Unschärferelation eines Teilchens im Potentialkasten

chris2 · Gast

Meine Frage:
Hallo!

Ich befasse mich momentan mit dem "Teilchen im Potentialkasten" (aus dem Buch Demtröder 3). Ich bin dabei auf etwas gestoßen, was mich total irritiert..

Es geht dabei um die Unschärferelation. In dem Buch wird die Nullpunktsenergie aus der Forderung

berechnet.

(Ich konnte das Beispiel auch auf Wikipedia finden, dort wurde die selbe Forderung angenommen: https://de.wikipedia.org/wiki/Teilchen_im_Kasten#Grundzustand)

Die Berechnung selbst verstehe ich, mir ist allerdings nicht klar warum dort h/2 steht. Generell steht bei der Unschärferelation auf der rechten Seite ständig etwas Neues..

Jedenfalls hab ich mir daher einige Seiten im Internet angesehen. Im Demtröder hab ich mir das Kapitel zur Unschärferelation auch noch einmal durchgelesen, allerdings würde ich lügen wenn ich behaupten würde, ich hätte die Herleitung komplett verstanden.. Es steht aber dort, dass für ein gaußförmiges Wellenpaket

gilt. Und "Wählt man als Breite des Wellenpaketes den Abstand der beiden ersten Nullstellen (was bei dem Potentialkasten-Beispiel gemacht wird, oder?) auf beiden Seiten des zentralen Maximums, so erhält man

Letztendlich hab ich auch einen Beitrag hier im Forum gefunden (http://www.physikerboard.de/topic,47303,-heisenbergsche-unschaerferelation.html), in dem behauptet wurde

wäre die "richtige Variante". Aber alle dieser Varianten widersprechen der obigen Forderung mit der die Nullpunktsenergie berechnet wird..

Wäre wirklich toll, wenn sich jemand melden könnte. Für mich sieht das momentan ziemlich hoffnungslos aus :(

Schöne Grüße und vielen Dank fürs Lesen!

Meine Ideen:
.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Man kann die Unschärfenrelation für beliebige Observablen A, B exakt herleiten:

Robertson-Schrödinger-Unbestimmtheitsrelation

Speziell für x, p folgt

Alles andere sind hand-waving arguments.

chris2 · Gast

Vielen Dank für deine schnelle Antwort und den Link!

Mir stellt sich dann noch eine Frage :x

Heißt das dann, dass die obige Forderung eigentlich ungenauer gewählt wurde als nötig? Mathematisch gesehen ist die Annahme nämlich nicht ganz richtig, glaub ich..?

Denn

Das heißt der Wert kann wegen dieser "Annahme" nicht mehr zwischen h/2 und h/4pi liegen?

Schöne Grüße, vielen Dank nochmal!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Das ganze Argument ist hand-waving!

Zum ersten benötigt man für die kinetische Energie p², nicht p. Zum zweiten benötigt man eben p², die Unschärfenrelation liefert jedoch Δp, nämlich die Streuung des Wertes, nicht den Wert selbst, d.h. man benötigt noch ein Argument wie Wert und Streuung zusammenhängen. Zuletzt benötigt man noch eine Abschätzung für Δx.

Jede dieser Abschätzungen führt immer nur auf eine Größenordnung, also p ~ Δp, Δx ~ L, und da ist eine weitere Abschätzung Δx ⋅ Δp ~ h/2 auch nicht schlimm.

Schlimm ist, wenn einem die Herleitung der Grundzustandsenergie als exakt verkauft wird und verschwiegen wird, dass das alles nur grobe Abschätzungen sind, wobei in jedem Schritt numerische Konstanten unbekannt sind.

chris2 · Gast

Hmm.. verstehe :x Tut mir leid, ich hatte eben zuerst auch angenommen dass das ein exakter Wert sein soll.

Nochmal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast um mir zu antworten! Hab noch einen schönen Tag, danke! Big Laugh