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Torxal
Anmeldungsdatum: 19.04.2016
Beiträge: 1
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 Torxal Verfasst am: 19. Apr 2016 21:34 Titel: Schräger Wurf (Trajektorie maximal bei welchem Winkel) |
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Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter:
Ein Ball wird mit der Geschwindigkeit v vom Boden aus geworfen. Bestimmen sie den Wurfwinkel θ für den die Länge der Trajektorie maximal wird. Zeigen sie, dass θ
folgende Bedingung erfüllt:
 ln \frac{1+sin(\theta)}{\cos(\theta)}=1)
Folgenden Ansatz habe ich gewählt:
Zuerst habe ich die Fallzeit für den Ball berechnet die da lautet:
/g)
Anschließend wollte ich die Kurvenlänge berechnen, habe dafür zunächst die Balltrajektorie nach der Zeit abgeleitet und deren Betrag berechnet:
| = \sqrt{g^2t^2-2gtV_0\sin(\theta)-V_0^2})
Um das Kurvenintegral zu berechnen, integriere ich nach dem Betrag von v:
/g} \! |v(t)| \, \dd t ) .
Allerdings komme hier nicht weiter. Wie kann ich das Integral am besten lösen bzw. gibt es einen Trick? Vielleicht ist auch der Ansatz falsch. Durch Ableiten und Umformen wollte ich zuletzt auf die oben genannte Bedingung kommen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Apr 2016 01:18 Titel: |
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=\tan \alpha \cdot x -\frac{g}{2v^2\cos^2 \alpha}\cdot x^2)
=\int \sqrt{1+\left(\frac {\partial }{\partial x} y(x,\alpha)\right)^2}dx)
berechnen (Wolfram hilft) und bzgl.  (hoffentlich) maximieren.
Eine andere Variante wäre das Differenzieren unter dem Integral
=\int \frac{\partial }{\partial \alpha} \sqrt{1+\left(\frac{\partial}{\partial x}y(x,\alpha)\right)^2}dx\overset ! = 0\cdots )
Viel Spaß!  |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Apr 2016 16:13 Titel: |
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Das war Müll 
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 23. Apr 2016 14:01, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Apr 2016 22:28 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |  = \int_0^{\frac{\pi }{2} }\sqrt{1 + (\frac{\dd y}{\dd \alpha })^{2} } \cdot \dd \alpha \cdots )
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Was soll das sein? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Apr 2016 14:12 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
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Was soll das sein? |
Ds war Müll!
Neuer Versuch
Wurfparabel in Parameterform
)
 )
\cdot d\alpha )
\cdot d\alpha )
}{d\alpha } = \sqrt{1+ (\frac{\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha ) }{\cos(2\cdot \alpha ) })^{2} }= 0 )
\cdot \cos(\alpha ) }{\cos(2\cdot \alpha ) })^{2} = 0 )
\cdot \cos(\alpha ) }{\cos(2\cdot \alpha ) } = i )
+ i\cdot \sin(\alpha ) )
 + \frac{\sin(2\cdot \alpha )\cdot \sin(\alpha ) }{2\cdot \cos(2\cdot \alpha ) } )\cdot \cos(2\cdot \alpha ) }{\sin(\alpha ) \cdot \cos(\alpha ) } )
Weiter vereinfachen krieg ich nicht hin.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 24. Apr 2016 12:35, insgesamt 7-mal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Apr 2016 14:28 Titel: |
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Der Autor ist gegangen, Du hast also bei Interesse alle Zeit der Welt. Vielleicht ist ja der Hinweis oben zur Winkelbeziehung von Nutzen oder man probiert eine numerische Lösung.
Angenehmes Wochenende! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 24. Apr 2016 19:57 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Der Autor ist gegangen, Du hast also bei Interesse alle Zeit der Welt. Vielleicht ist ja der Hinweis oben zur Winkelbeziehung von Nutzen oder man probiert eine numerische Lösung.
