Unschärferelation: Aussage?

Otter · Gast

Moin,

auf der Wikipedia heißt es:

bassiks · Anmeldungsdatum: 11.08.2010 Beiträge: 194

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Ich müsste mal Poppers Buch aus dem Bücherschrank holen, aber zunächst mal sage ich, dass diese Aussage schlicht falsch ist!

Ignorieren wir mal ein paar mathematische Subtilitäten des Impulsoperators.

Für einem beliebigen Quantenzustand gilt, dass die Unschärfenrelation vor bzw. unabhängig von einer Messung erfüllt ist. Das ist letztlich eine mathematische Eigenschaft, die aus der Geometrie des Hilbertraumes und damit der Axiomatik der QM exakt und beweisbar folgt.

D.h. zum ersten ist die Aussage von Wikipedia falsch, dass sich die Unschärfenrelation auf die Messung bezieht. Sie bezieht sich auf einen mathematischen Zustand.

Zum zweiten ist Poppers Aussage bzgl. dieses mathematischen Zustandes falsch oder zumindest extreme unpräzise. Man kann evtl. einen Ortseigenzustand präparieren (und von diesem den Ort mathematisch exakt bestimmen). Dann ist jedoch für diesen so präparierten Zustand der Impuls maximal unscharf.

Zum dritten ist Poppers Aussage bzw. Unterscheidung zwischen "vor" und "nach der Messung" im mathematischen Sinne falsch. Es gibt schlichtweg keinen Hilbertraumzustand, für den Poppers Aussage richtig ware.

Bisher habe ich von Mathematik, Quantenzustand usw., noch nicht von Messung gesprochen. Die Unschärfenrelation in ihrer mathematischen Form sagt nichts über die Messung bzw. den Messprozess!

Es ist offensichtlich klar, dass z.B. der Ort nicht schärfer gemessen werden kann, als er vor der Messung vorliegt. Das bedeutet nun nicht, dass er im Zuge einer Messung nicht exakt präpariert werden kann, d.h. dass nach der Messung ein scharfen Ort vorliegt. Aber das ist erst das Resultat der Messung im Sinne einer Präparation. Und natürlich wird dadurch wiederum der Impuls maximal unscharf.

Nun zur Realität. Man könnte versucht sein, einem Quantenobjekt in der Realität einen präzisen Ort UND Impuls zuzuschreiben, und die Unschärfe desselben einem unzureichenden mathematischen Formalimus der QM anzulasten. Man kann jedoch mathematisch beweisen UND experimentell überprüfen, dass eine Vervollständigung der QM im Sinne von "verborgenen Variablen", die exakt scharf definierte Werte tragen, jedoch "verborgen" bleiben, der QM theoretisch und experimentell widerspricht (Bell, Aspect u.v.a.m.).

D.h. dass Poppers Aussage auch dann falsch ist, wenn er sie auf die "Realität" beziehen möchte.

Ich hätte gerne mal das Kapitel gewusst, in dem das stehen soll. Ich kann nicht glauben, dass Popper derat offensichtliche Fehler begangen hat.

Otter · Gast

Hallo und danke für die Antworten. Als Nichtphysiker verstehe ich zwar nur Fetzen davon, aber immerhin weiß ich jetzt mehr im Bezug auf das Buch Augenzwinkern

Das Problem mit dem Buch ist auch, dass es wohl über 50 Jahre lang verbessert wurde und zum Original immer wieder Verbesserungen, Zusätze und Korrekturen kamen. Einige Dinge hat Popper auch schlichtweg widerrufen. Meines Wissens aber diesen Absatz nicht, ich finde keine Sternchen oder etwas in den Fußnoten. Er findet sich in Kapitel IX, "Bemerkungen zur Quantenmechanik", Nummer 73.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ehrlich gesagt, verstehe ich die Aussage gar nicht so richtig. Ich habe mich nicht so sehr mit Popper beschäftigt (ich weiß, sollte ich mal nachholen). Aber wenn man bedenkt, wann er das geschrieben hat, halte ich das, was bassiks geschrieben hat, für sehr passend (Kopenhagener Interpretation). Obwohl die Kopenhagener Interpretation aus meiner Sicht einen philosophischen Wert von =Null hat...

Aber ich habe mit der Aussage folgendes Problem: Wie kann ich etwas feststellen, ohne zu messen? Für mich sind das synonyme Begriffe (in der Kopenhagener Interpretation ist eine Messung "definiert" als Wechselwirkung eines Quantenobjekts mit einem klassischen Objekt, aber um eine "klassische" Eigenschaft "festzustellen", brauche ich wohl so etwas).

