Komplexer Widerstand bei Wechselstromschaltung

maltee99 · Gast

Kann mir jemand helfen den Komplexen Widerstand der Folgenden Schaltung zu berechnen:

[img]img-hosting.de/show.htm?bild=25864schaltungjpg[/img]

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Das sind zwei komplexe Widerstände in Parallelschaltung. Den Gesamtwiderstand berechnet man nach der bekannten Gleichung Rges = R1*R2/(R1+R2)

Hier allerdings komplex: Zges = Z1*Z2/(Z1+Z2)

mit

Z1 = R+jXL
Z2 = R-jXc

Bevor hier jemand meckert, das müsse aber R+jXc heißen, stelle ich vorsorglich fest, dass ich, wie bei Energietechnikern üblich, definiert habe Xc = 1/wC (Nachrichten- und Regelungstechniker bevorzugen die Definition Xc = -1/wC). Die "energietechnische" Definition hat den Vorteil, dass man auch ohne die Blindwiderstände in ihrer Abhängigkeit von w (omega) darzustellen, sofort erkennt, welche Imaginärteile positiv und welche negativ sind. Außerdem hat man weniger Probleme mit der Aussage, Xc sei der Betrag des kapazitiven Widerstandes. Denn nach "nachrichtentechnischer" Definition wäre dieser Betrag negativ, was dem Normalempfinden widerspricht, wonach ein Betrag eigentlich immer positiv ist.

maltee99 · Gast

Kurze Frage, wieso hast du da stehen:

1. Z1 = R+jXL
Ich kannte den induktiven Blindwiederstand nur als XL was ist das j?

2. Z2 = R-jXc
Ich habe in meinem Buch Xc auch als Xc = 1/wC Deffiniert, das mit dem minus verstehe ich aber dennoch nicht. Bei Z2 sind R und C doch auch in Reihe und müssten folglich doch addiert werden oder?

MfG

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Die Aufgabenstellung lässt erkennen, dass von Dir die Kenntnis der komplexen Rechnung in der Wechselstromlehre erwartet wird. Deine Fragen zeigen dagegen, dass Dir die komplexe Rechnung ein Buch mit sieben Siegeln ist. Wie kommt das? Nicht aufgepasst?

In der komplexen Rechnung bei Wechselstrom werden Spannungen, Ströme und Widerstände als komplexe Größen dargestellt, haben also demuzufolge immer einen Realteil und einen Imaginärteil. Für Widerstände gilt, dass ein ohmscher Widerstand immer reell ist (Wirkwiderstand), ein induktiver oder kapazitiver Widerstand immr imaginär (Blindwiderstand). Induktiver und kapazitiver Widerstand unterscheiden sich durch ihr Vorzeichen. Ein induktiver Widerstand ist immer j*wL (mit j = sqrt(-1)), ein kapazitiver immer -j*1/wC. Komplexe Widerstände werden in der komplexen Ebene durch "Pfeile" dargestellt, sog. Operatoren (die im Gegensatz zu den rotierenden Strom- und Spannungs-Zeigern sich nicht um den Ursprung drehen). Diese Operatoren können wie Vektoren parallel verschoben und damit addiert und subtrahiert werden. So setzt sich in Deiner Aufgabe der Widerstand des oberen Zweiges additiv aus einem Realteil R und einem positiven Imaginärteil wL, der des unteren Zweiges aus einem Realteil R und einem negativen Imaginärteil -1/wC zusammen, in der jeweiligen Addition also

Z1 = R+j*wL
Z2 = R-j*1/wC

maltee99 · Gast

Habe das Thema erst seid 1 Woche und habe es nicht so ganz verstanden, deine Erklärung jedoch war echt super, bis hierhin schonmal großen dank.

Also ich habe nun (hoffentlich richtig) weitergerechnet:

Ist das soweit richtig?
In der Aufgabe ist ja gefragt, dass ich den Widerstand als Funktion von C bestimme, wie mache ich das?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Bis auf den ersten Term ist soweit alles richtig. R*R ist nicht 2*R, sondern R². das musst Du noch vebesseren. Und dann solltest Du alles, was kürzbar ist, kürzen, und wo sich was ausklammern lässt auch ausklammern. Ich schreib das zum Vergleich mal hier auf:

Zges = [R²+L/C + j*R*(wL-1/wC)]/[2*R + j*(wL-1/wC)]

Und das ist ja bereits eine Funktion von C: links vom Gleichheitszeichen steht Zges und rechts ein Ausdruck, in dem C vorkommt, der also eine Funktion von C darstellt.

Laut Aufgabenstellung wird von Dir erwartet, den komplexen Widerstand zu bestimmen, der zwar so wie er da steht schon stimmt; aber eigentlich erwartet man einen komplexen Ausdruck der Form Realteil +j*Imaginärteil. Dazu musst Du den komplexen Ausdruck im Nenner erstmal loswerden. Dazu gibt es einen Trick, nämlich den der Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners. Schau Dir das mal im Buch an.

Die nächste Aufgabe, nämlich C so zu bestimmen, dass der Imaginärteil von Z verschwindet und der Realteil gerade R ist, lässt sich jedoch mit dem hier schon vorliegenden Ausdruck bereits lösen. Du setzt den obigen komplexen Ausdruck gleich R und löst nach C auf:

[R²+L/C + j*R*(wL-1/wC)]/[2*R + j*(wL-1/wC)] = R

Nenner auf die andere Seite und ausmultiplizieren

---> R²+L/C + j*R*(wL-1/wC) = 2*R² + j*R*(wL-1/wC)

Hier hebt sich der Imaginärteil auf beiden Seiten der Gleichung bereits auf, und es bleibt stehen:

R²+L/C = 2*R²

L/C = R²

---> C = L/R²

maltee99 · Gast

Hi, ich bins noch mal, ich musste nun doch die Definition: Z2 = R+jXc verwenden, dadurch bekomme ich als zwischenschritt dann:

raus.

Wegen dem Komplex konj. habe das nun mal gerechnet:

Für den 2ten teil bekomme ich mit meinem Ansatz dann:
C=-(L/R^2)
raus.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861