Angenehmes Wochenende! |
Vielen Dank Franz!
Prüf mal bitte, ob ich mich vertran habe.
Beste Grüsse
Jörg |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 25. Apr 2016 12:28 Titel: |
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Wenn eine angedachte Lösung nicht mit der offiziellen Lösung übereinstimm, ist immer Vorsicht geboten, obwohl gelegentlich auch offizielle Lösungen falsch sind.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Wurfparabel in Parameterform
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Das ist keine korrekte Parameterdarstellung der Wurfparabel. Was soll hier sein? Der Abwurfwinkel kann es nicht sein, denn der ist für die einzelne Wurfparabel ein fester Wert, kann also nicht als Kurvenparameter gewählt werden. Wenn etwas anderes ist, dann fehlt die Abhängigkeit vom Abwurfwinkel und nach dem muss doch die Kurvenlänge abgeleitet werden, wenn ihr Maximum als Funktion von ihm gesucht ist. Auch der Rest der Rechnung ist fehlerhaft.
Die Parameterdarstellung der Wurfparabel mit der Zeit als Kurvenparameter,  als Abwurfwinkel und v als Abwurfgeschwindigkeit lautet:
}t)
}t-\frac {g}{2}t^2)
Durch eine geeignete Wahl der Längen- und der Zeiteinheit, kann man  und  zu 1 normieren. Macht man dann noch die Substition  , erhält man:
}\tau -\sin \theta \cos \theta)
Die Länge der Parabel ist:
Die Integration ergibt:
})
Ableiten nach und Nullsetzen mit nachfolgender Division durch  ergibt:
}=1)
Mit der Beziehung
})
erhält man die Musterlösung. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Apr 2016 13:33 Titel: |
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Im Nachhinein liegt es quasi auf der Hand, die Zeit als Parameter zu nehmen und über meine Sackgasse y(x) kann man nur den Kopf schütteln. Danke! :-) |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 25. Apr 2016 13:52 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
Im Nachhinein liegt es quasi auf der Hand, die Zeit als Parameter zu nehmen und über meine Sackgasse y(x) kann man nur den Kopf schütteln. Danke! :-) |
Es gibt keinen Grund für dich, den Kopf zu schütteln. Da bei der Wurfparabel zu jedem x-Wert genau ein y-Wert gehört, kann man durchaus die x-Koordinate als Kurvenparameter wählen. Bei einem Kreis wäre das anders. Da gehören zu jedem x-Wert 2 y-Werte. Den müsste man in 2 Halbkreise zerlegen, um die x-Koordinate als Parameter wählen zu können. Ich fand es lediglich etwas bequemer, mit der Zeit als Parameter zu arbeiten.
Egal, welche Parameterdarstellung der Wurfparabel man wählt, die Ausdrücke werden leicht länglich und dadurch unübersichtlich, was wiederum Fehler begünstigst. Deshalb habe ich die Normierungen am Anfang eingeführt und die verschobene Zeitkoordinate. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Apr 2016 17:42 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | Wenn eine angedachte Lösung nicht mit der offiziellen Lösung übereinstimm, ist immer Vorsicht geboten, obwohl gelegentlich auch offizielle Lösungen falsch sind.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Wurfparabel in Parameterform
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Das ist keine korrekte Parameterdarstellung der Wurfparabel. Was soll hier sein? Der Abwurfwinkel kann es nicht sein, denn der ist für die einzelne Wurfparabel ein fester Wert, kann also nicht als Kurvenparameter gewählt werden. Wenn etwas anderes ist, dann fehlt die Abhängigkeit vom Abwurfwinkel und nach dem muss doch die Kurvenlänge abgeleitet werden, wenn ihr Maximum als Funktion von ihm gesucht ist. Auch der Rest der Rechnung ist fehlerhaft.
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@Huggy
Warum ist die von mir gewählte Parameterform nicht korrekt?
