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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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 Timmi95 Verfasst am: 30. Jun 2016 22:11 Titel: Operatoren und Hermitezität |
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Meine Frage:
Hallo zusammen
Also ich habe ein Verständnis Problem bei der folgenden Aufgabe
http://www.pic-upload.de/view-31082858/Aufgabe1.png.html
Ich hab zwar einige Gedankensätze, aber kann sie nie weiter ausführen
Ich freue mich auf Hilfe (und entschuldige mich schonmal für meine Doofheit ^^')
Meine Ideen:
a) Ich habe mir zuerst überlegt, dass die Definition von hermitisch ja heißt:
Für das A kann man ja dann die Klammer aus der Aufgabe einsetzen
Es folgt
=(A+A^{+})^{+}
<br />
A+A^{+}=A^{+}+A^{+^{+}}
<br />
A+A^{+}=A^{+}+A
<br />
)
Also ist also die Klammer hermitesch?
b)Es gilt ja allgemein, dass der Kommutator ungleich null ist, außer beide Operatoren sind hermetisch
Aber wenn der Kummutator dann null ist in dem Fall, kann man nichts mehr über die (Anti-)Hermitezität sagen oder? Da komm ich nicht weiter bzw hab auch keinen Ansatz
c) Dementsprechend komm ich auch bei c nicht mehr weiter
d)
Eine andere Definition von Hermitesch ist
\, dx = \int \! (F \phi)^* \Psi \, dx )
Daraus folgt wohl
Der Imaginärteil würde sich ja dann bei Adjugation wegheben oder?
Also wäre der Eigenwert immer reell, aber das klingt zu simpel
e) Tut mir leid, aber da hab ich leider echt keine Idee zu |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2016 23:00 Titel: |
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Schau erst mal hier zur unpräzisen Verwendung des Begriffs hermitesch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitescher_Operator
Deine unter d) verwendete Definition ist ohne Nennung der Grenzen des Integrals nicht korrekt. Außerdem führt diese Definition nur auf sogenannte symmetrische Operatoren. Demgegenüber bedeutet die stärkste Forderung selbstadjungiert, dass
i) der Operator A symmetrisch ist und dass
ii) die Definitionsbereiche des Operatots und des adjungierten Operators identisch sind.
Zum Unterschied: betrachte genügend schnell fallende Funktionen f(x) auf der positiven reellen Achse; dies entspräche einer bei x=0 eingespannten Saite, also
 = 0)
 = 0)
Dann gilt für symmetrisches
^\ast\,g = \langle Af|g\rangle )
Dabei habe ich partielle Integration durchgeführt sowie verwendet, dass der Randterm
verschwindet.
Aber dieser Randterm verschwindet wg. f(0) = 0 auch, wenn g(x) = nicht erfüllt ist, d.h. für die Definitionsbereiche (domain) gilt
Damit ist A auf diesem Definitionsbereich symmetrisch, jedoch nicht selbstadjungiert.
Auf einem endlichen Intervall treten zwei Randteme auf; interessanterweise ist A dann ebenfalls nicht selbstadjungiert, es existiert jedoch eine selbstadjungierte Erweiterung.
Spiel doch deine Ideen mal anhand von
und partieller Integration durch; vieles sollte sich dann klären. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2016 23:17 Titel: |
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Ignorieren wir die o.g. Subtilitäten im folgenden mal - wie so viele Physiker - dann reduziert sich die Aufgabe im wesentlichen auf endlich-dimensionale N * N Matrizen mit komplexen Einträgen.
Dann ist
)
 = (a^\ast_{ki}))
)
Damit sollten a,b) lösbar sein
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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| Timmi95 Verfasst am: 30. Jun 2016 23:37 Titel: |
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Erstmal vielen lieben Dank für die Antwort
Leider versteh ich nicht so ganz, wie mir die Matrix elemente bei der a und b weiterhelfen soll
Also wenn man jetzt  rechnet, würde man das Matrixelement ) und ) addieren, sind diese Elemente komplex würde das Ergebnis ja zweimal der Realteil ergeben, jedoch versteh ich nicht wie mir das helfen soll :/
sorry ich bin in so Dingen echt schlecht |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2016 23:57 Titel: |
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Schreib das doch mal aus:
 + (x_{ki} - iy_{ki}) = (x_{ik} + x_{ik}) + i(y_{ik}- y_{ki}))
Jetzt wendest du darauf gliedweise wiederum
^\dagger = (\ldots)_{i \leftrightarrow k}^\ast)
an.
Wie lautet das Ergebnis? Was stellst du fest? |
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2016 09:56 Titel: |
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Schreib doch bitte die Formeln hier rein; sonst kann man das weder vernünftig lessen noch zitieren.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 01. Jul 2016 10:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2016 10:01 Titel: |
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Zu deiner ersten Formel
^\ast)
Das ist falsch; es muss
^\dagger = (a_{ik} + a^\ast_{ki})^{\ast t} )
lauten.
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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| Timmi95 Verfasst am: 01. Jul 2016 10:03 Titel: |
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<br />
=(x_{ik}+iy_{ik})+(x_{ki}-iy_{ki})
<br />
=(x_{ik}+x_{ki})+i(y_{ik}-y_{ki})
<br />
<br />
(A+A^{+})^{+}
<br />
=((a_{ik}+a*_{ki}))*
<br />
=(a*_{ik}+a_{ki})
<br />
=(x_{ik}-iy_{ik})+(x_{ki}+iy_{ki})
<br />
=(x_{ik}+x_{ki})+i(y_{ki}-y_{ik})
<br />
)
Also beim der y-Klammer jweils, sind die Indizes vertauscht, wahscheinlich hab ich wohl irgendwie was falsch
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Entschuldigt meine Blödheit ^^' |
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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| Timmi95 Verfasst am: 01. Jul 2016 10:16 Titel: |
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Asooo ah danke, durch das tranponieren vertauschen sich ja dann die indizes beim y und dann passt es ja 
So dann mal zu b ^^'
Hilft hier wahrscheinlich dann auch das auszuschreiben
Ich versuch mich mal daran
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Entschuldigt meine Blödheit ^^' |
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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| Timmi95 Verfasst am: 01. Jul 2016 11:02 Titel: |
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Also hab mal was probiert bei b) und c)
b)
Es gilt ja
^{+}=B^{+}A^{+}
<br />
)
Dann kann man für den Kommutator schreiben
^{+}
<br />
=(AB)^{+}-(BA)^{+}
<br />
=B^{+}A^{+}-A^{+}B^{+}
<br />
=-(AB-BA)
<br />
=-\left[A,B\right]
<br />
)
Also ist wohl der Kommutator antihermitesch
Bei Antikommutator eig dann dasselbe gemacht und herausbekommen, dass dieser hermitesch ist
c)
Ich hab jetzt hier einfach die Summe von Kommutator und Anitkommutator benutzt, da würde sich ja das -BA vom Kommutator und +BA vom Antikommutator wegkürzen, es bleibt 2*AB übrig
Also gilt wohl für das Produkt AB:
<br />
)
und da der Kommutator antihermitesch (und Antikommutator hermitesch) ist wie in b gezeigt, wurde ja die c gelöst oder?
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Entschuldigt meine Blödheit ^^' |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Jul 2016 14:52 Titel: |
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Sieht gut aus!
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Timmi95
Anmeldungsdatum: 30.06.2016
Beiträge: 8
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| Timmi95 Verfasst am: 02. Jul 2016 18:35 Titel: |
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Ok, dann danke ich für deine Hilfe und Mühe!!
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Entschuldigt meine Blödheit ^^' |
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