Klassisch interpretiert, machen der Erwartungswert und die Unschärfe einer Observable bzgl. eines Zustands doch vor der Messung eine Aussage über die Statistik der Meßwerte, die ich nach der Messung erhalten werde.

Gast2 · Gast

Also, ganz allgemein kann man für zwei quantenmechanische Observablen die allgemeine Unschärferelation hinschreiben, wenn man die Observablen um ihren Erwartungswert zentriert und dann einmal die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwendet. Dann bekommt man die allgemeine Unschärferelation für z.B. zwei qm Observablen A, B, zu:

[latex] \Delta_\psi A \cdot \Delta_\psi B \geq \frac{1}{2}|E(i[A,B])| [/latex]

wobei E der Erwartungswert ist

[latex] E_\psi (A) = (\psi, A \psi) [/latex]

zu innerem Produkt (.,.). Verwendet man nun die quantenmechanischen Orts- bzw. Impulsoperatoren, definiert auf dem Schwartzraum (der dicht im Hilbertraum L^2 liegt), so erhält man daraus die als die Heisenberg'sche bekannte Orts-Impuls-Unschärfe.
Anders ausgedrückt: da Orts- und Impulsoperator einen nicht verschwindenen Kommutator [.,.] besitzen, haben beide keinen Satz simulataner Eigenfunktionen - sie sind nicht gleichzeitig beliebig genau messbar.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Aus der Formel folgt zunächst, dass es im (mathematischen) Formalismus der QM unmöglich ist, einen (mathematischen) Zustand zu konstruieren, für den Ort und Impuls gleichzeitig beliebig genau definiert sind. Das noch hat nichts mit einer Messung zu tun.

Glaubt man nun, dass der mathematische Zustand die Realität repräsentiert, so bedeutet das, dass für das reale Objekt ebenfalls Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau existieren. Damit können sie natürlich auch nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden.

Trotzdem ist der argumentative Weg von der Formel zur Messung sehr weit ...

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Die englische Wikipedia ist da wieder mal deutlich präziser unterwegs:

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Genau!

Angesichts der Tatsache, dass der Begriff "Messung" in allen Interpretationen (außer der von Everett) unklar bleibt bzw. nicht wirklich definiert ist, ist es schon seltsam, dass man die Unschärfenrelation gerade anhand der Messung einführen möchte.

semmelrot · Gast

@Tom.s

Du hast richtig erkannt, dass die Unschärferelation eine prinzipielle Unmöglichkeit darstellt und nicht mit dem Unvermögen des Experimentators hinsichtlich der Durchführung einer exakten Messung zu tun hat. Was dieses Prinzip sein soll , hast Du folgendes geschrieben

-....... lässt die Hilbertraumgeometrie keine gemeinsamen Eigenzstände zu.

-nämlich den einer prinzipiellen Unschärfe als direkte Konsequenz der Struktur der QM.

Kannst Du genauer erklären was Du mit

-Hilbertraumgeometrie
-Struktur der QM

meinst und wie daraus eine Unschärfe resultiert?Denn ich habe den Eindruck, dass Du dich hierbei gewaltig irrst.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Hi Tom,

jetzt hast du ihn auch an der Backe...

Prost

Otter · Gast

Hallo,

wenn das auf der Wikipedia falsch bzw. irreführend dargestellt ist, würde es mich sehr freuen, wenn einer der Experten hier dort eine kurze Anmerkung dazu macht, etwa in der Diskussion, oder einen Baustein für Qualitätssicherung einträgt. Kann das jemand übernehmen? Ich würde es machen, aber mein Fachwissen wäre zur Begründung der ganzen Sache nicht ausreichend...

Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Wichtig: es gibt durchaus Spezialfälle, für die das Produkt der Unschärfen auch für nicht-vertauschende Observablen exakt Null ist.

Bsp.: wir betrachten ein System mit den Eigenzuständen

zum Operator

Die Spinoperatoren erfüllen für k = 1,2,3 (entspr. x,y,z) die Algebra

Für das Produkt der Unschärfen von Spin-x und Spin-y folgt:

D.h. die Unschärfe verschwindet genau dann, wenn der Erwartungswert für die z-Komponente verschwindet. Derartige Zustände kann man jedoch leicht aus den Eigenzuständen konstruieren:

Dies ist auch nicht weiter verwunderlich, denn in diesem Zustand verschwindet gerade die Streuung der x-Komponente

da es sich um einen Eigenzustand der x-Komponente handelt:

d.h.

