umfallender Stab, Drehimpuls, Differenzialgleichung

BlackParrot · Anmeldungsdatum: 17.12.2016 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe gelöst, bin mir aber bei meiner Lösung nicht sicher:

Ein zu Beginn senkrecht stehender dünner und homogener Stab mit der Länge h und der Masse m fällt um, wobei sein Auflagepunkt nicht wegrutscht. Wir betrachten dabei den Winkel grübelnd

t), der zwischen der x-Achse (parallel zum Boden) und dem fallenden Stab den Winkel zum Zeitpunkt t nach Fallbeginn angibt.

Ich soll berechnen, welches Drehmoment (als Vektor) bzgl. des Auflagepunkts auf den Stab zu einem Zeitpunkt t > 0 wirkt.

Meine Ideen:
Meine Lösungsidee (folgende Größen sind eigentlich mit einem Vektorpfeil):

M = r x F

F ist hierbei die Gewichtskraft, die am Schwerpunkt angreift und r ist der Vektor vom Auflagepunkt (=Urpsrung des Kooridnatneystem) zum Schwerpunkt.
Wenn die x-Achse nach rechts, die y nach oben und die z-Achse nach vorn zeigt (ich weiß, unpraktische Einteilung, ging aber nicht anders...), dann heißt das:

M = (x_s | x_s | 0) x (0 | -mg | 0)
=> M = (cos?(t) * h/s | sin?(t) * h/s | 0) x (0 | -mg | 0) = (0 | 0 | -0,5 * m*g*cos?(t))

Ist dieser Vektor der richtige Drehmomentvektor bzgl. des Auflagepuntks, der im Koordinatenursprung liegt?

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor zeigt doch dann in negative z-Achsenrichtugn, oder?

Und dann möchte ich noch den Drehimpulsvektor bzgl. des Aufghalegpunkts berechnen: Doch wie ich den berechnen kann, weiß ich leider nicht.
L = w * J kann ich doch nicht verwenden, da es sich hierbei doch nicht um ein symmetrischen Körper bzgl. des Auflagepunkts handelt, oder?

Ich hoffe, dass ist jetzt nicht zu viel des Guten aber vielleicht kann mir jemand da eine kurze Hilfestellung geben :-)

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

BlackParrot · Anmeldungsdatum: 17.12.2016 Beiträge: 2

Hallo isi1,

1. zum Drehimpuls: J = 1/3 * m * h^2, also ist dann L = 1/3 * m * h^2 * w und w ist ja dann dβ(t)/dt. Stimmt das?

Tut mir leid, eigentlich wollte ich den Winkel phi(t) benennen, aber scheinbar hat der Editor seine Probleme damit.
Ich habe es so gemeint:
M = (x_s | x_s | 0) x (0 | -mg | 0)

=> M = (cos(β(t)) * h/2 | sin(β(t)) * h/2 | 0) x (0 | -mg | 0) = (0 | 0 | -0,5 * m*g*cos(β(t)) )

Das Kreuzprodukt habe ich hier richtig ausgerechnet, oder?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT

Bissel LaTeX: kleiner Aufwand, großer Nutzen!

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München