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Interpretation der Unschärferelation
 
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New_theory



Anmeldungsdatum: 15.02.2014
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Beitrag New_theory Verfasst am: 15. Feb 2014 23:25    Titel: Interpretation der Unschärferelation Antworten mit Zitat

Hallo liebe Forengemeinde!

Wie darf ich Heisenberg's Unschärferelation verstehen?
Angenommen, ich lasse eine Messung des Impulses fallen, würde ich dann den Ort des Teilchens, Ereignisses... infinitesimal genau bestimmen können?

Mit freundlichen Grüßen
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 00:20    Titel: Antworten mit Zitat

Die Unschärfenrelation ist (entgegen der ursprünglichen Argumentation von Heisenberg sowie entgegen der häufig verbreitet Ansicht) keine Eigenschaft oder Folge einer Messung, sondern eine intrinsische und universelle Eigenschaft des Quantenzustandes - auch ohne Messung. D.h. dass ein Quantenobjekt zwingend diese nicht-verschwindende Unschärfe (im Sinne eines Produktes) hat.

Richtig ist aber, dass es Eigenzustände z.B. zum Impuls gibt, d.h. Zustände, in denen der Impuls scharf ist (seine Unschärfe also verschwindet) während der Ort maximal unscharf ist (seine Unschärfe also gegen Unendlich geht). Aber das gilt unabhängig von jeder Messung.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
New_theory



Anmeldungsdatum: 15.02.2014
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Beitrag New_theory Verfasst am: 16. Feb 2014 00:36    Titel: Interpretation der Unschärferelation Antworten mit Zitat

Danke
New_theory



Anmeldungsdatum: 15.02.2014
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Beitrag New_theory Verfasst am: 16. Feb 2014 02:53    Titel: Interpretation der Unschärferelation Antworten mit Zitat

Ich bin mir ziemlich sicher, daß da was fehlt; glaube nicht, daß scharfer Impuls existiert.

Dann wäre (einfachst gedacht) die Unschärfe größer als laut Relation, aber derzeit wüßte ich den Formalismus nicht zu handhaben.

Mit freundlichen Grüßen
TomS
Moderator


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Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 09:51    Titel: Antworten mit Zitat

Eine Wellenfunktion mit scharfem Impuls erhält man mittels der Deltadistribution. Im Impulsraum wäre das



Die zugehörige Wellenfunktion im Ortsraum, die Ebene Welle erhält man mittels Fouriertransformation



Dabei muss man jedoch einiges beachten:
1) diese Wellenfunktionen sind nicht mehr quadratintegrabel; die Mathematik wird entsprechend aufwändig
2) die Unschärfenrelation ist nicht mehr direkt anwendbar, da die o.g. Wellenfunktionen einige Voraussetzungen erfüllen, die zu ihrer Herleitung benutzt wurden
3) mathematische Formalismus garantiert noch nicht, dass entsprechende Zustände auch in der Natur existieren; ebene Wellen sind sicher nur eine Idealisierung (allerdings liefern sie z.B. in der Streutheorie hervorragende Übereinstimmung mit dem Experiment)

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Seelachs
Gast





Beitrag Seelachs Verfasst am: 12. März 2014 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

Man kann kosmologisch argumentieren, dass in der Natur keine ebenen Wellen(-Funktionen) realisiert sind, da ein Wellenpaket nicht in endlicher Zeit in eine ebene Welle delokalisieren kann und gemäß der Urknalltheorie vor endlicher Zeit das gesamte Universum in einem Delta-Peak lokalisiert war.

Zudem geht für ein Teilchen deren Ortswellenfunktion eine ebene Welle ist, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für jedes endliche Volumen gegen null, es wäre also praktisch nicht mehr auffindbar. Das ist äquivalent zur nicht-Normierbarkeit der WF. Damit sind die WF gemäß des "axiomatischen" Formalismus der Quantenmechanik nicht gültig, da Normierbarkeit (bzw. quadratintegrabilität) der Zustände dort Teil ihrer Definition ist.

Sinnvolle Ergebnisse mit ideal lokaliserten/delokalisierten Wellenfunktionen erhält man nur dann, wenn ihre Quotienten betrachtet, also nur Aussagen über relative Wahrscheinlichkeiten macht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 12. März 2014 21:14    Titel: Antworten mit Zitat

Die Frage, ob ebene Wellen als Elemente eines verallgemeinerten Funktionenraumes (Gelfand-Triple, Distributionen) tatsächlich realisierbar (also experimentell präparierbar) sind haben wir hier nicht diskutiert. Und der Formalismus der QM kann darüber auch nichts aussagen.

Es gibt auch Beispiele für quadratintegrable, jedoch unphysikalische Wellenfunktionen.