Resipisco · Gast

Ich finde Eure Diskussion spannend aber auch enttäuschend.
Leiter haben Mathematiker die unangenehme Eigenschaft alle nicht Mathematiker durch die komlexe formale Ausdrucksweise vom Verständnis der Diskussion auszuschließen.
Versucht doch mal die Dinge im natürlicher Sprache verständlich auszudrücken.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

@Resipisco: Wenn Du eine nicht ganz so abstrakte Darstellung der QM suchst, empfehle ich den Landau/Lifschitz 3. Der enthält allerdings stark die Handschrift einer ganz bestimmten Interpretation, nämlich der Kopenhagener Interpretation.

Letztlich mußt Du Dir klarmachen, was ein Zustand ist: Eine tote Katze ist einer, eine lebendige Katze ist einer, aber auch eine halbtote Katze ist einer (halbtot heißt nicht, daß sie zappelt, nachdem sie vom Auto überfahren wurde, sondern daß sie gleichzeitig tot und lebendig ist). Man kann Zustände immer superponieren! Etwas weniger esoterisch: ein Teilchen mit einem bestimmten Impuls (ebene Welle) ist einer, ein Teilchen mit einem anderen ist einer, aber auch ein Teilchen mit zwei Impulsen gleichzeitig ist einer. Entscheidend ist, daß bei einer Messung im allgemeinen Zustände verändert werden (dies drückt sich dadurch aus, daß Observablen in der QM durch Operatoren dargestellt werden). Der Zustand kann geschrieben werden als Überlagerung eines Teils, der bei der Messung verändert wird, und eines Teils, der nicht verändert wird, und nach der Messung bleibt immer nur der unveränderliche Teil übrig oder auch nur ein Teil davon (eine Messung eines bestimmten Wertebereichs entspricht einer Projektion des Zustands auf einen Unterraum des Zustandsraums, dem so genannten Kollaps der Wellenfunktion – warum: darüber wird wild spekuliert).

Welcher Anteil nach der Messung übrig bleibt, hängt davon ab, welche Observable gemessen wird. Auch die Reihenfolge spielt im allgemeinen eine Rolle (versuche mal, einen Strich in der Ebene nacheinander auf zwei nicht zueinander senkrechte Geraden zu projizieren – das Ergebnis wird davon abhängen, in welcher Reihenfolge du vorgehst!). Und die allgemeine Unschärferelation besagt, daß man für jeden Zustand, für den die Reihenfolge eine Rolle spielt, eine minimale Unschärfe ableiten kann (das Wort "Unschärfe" kommt von der probabilistischen Deutung: Wenn Du einen Zustand 60% Impuls 1 + 40% Impuls 2 so deutest, daß in 40% der Fälle Impuls 2 vorliegt, dann wirst Du eine nicht verschwindende Standardabweichung ausrechnen, d.h. der Zustand 60%...+40%... hat eine Unschärfe bzgl. der Observablen Impuls, und die Unschärferelation besagt, daß das Produkt der Unschärfen dieses Zustands bzgl. der beiden Observablen einen minimalen Wert hat, der proportional dazu ist, wie groß der Unterschied der beiden Projektionsvorgänge ist).

Die Frage ist natürlich, was eine Projektion anschaulich bedeutet. Dafür braucht man ja ein Verständnis davon, was senkrecht bedeutet (-> eine Hilbertraumgeometrie). Die Idee ist, daß man in der QM immer fragen kann, wie viel eines Zustands 1 in einem anderen Zustand 2 enthalten ist (es gibt also ein so genanntes Skalarprodukt und das bedeutet im Wesentlichen das Axiom, daß Zustände durch Vektoren in einem Hilbertraum beschrieben werden). Zwei Zustände sind senkrecht zueinander, wenn sie jeweils nichts des anderen Zustands enthalten.

Übrigens: "Es ist nicht möglich, ... gleichzeitig mit unbegrenzter Genauigkeit zu messen" halte ich für eine sehr problematische Beschreibung der Unschärferelation. Man kann immer nur eine Observable auf einmal messen (prinzipiell, also auch bei kommutierenden Observablen).

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Wow, ausgerechnet an dieser Stelle hatte ich keinen Widerspruch erwartet...

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hm, okay. Ich bin auch kein Freund der Postulate (ich finde es auch grundsätzlich fragwürdig, Physik axiomatisieren zu wollen). Und wenn man eines Tages vielleicht verstanden hat, was wirklich beim Meßprozeß vorgeht, wird man sicher andere Postulate suchen müssen.

Aber ich habe ein Problem:

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259