangen.

ich habe darauf hin nochmals neu angefagen:

Reihenschaltung von Federn:

Fläche | m^2

Längenausdehnungskoeffizienten | 10^-6 * K^-1

Federkonstante | N / m

Elastizitätskoeffizient | N / m^2

Kraft | N

Ausgangslänge | m

Längenänderung | m

Temperaturdifferenz | K