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Seelachs



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 31

Beitrag Seelachs Verfasst am: 12. März 2014 23:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hatte in Erinnerung dass zum 1. Postulat der Quantenmechanik "Die Wellenfunktion ist über dem gesamten Definitionsbereich quadratisch integrierbar" gehörte.
Irgendein Gremium hat das in den 30ern oder so beschlossen? Walter Greiner oder so?
War auf jeden Fall Teil der QM-Vorlesung, soweit ich mich erinnere.

Aber ich wollte dir mit meinem Beitrag auch nicht widersprechen, dich korrigieren oder eine Diskussion beginnen, hab lediglich noch ein wenig populärwissenschaftlichen Senf dazugeben, der einen Laien interessieren könnte.
geometrischephysik



Anmeldungsdatum: 01.01.2014
Beiträge: 291

Beitrag geometrischephysik Verfasst am: 12. März 2014 23:52    Titel: Antworten mit Zitat

Es wird gesagt, dass man den Eigendrehimpuls (Spin) nicht als Folge einer Drehung ansehen kann Obwohl da ein Drehimpuls zu messen ist und auch mathematisch als solche beschrieben wird, darf man nicht davon ausgehen, dass da tatsächlich etwas sich dreht.

Das gleiche gilt auch für ein Elektron in einem Wasserstoffatom Da wird auch mathematisch eine schwingende Saite in Form einer stehenden Welle beschrieben, was mit den Ergebnissen der experimentellen Beobachtungen übereinstimmt Man darf jedoch nicht davon ausgehen, dass ein Elektron in Wirklichkeit auch so aussieht

Was wäre dann mit der Unschärferelation (zB. Ort des Elektrons), wenn das Elektron in der Wirklichkeit tatsächlich diese schwingende Saite ist und nicht etwas mysteriöses ,das nur mathematisch so beschrieben werden kann?
Gehört dann die gesamte Märchenerzählungen über die Unschärferelation im Papierkorb oder nicht?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 13. März 2014 00:34    Titel: Antworten mit Zitat

Seelachs hat Folgendes geschrieben:
Ich hatte in Erinnerung dass zum 1. Postulat der Quantenmechanik "Die Wellenfunktion ist über dem gesamten Definitionsbereich quadratisch integrierbar" gehörte.
Irgendein Gremium hat das in den 30ern oder so beschlossen? Walter Greiner oder so?
War auf jeden Fall Teil der QM-Vorlesung, soweit ich mich erinnere.

Ein Gremium hat da gar nichts zu beschließen. Und Walter Greiner erst recht nicht.

Tatsache ist, dass das für viele Fälle eine vernünftige Annahme ist, aber eben nicht für alle. Die QM erfordert oft die Einführung nicht-quadratintegrabler Funktionen, andernfalls wäre bereits der Fall des freien Teilchens auf der reellen Geraden nicht behandelbar, da Orts-, Impuls- und Hamiltonoperator keine quadratintegrablen Eigenfunktionen haben und auf dem entsprechenden Hilbertraum nicht selbstadjungiert sind.

Demzufolge werden Erweiterungen dieses Hilbertraumes diskutiert:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0502053

Leider wird das in kaum einer Vorlesung auch nur erwähnt.

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geometrischephysik



Anmeldungsdatum: 01.01.2014
Beiträge: 291

Beitrag geometrischephysik Verfasst am: 13. März 2014 05:22    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Die Unschärfenrelation ist (entgegen....) keine Eigenschaft oder Folge einer Messung, sondern eine intrinsische und universelle Eigenschaft des Quantenzustandes - .


und wie sieht die mathematische Begründung für diese Eigenschaft aus?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 13. März 2014 06:54    Titel: Antworten mit Zitat

Der Abschnitt in der Wikipedia ist mathematisch präzise:

Robertson-Schrödinger Unbestimmtheitsrelation

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geometrischephysik



Anmeldungsdatum: 01.01.2014
Beiträge: 291

Beitrag geometrischephysik Verfasst am: 13. März 2014 08:33    Titel: Antworten mit Zitat

Da sind mathematische Formel, die richtig sind Draus kann man jedoch nicht schlussfolgern, dass die Physikalischen Größen nicht scharf angegeben werden können

Welche Aussage soll zeigen (beweisen), dass eine scharfe Angabe nicht möglich ist?

Was bedeutet für Sie (gängige Interpretation) überhaupt "Scharf" z.B .im Bezug auf den Ort? Wann wird die Ortsangabe z.B. als "scharf" angesehen(definiert)?


