Anwendung komplexer Zahlen

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Hallo!
In einer guten Woche muss ich mein Fachreferat über komplexe Zahlen halten! Die ganzen Theoretischen Grundlagen sind mir jetzt klar, aber jetzt hab ich noch ein Problem. Ich soll noch ein Beispiel für die praktische Anwendung dieser Zahlen erklären. Am Besten sei ein Vergleich eines Rechenweges ohne diese Zahlen und dann dazu eine schnellere Lösung mit den komplexen Zahlen.
Als Anwendungsgebiet hab ich an eine komplexe Wechselstromrechnung gedacht, nachdem ich Blindwiderstände, Phasenverschiebung etc. schon zu genüge in meiner Lehre berechnet hab. Leider ohne komplexe Zahlen.
Wenn von euch jemand ein gutes Beispiel hätte, an dem man den Vorteil dieser Zahlen sieht, wär ich sehr Dankbar!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn dir das nicht zu kompliziert ist, dann kannst du das Lösen der Differentialgleichung für eine Siebkette mit L, C und R

http://www.physikerboard.de/htopic,4812,.html

oder für einen gedämpften Schwingkreis mit L,C und R als Beispiel nehmen.

Wenn du die zeitliche Abhängigkeit der Spannung mit

ansetzt und dann am Ende Betrag und Phase des komplexen Ergebnisses ausrechnest, ist die Rechnung angenehmer als mit Sinus und Cosinus, und erfordert weniger Rechentricks, sobald man schon mit den komplexen Zahlen sicher rechnen kann.

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Danke für die schnelle antwort.
Ein Beispiel für so eine Rechnung haste grad nicht zufüllig parat, oder?
Hört sich ziemlich kompliziert an. Aber ein viel einfacheres Beispiel wirds wohl nicht geben...

Gast

Wie wärs denn, wenn du einfach mal die einfachste Form der Schrödingergleichung (zeitunabhängig, für ein freies Teilchen, d.h. ohne Potential) löst?

Geht das überhaupt ohne komplexe Zahlen? Weiß ich grad gar nicht....

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Wenn ich ehrlich bin, dann muss ich sagen das ich noch nie was von einer Schrödingergleichung gehört habe. Hab mir das grad kurz angeschaut und muss sagen, das dies zu kompliziert für mich ist. Aber danke für den Vorschlag!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Rechung für die gedämpfte Schwingung findet sich in ganz vielen Physikbüchern, und online hab ich sie z.B. grade hier gefunden:

http://htc.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/gedaempft.htm

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Danke, aber ich wär gern bei Wechselstromrechnung geblieben, oder meint ihr das mechanische Schwingungen einfacher wären? Bei Strom hät ich halt bessere Vorkenntnisse.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich glaube, dass der komplexe Ansatz in der Elektrotechnik eigentlich recht viel für ein Thema hergeben kann - erlaubt er doch alle aus der Gleichstromtechnik bekannten Methoden unmittelbar auf Impedanzen zu übertragen. der Scheinwiderstand ist dann einfach der Betrag des komplexen Widerstands, während seine Phase die Verschiebung zwischen Spannung und Strom angibt.

Beispiel:

RC-Filter, etc...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Eure Vorschläge waren bestimmt alle gut, aber irgendwie waren die zu kompliziert für mich, und verstanden hät das glaub auch keiner bei dem Referat.
Ich hab mir jetzt selber mal ein Beispiel überlegt, bei dem ich komplexe Zahlen verwende.
Mein ziel ist es bei der Schaltung die Phasenverschiebung der Spannung und des Gesamtstromes zu berechnen.
Bin mir aber nicht sicher ob ich das so machen darf, wie ich alles gemacht habe. Könnte das bitte schnell einer durschauen.
Ist es eigentlich möglich auf die phasenverschiebung ohne komplexe zahlen zu kommen? mir fällt da keine lösung ein. Wär vielleicht super wenn mir das noch einer sagen könnte wie es geht, wenn es überhaupt möglich ist.
Ich hoffe die Rechnung ist lesbar und auch verständlich, wenn nicht bitte nur kurz bescheid geben.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dein Rechenweg sieht gut aus. Um die Phasenverschiebung ohne komplexe Zahlen zu berechnen, würde man anfangen, Zeigerdiagramme zu malen und Winkel in Dreiecken berechnen. Das ist aber de facto nichts anderes als das Rechnen mit komplexen Zahlen, nur mit zusätzlichem Denkaufwand fürs Aufmalen.

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Super Danke! Das freut mich das es passt!
Aber wie genau sieht es nun ohne Komplexe Zahlen aus. Das ist soweit wichtig für mich, da ich ja einen vergleich machen möchte bzw. sollte, an dem man sieht das es ohne Komplexe zahlen auch möglich ist, aber mit mehr Aufwand verbunden ist.
Ich weiss grad echt nicht mit welchem Zeigerdiagramm ich anfangen müsste! Da wär noch ne kleine Hilfestellung echt super!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ohne komplexe Zahlen würdest du das verwenden, was du schon mit R, X und Z angedeutet hast:

Z_1 hat die Komponenten R_1 und X_1. Die Richtung des Stromvektors I_1 ist dieselbe wie die des Vektors Z_1, der Betrag des Stromvektors ist gleich dem Betrag der Spannung durch den Betrag des Widerstandes Z_1. Ebenso für I_2.

Da der Gesamtstrom die Summe dieser beiden Teilströme ist, erhältst du ihn durch vektorielles (also komponentenweises) Addieren der Pfeile für I_1 und I_2. Und aus der Richtung dieses Summenpfeils für den Gesamtstrom bestimmst du den Phasenwinkel.

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Aber darf ich einfach die Stromvektoren addieren? Das wär ja dann so als ob ich einfach beide Blindwiderstände und beide Wirkwiderstände zusammenzähle, und ein Zeigerdiagramm daraus mache. Oder versteh ich jetzt grad was falsch?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Stromvektoren I_1 und I_2 darfst du in der Tat hier vektoriell addieren, weil sich bei einer Parallelschaltung die beiden Teilströme addieren.

Das ist allerdings nicht dasselbe, wie wenn du die beiden Widerstandsvektoren Z_1 und Z_2 addierst, denn du hast ja beim Berechnen der Länge dieser Stromvektoren festgestellt, dass ihre Länge umgekehrt proportional zum Betrag der entsprechenden Widerstandsvektoren ist.

(Beim komplexen Rechnen hast du ja auch die Kehrwerte der Widerstände genommen, um den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung und daraus den Gesamtstrom zu berechnen.)

Andi · Anmeldungsdatum: 26.03.2006 Beiträge: 8

Top! Jetzt weiss ich wo ich falsch gelegen bin. Jetzt komm ich auch auf das gleiche Ergebnis, wie mit den komplexen Zahlen.
Danke nochmal!