Mit dem Abwurfwinkel Alpha als unabhängige Variable kann ich doch auch die Winkel bestimmen, der zur maximalen Wurfweite bzw. - höhe führen.
Warum dann nicht auch die maximale Länge der Flugbahn?
Was ist an dem Rest der Rechnung nicht korrekt?
Mag sein, dass mein Ansatz nicht besonders elegant ist, einen Fehler allerdings sehe ich nicht.
Wäre nett, wenn Du mir das erklären würdest.
Gruss
mathefix |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Apr 2016 20:31 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
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Erkläre bitte, wie Du von einer infinitesimalen Änderung der Wurfweite (bei Dir:) dx und Wurfhöhe dy auf die infinitesimale Änderung der Kurvenlänge dL kommst. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2016 09:24 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
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Erkläre bitte, wie Du von einer infinitesimalen Änderung der Wurfweite (bei Dir:) dx und Wurfhöhe dy auf die infinitesimale Änderung der Kurvenlänge dL kommst. |
Guten Morgen.
Pythagoras |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 26. Apr 2016 10:02 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Warum ist die von mir gewählte Parameterform nicht korrekt? |
Was du hingeschrieben hast, ist die halbe Wurfweite und die Wurfhöhe als Funktion des Abwurfwinkels. Das ist nun mal keine Parameterdarstellung einer einzelnen Wurfparabel. Wenn ein Kurvenparameter (z. B. die Zeit) seinen Wertebereich duchläuft, dann müssen x und y die einzelnen Punkte einer bestimmten Wurfparabel durchlaufen. Das ist bei dir nicht dir Fall. Wenn du änderst, kriegst du keinen anderen Kurvenpunkt, sondern die Angabe einer anderen Wurfweite.
| Zitat: | Mit dem Abwurfwinkel Alpha als unabhängige Variable kann ich doch auch die Winkel bestimmen, der zur maximalen Wurfweite bzw. - höhe führen.
Warum dann nicht auch die maximale Länge der Flugbahn? |
Selbstverständlich kann man das. Das ist ja gerade die Aufgabenstellung. Nur geht es nicht so, wie du es gemacht hast. Wie man es richtig machen kann, habe ich gezeigt.
| Zitat: | | Was ist an dem Rest der Rechnung nicht korrekt? |
Ich unterstelle jetzt mal, man habe eine korrekte Parameterdarstellung einer Kurve mit einem Kurvenparameter vorliegen.
)
)
(1) Dann ist die Länge der Kurve zwischen  und  gegeben durch:
}{d\alpha}\right )^2+\left ( \frac {dg(\alpha)}{d\alpha}\right )^2}d\alpha)
L ist überhaupt nicht von dem Kurvenparameter abhängig, da über den ja integriert wird. Es ist daher sinnlos  zu bilden. Das ergibt schlicht 0, aber nicht das, was du hingeschrieben hast.
(2) Wenn man eine Gleichung der Form
)^2=0)
hat mit einer reellwertigen Funktion h für reelles , dann hat die keine reellen Lösungen für . Da nützt es auch nichts, die Gleichung im Komplexen zu lösen. Dadurch erhält man nur echt komplexe Lösungen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Apr 2016 10:28 Titel: |
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[quote="Huggy"] | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Warum ist die von mir gewählte Parameterform nicht korrekt? |
Was du hingeschrieben hast, ist die halbe Wurfweite und die Wurfhöhe als Funktion des Abwurfwinkels. Das ist nun mal keine Parameterdarstellung einer einzelnen Wurfparabel. Wenn ein Kurvenparameter (z. B. die Zeit) seinen Wertebereich duchläuft, dann müssen x und y die einzelnen Punkte einer bestimmten Wurfparabel durchlaufen. Das ist bei dir nicht dir Fall. Wenn du änderst, kriegst du keinen anderen Kurvenpunkt, sondern die Angabe einer anderen Wurfweite.[quote]
Danke! |
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