Gültigkeit der Formel zur Berechnung der Wärmeausdehnung

-Graf Zahl- · Anmeldungsdatum: 09.12.2018 Beiträge: 4

Meine Frage:
Hallo, wenn ich eine simulierte Ausdehnung mit berechneten Werten vergleiche stelle ich fest, dass die Ergebnisse erst eine gute Übereinstimmung zeigen, wenn die Länge deutlich größer ist als die Breite.

Als Beispiel dient eine Aluminiumscheibe mit 400mm Durchmesser und einer Höhe von 100mm
Die berechnete axiale Ausdehnung bei einer Temperaturänderung von 60 Kelvin beträgt:

simuliert ergibt sich für

und somit eine Abweichung von ca. 40%

Wenn die Höhe auf 3000 mm geändert wird kommt eine Längenänderung von 4,158 mm berechnet und 4,22 mm simuliert heraus, was einer Abweichung von nur noch 1,5% entspricht.

Woran liegt das? Müsste es dann in der Formel nicht einen Korrekturfaktor geben, der das Verhältnis der Länge zur Breite berücksichtig. In meinen Physikbüchern habe ich dazu leider nichts gefunden.

Meine Ideen:
...

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5863

Wie hast Du denn das simuliert? Eigentlich sollte m.E. die Höhe und Breite keine Rolle spielen. Bei steigender Temperatur erhöht sich der mittlere Abstand der Atome/Moleküle, und der Körper dehnt sich gleichmässig in alle Richtungen aus. Bei anisotropen Einkristallen wäre es theoretisch möglich, dass die Ausdehnung richtungsabhängig ist, aber das ist hier nicht der Fall.

-Graf Zahl- · Anmeldungsdatum: 09.12.2018 Beiträge: 4

Ich habe mit simscale simuliert, comsol habe ich leider nicht. Ich hätte ja auch erwartet, dass es keinen Unterschied macht, aber irgendeinen Grund muss es ja für die Abweichungen geben.

Die Simulation ist eigentlich ganz einfach.
- Cad-Modell importieren,
- mesh erstellen
- eine axiale Fläche als festen Punkt definieren
- Materialwerte und

angeben
- und einen festen Temperaturwert für den Körper definieren.

Bild aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

Wenn ich den Durchmesser von 400 mm verkleinere nähert sich das Simulationsergebnis auch der Berechnung an.

berechnet: 0,139mm

simuliert:
50mm: 0,146mm
40mm: 0,145mm
20mm: 0,142mm
15mm: 0,141mm

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5863

Danke. Die Software kenne ich nicht. Aber das Ergebnis muss irgendwie mit dem Algorithmus zu tun haben, denn es kann ja nicht gut sein, dass sich z.B. eine 1cm^3-Probe anders verhält als eine 1dm^3-Probe (die relative Längenänderung muss dieselbe sein)...

-Graf Zahl- · Anmeldungsdatum: 09.12.2018 Beiträge: 4

Danke für deine Antwort.
Simscale ist eine Cloud-basierende Anwendung und hat den Vorteil dass man eine bestimmte Anzahl an Kernstunden kostenlos zur Verfügung hat.

Ich habe mal 2 Würfel mit 10mm und 100mm Kantenlänge simuliert:
10mm: 0,01551mm
100mm:0,1551mm
berechnet:0,01386 & 0,1386mm
Die relative Längenänderung ist dieselbe, nur stimmt es mit der berechneten Ausdehnung nicht überein. Wenn ich den Würfel schmaler machen würde, würde auch die Ausdehnung kleiner werden und sich dem berechneten Wert annähern.

Ich kann ich mir das auch nicht erklären. Vielleicht hat das Verhältnis Volumen zur Oberflächen damit etwas zu tun.
Wie man an dem Beispiel mit dem Stab sehen konnte, wird mit zunehmenden Durchmesser die (simulierte) axiale Ausdehnung größer. Meine Überlegung: Bei einem kleineren Durchmesser wird den Atomen bei der Ausdehnung in radialer Richtung ein kleinerer Wiederstand entgegengesetzt. Wenn sich ein auf der Mittelachse sitzendes Atom "ausdehnen" möchte gibt es weniger Atome in radialer Richtung, die sich dieser Ausdehnung entgegensetzen. Bei einem kleineren Druchmesser findet daher in axialer Richtung eine kleinere Ausdehnung statt da der Widerstand in radialer Richtung geringer ist.
Zu meiner Überlegung würde auch der simulierte Würfel passen(siehe Bild).

Bild aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

In den kanten, wo das Verhältnis Oberfläche zu Volumen groß ist, ist die Verschiebung kleiner. Die Atome, die sich an der Kanten befinden können sich leichter in y und z-Richtung ausdehnen als in x-Richtung.
Das wäre jetzt meine Überlegung, aber ich habe erhlich gesagt auch zu wenig Ahnung von Werkstoffkunde bzw. Festkörperphysik

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

Nö, da ist ganz einfach deine numerische Lösung falsch. Mal davon abgsehen dass die numerische Lösung auf der Theorie des analytischen Lösungsweges aufbaut.

Man sieht auch an der Grafik das die Lösung falsch ist. Denn die Längenausdehnung ist homogen. Als Lösung kommt für die Scheibe mit 100 mm folgender Gradient herraus:

+ 0,0694 mm
- 0,0694 mm

Das ergibt exakt die 0,139 mm von der analytischen Lösung.

In der Grafik ist die Längenausdehnung inhomogen, in nur einer Richtung und das ist, wie oben erwähnt, falsch.
Vermutlich hat man an einer Fläche der Scheibe eine RB in Form einer Lagerung aufgebracht.

Tja so einfach ist dann FEM wohl doch nicht, blöd gelaufen..

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

-Graf Zahl- · Anmeldungsdatum: 09.12.2018 Beiträge: 4

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982