Das konische Pendel

Sly555 · Anmeldungsdatum: 28.03.2006 Beiträge: 3 Wohnort: MS

Hallo
Haben heute das konische Pendel im Bezug auf Kreisbewegungen analysiert. Wir mussten dabei eine Formel herleiten, die ich zwar selber auch hergeleitet und verstanden habe, allerdings im Nachhinein doch etwas von ihr verwirrt bin.
In der Formel soll gelten
l = Fadenlänge
f = Frequenz
beta = Winkel zwischen der Vertikalen und dem Faden
und natürlich g = Ortsfaktor

Es gilt

Mit der Herleitung und allem bin ich auch einverstanden aber:
Wenn l und g konstant sind und f frei wählbar ist, ist der Winkel doch bei ganz kleinem f gar nicht definiert, weil dann der

ist?

Dennoch weiß man aber, dass bei gaaanz kleiner Frequenz der Winkel nahezu 0 ist, warum ist dann der Kosinus nicht definiert?

Bitte helft mir beim Verständnis. Ich weiß nicht, ob ich falsch denke, ob die Formel falsch ist oder was auch immer...
Schonmal danke im Voraus!

mattz88 · Anmeldungsdatum: 19.06.2005 Beiträge: 36

vielleicht findet dann ja gar keine kreisbewegung mehr statt... ???
nur ne idee...

Sly555 · Anmeldungsdatum: 28.03.2006 Beiträge: 3 Wohnort: MS

Nur, weil die Frequenz klein ist? Würde ich nicht sagen.
Wenn man sich mal ein Bsp anguckt:

f = 0,1 Hz ; l = 1m ; g = 9,81m/s²
Dann ist nach Formel

ungefähr 24,849...(laut meinem Taschenrechner)

Gast

> Wir haben erst dann ein Problem, wenn der Schwanz mit dem Hund wedelt...

Hier wedelt die Formel mit der physikalischen Wirklichkeit, die sie abbilden soll.
F ist nicht frei wählbar, sondern ergibt sich aus dem Ansatz m*w^2*r = m*g*r/h
(r = Bahnradius, h = Konushöhe) als w^2 = g/h. Mit h/l = cos(a) wird daraus
w^2 = g/l*cos(a) (a = halber Konuswinkel, l = Fadenlänge) bzw. cos(a) = g/w^2*l.
Die Formel stimmt also, aber Mathematik ist nicht Physik, die hat Prinzipien.

Sly555 · Anmeldungsdatum: 28.03.2006 Beiträge: 3 Wohnort: MS

Gast

Unter Konuspendel hatte ich ein Kreispendel verstanden. Irrtum?
Das 'F' sollte auch für f wie Frequenz stehen und w für Kreisfrequenz.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich bin einverstanden mit der hergeleiteten Formel, und einverstanden mit der Beobachtung, dass es für zu kleine Drehfrequenzen Widersprüche gibt.

Man sieht, dass die hergeleitete Formel sagt, dass es keine Kreisbewegung mehr geben kann, wenn die Kreisfrequenz omega unter den kritischen Wert

fällt. Denn in diesem Grenzfall ist der Auslenkungswinkel beta des Kreispendels für die Kreisbewegung Null, und für kleinere Winkelgeschwindigkeiten wäre cos(beta) > 1.

Aber es fällt auf, dass die erhaltene Grenzkreisfrequenz gerade gleich der Kreisfrequenz einer Pendelbewegung für kleine Auslenkwinkel ist.

Also ist für eine zu kleine Kreisfrequenzt keine Kreisbewegung mehr möglich, sondern nur noch eine Pendelbewegung.

Gast

Beim Kreispendel ist doch die Gleichgewichtsbedingung, dass die resultierende Kraft aus Gewicht und Radialkraft den Faden spannt, also in dessen Richtung zeigt.

Daraus kam die Gleichung m*w^2*r = m*g*r/h, links steht die Radialkraft und rechts der zur Drehachse hin zeigende Anteil der Gewichtskraft. Sind beide gleich dann hat die Masse ihre Bahn gefunden, dazu gehört dann ein bestimmter Bahnradius und ein bestimmter vertikaler Abstand h zum Aufhängepunkt, beides abhängig von der Länge des Fadens, aber das Verhältnis r/h ist nur von g und der Kreisfrequenz w abhängig, dieses r/h ist der Tangens des halben Konuswinkels.

Die einzig freie Größe ist der Impuls der Pendelmasse, der Rest stellt sich selbst dazu passend ein. Ich kann weder r noch h noch w unabhängig voneinander vorgeben. Der Gleichung ist das völlig egal, da kann man auch Winkel über 90° einsetzen, aber physikalisch ist das nicht möglich, denn schon für 90° wäre eine unendliche Kreisfrequenz nötig. Der Tangens von fast 90° ist fast unendlich, dort wäre der Bahnradius fast gleich der Fadenlänge und die Konushöhe fast null (und der Faden zerrissen :-(.

Im anderen Grenzfall ist der Impuls null, der Radius null und die Konushöhe ist gleich der Länge des Fadens, keine Bewegung mehr. Dazwischen ist alles stetig, ich sehe keine untere Grenze oberhalb null.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gast

Ich glaube ich habs halb verstanden. Wenn ich die Höhe h des Konus durch (l - a) ausdrücke
(a = Abstand vom tiefsten Punkt) dann wird aus w^2 = g/h -> w^2 = g/(l - a), und für a = 0
ergibt sich w = Wurzel(g/l) was nicht gleichzeitig null ist.

Aber wie kommt man jetzt zu Wurzel(l/g)?

Gast

Eigentlich hätte ich es auch der Gleichung w^2 = g/h ansehen können, dass w^2 = 0 nur mit h -> inf möglich ist.
Die maximale Konushöhe ist aber durch l begrenzt, damit auch die minimale Frequenz. Sie entspricht damit der des
in einer Ebene schwingenden Pendels, w^2 = g/l. In diesem Sinne ist w nicht frei wählbar. Wenn das Pendel durch
Dämpfung ausschwingt sinkt die Frequenz nicht mit der Amplitude zusammen ab sondern bleibt erhalten. Im Fall des
Kreispendels nähert sie sich bis zum Stillstand dem durch w^2 = g/l gegebenen Wert an.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, das ist eine schöne anschauliche Begründung! Die endliche Pendellänge l erlaubt nur ein endliches omega = 2*pi*f. Und je länger das Pendel ist, desto kleiner wird die mögliche minimale Kreisfrequenz.