Zuletzt bearbeitet von geometrischephysik am 13. März 2014 13:26, insgesamt 2-mal bearbeitet
Seelachs



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 31

Beitrag Seelachs Verfasst am: 13. März 2014 08:34    Titel: Antworten mit Zitat

Der Ort eines Teilchen ist scharf definiert, wenn das Integral über das Betragsquadrat seiner Wellenfunktion, die man als Lösung der Schrödingergleichung erhält, nur dann einen von 0 verschiedenen Wert hat, wenn das Integrationsgebiet einen bestimmten Punkt (den "scharfen" Aufenthaltsort) enthält (also wenn die Orts-WF eine Deltafunktion ist).

Unschärfe anschaulich gezeigt am freien Teilchen in einer Dimension mit der Schrödingergleichung:

Die Lösungen sind wie weiter oben schon genannt ebene Wellen.

mit Energieeigenwerten

Der Impuls p wird typischerweise durch die Wellenzahl k dargestellt mit .

Da die ebenen Wellen nicht quadratintegrabel, also nicht normierbar sind, muss man um physikalische Lösungen zu erhalten die Lösungmenge auf normierbare Linearkombinationen ebener Wellen reduzieren. (Was zu dem Widerspruch führt, dass die Zustände des freien Teilchens keine Hilbertraumelemente mehr darstellen. In diesem Zusammenhang, danke an TomS für die Links.) Diese Dinger nennt man Wellenpakete. Da das Lösungsspektrum kontinuierlich ist kann man auch beliebig gewichtete Integrale (auch "Faltung" genannt) als Linearkombination auffassen.

Das ist in der obigen Formulierung sehr günstig, denn die Gewichtungsfunktion C(k) entspricht hier bis auf einen Vorfaktor der Impulswellenfunktion, da die Transformation zwischen Impuls- und Ortsdarstellung der Wellenunktion gerade ein Integral obiger Form ist (eine sogenannte "Fouriertransformation", wie man Faltungen mit ebenen Wellen auch nennt). Für diesen Fall ist eine Gewichtung mit der Gaußfunktion bequem:

Dabei ist A durch Normierung zu bestimmen und a ist die reziproke Halbwertsbreite.

Wenn man als Unschärfe von Impuls und Ort nun die Halbwertsbreiten ihrer Wellenfunktionen definiert, die für obige Funktionen bekannt sind, ergibt sich:



Die Heisenbergsche Unschärferelation ist nun einfach über das Produkt zu erhalten.

Das ist eine sehr anschauliche Herleitung, für die die Eigenschaften der Fouriertrafo von großer Bedeutung sind. Zudem funktioniert diese Herleitung natürlich nur, wenn die gegebenen Wellenfunktionen Verteilungsfunktionen sind, für die sich so etwas wie eine Halbwertsbreite definieren lässt. Eine deutlich allgemeinere Herleitung erhält man über die Definition über die Kommutatoren zweier Operatoren (siehe TomS Link), die dann auch nicht mehr nur auf Impuls und Ort beschränkt sind, sondern beliebige Unschärfen zwischen abhängigen (nicht gleichzeitig scharf messbaren) Observablen (Messgrößen) darstellt.
Eine Ausnahme bildet dabei jedoch die Impuls-Zeit-Unschärfe, die tatsächlich nur über eine Herleitung der obigen Form ausgedrückt werden kann (mangels eines "Zeit-Operators").

Edit @ Tom: Diese Postulate wurden im Rahmen der Kopenhagener Deutung von Bohr und Heisenberg formuliert. Im Rahmen irgendwelcher Konferenzen, die ganzen QM-Gründerväter haben ja einige davon abgehalten, wurde sie auf verschiedene Weise nochmal festgemacht. Teil des ersten Postulats, das einen Zustand definiert, ist eigentlich immer auch die Normiertheit des H-Raum-Vektors oder die Quadratintegrabilität der Wellenfunktion.
Ob es nichtnormierbare Eigenzustände in der Realität zu geben hat oder nicht ist aber keine einfache Frage. Ich muss zugeben dass mir eine modifizierte Quantenmechanik, in der sich Zustände freier Teilchen durch einen Hilbertraum beschreiben lassen, lieber wäre als ein modifizierter Hilbertraum. Solange wir nur trad. QM haben ist aber wohl unvermeidlich einen Raum zu basteln, in dem's freie Teilchen gibt (und wenn auch nur um rigorose Theoretiker zufriedenzustellen). Hast du noch mehr zum rigged hilbert space? Einen Namen von irgendeinem Vorreiter oder so?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 14. März 2014 11:09    Titel: Antworten mit Zitat

Seelachs hat Folgendes geschrieben:
Der Ort eines Teilchen ist scharf definiert, wenn das Integral über das Betragsquadrat seiner Wellenfunktion, die man als Lösung der Schrödingergleichung erhält, nur dann einen von 0 verschiedenen Wert hat, wenn das Integrationsgebiet einen bestimmten Punkt (den "scharfen" Aufenthaltsort) enthält (also wenn die Orts-WF eine Deltafunktion ist).



Da die ebenen Wellen nicht quadratintegrabel, also nicht normierbar sind, muss man um physikalische Lösungen zu erhalten die Lösungmenge auf normierbare Linearkombinationen ebener Wellen reduzieren.

Daher ist es einfacher, das für ein Teilchen im Kasten zu diskutieren ;-)

Seelachs hat Folgendes geschrieben:
Edit @ Tom: Diese Postulate wurden im Rahmen der Kopenhagener Deutung von Bohr und Heisenberg formuliert. Im Rahmen irgendwelcher Konferenzen, die ganzen QM-Gründerväter haben ja einige davon abgehalten, wurde sie auf verschiedene Weise nochmal festgemacht. Teil des ersten Postulats, das einen Zustand definiert, ist eigentlich immer auch die Normiertheit des H-Raum-Vektors oder die Quadratintegrabilität der Wellenfunktion.

Und sicher Dirac sowie von Neumann (wobei eine korrekte Interpretation der Dirac’schen bra’s und ket’s nur mittels rigged Hilbert spaces funktioniert).

Seelachs hat Folgendes geschrieben:
Ob es nichtnormierbare Eigenzustände in der Realität zu geben hat oder nicht ist aber keine einfache Frage.

Es gibt sie sicher nicht. Wie soll eine idealisierte, unendlich ausgedehnte ebene Welle denn physikalisch entstehen?

Das Konzept wird schon in der Streutheorie kompliziert (Stichwort: Colulomb-Streuung, Möller-Operatoren); die kanonische Quantisierung von Feldtheorien basierend auf ebene Wellen (Fockraum) ist mathematisch nicht konsistent und eindeutig definierbar (Haags Theorem); …

Wir wissen, dass wir da ein prinzipielles Problem haben, dass in der QM für die meisten praktischen Anwendungen dieses Problem jedoch nicht auftritt.

Seelachs hat Folgendes geschrieben:
Hast du noch mehr zum rigged hilbert space? Einen Namen von irgendeinem Vorreiter oder so?

Das habe ich gerade gefunden, aber noch nicht gelesen ;-)

http://plato.stanford.edu/entries/qt-nvd/#3.2

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Seelachs



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 31

Beitrag Seelachs Verfasst am: 17. März 2014 16:32    Titel: Antworten mit Zitat

Naja. Ungeschickt formuliert. Sagen wir mal: Die Frage ob ein physikalisch so fundamentales System wie ein freies Teilchen nicht eigentlich normierbare Eigenzustände haben sollte, die ist nicht so einfach. Sie macht zumindest ein nicht unbeträchtliches Fass auf: Das Messproblem.

Denn auf:
Zitat:
Wie soll eine idealisierte, unendlich ausgedehnte ebene Welle denn physikalisch entstehen?

kann man nach der etablierten Interpretation quantenmechanischer Zustände antworten mit: indem man an einem freien Teilchen eine Messung vornimmt. (Reduktion des Wellenvektors)

Man könnte jetzt sagen: Entweder stimmt die QM nicht, oder es gibt keine freien Teilchen.
Natürlich stimmt beides, weder ist die QM "richtig", sie ist ein Grenzfall der zumindest "richtigeren" relativistischen QM/QFT, noch gibt es freie Teilchen, aber auch die sind ein physikalisch völlig einleuchtender Grenzfall. Genau genommen sind freie Teilchen gerade ein solcher Grenzfall, für den die QM so schön zutreffen soll.

Dass der Hamiltonian eines freien Elektrons im relativistischen Fall (Dirac-Gleichung) dann doch wieder normierbare Eigenzustände hat, löst das Problem zumindest teilweise auf.

Trotzdem finde ich es seltsam, wenn der nicht relativistische Grenzfall in einem nicht relativistischen Problem (ein kräftefreies Teilchen in seinem Ruhesystem) keine sinnvollen Lösungen hat.

Ich sehe diesen Umstand (Schrödingergleichung hat für ein freies Teilchen keine normierbaren Eigenzustände) jedenfalls als eng mit dem Messproblem verknüpft. (Und auch die Zustände der relativistischen QM/QFT werden etablierterweise in der Kopenhagener Deutung verstanden. Also gibt es auch hier den fadenscheinigen Messprozess mit seiner spontanen Reduktion des Zustandsvektors)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 17. März 2014 16:52    Titel: Antworten mit Zitat

ich denke nicht, dass man das Messproblem heranziehen sollte, insbs. da dieses heute als ungelöst gelten muss
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